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162 关系: Abc猜想，加性函數，劉維爾函數，埃尔德什-波温常数，埃拉托斯特尼筛法，原根，十七或者破產，卡塔蘭猜想，卡倫數，卡邁克爾數，卢卡斯-莱默检验法，古埃及分數，同餘，合数，塞爾伯格跡公式，士的數，奇數和偶數，威尔逊定理，威爾遜質數，孪生素数，孪生素数猜想，完全平方，对数积分，密码学安全伪随机数生成器，丟番圖逼近，丟番圖方程，中国剩余定理，希尔伯特－波利亚猜想，布朗常数，三胞胎素数，一般化的士數，平方取中法，广义黎曼猜想，二进分数，二次型，二次剩余，互联网梅森素数大搜索，互質，五邊形數定理，代数数论主题列表，代數數，伪素数，伪随机数，伪随机性，佩尔方程，循环小数，化圓為方，圓周率，刘维尔数，分數，... 扩展索引 (112 更多) »
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Abc猜想
abc猜想（abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特莱及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。此猜想有數個宣稱的證明，最近提出的正在檢查中，至2014年9月此猜想仍然未得證明。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。 abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。.
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加性函數
在代數的領域，加性函數指有對於任何a,b都有性質f(a+b).
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劉維爾函數
劉維爾函數\lambda(n)是算術函數。對於正整數n， 其中\Omega(n)表示n的質因子數目（可重覆）。因為\Omega(n)是完全加性函數，所以\lambda(n)是完全積性函數。（OEIS:A008836） 對於狄利克雷卷積，\lambda的逆函數為|\mu(n)|，其中\mu為默比烏斯函數。 λ和μ的關係還有：\lambda(n).
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埃尔德什-波温常数
埃尔德什-波温常数是所有梅森数的倒数之和。 根据定义，它是： E.
埃拉托斯特尼筛法
埃拉托斯特尼筛法（κόσκινον Ἐρατοσθένους，sieve of Eratosthenes ），簡稱--，也有人称素数筛。这是一種簡單且历史悠久的筛法，用來找出一定範圍內所有的質數。 所使用的原理是從2開始，將每個質數的各個倍數，標記成合數。一個質數的各個倍數，是一個差為此質數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處，後者是以質數來測試每個待測數能否被整除。 埃拉托斯特尼篩法是列出所有小質數最有效的方法之一，其名字來自於古希臘數學家埃拉托斯特尼，並且被描述在另一位古希臘數學家尼科馬庫斯所著的《算術入門》中。.
原根
在数论，特别是整除理论中，原根是一个很重要的概念。 對於两个正整数(a,m).
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十七或者破產
十七或者破产（Seventeen or Bust），是一个解决谢尔宾斯基问题中最後十七個數字的分布式计算项目。此項目起於2002年三月，在2016年四月伺服器停機前排除了十一個數字。計畫搬遷至PrimeGrid，第十二個數字在2016年十月排除。截至2017年4月，尚有五個數字待確認。.
卡塔蘭猜想
卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理。 它是說除了8.
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卡倫數
卡倫數是形式如n \times 2^n+1（寫作C_n）的自然數。 若質數p.
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卡邁克爾數
在數論上，卡邁克爾數是正合成數n，且使得對於所有跟n互質的整數b，b^ \equiv 1 \pmod。.
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卢卡斯-莱默检验法
数学中，卢卡斯-莱默检验法（Lucas–Lehmer primality test）是检验梅森数的素性检验，是由爱德华·卢卡斯于1878年完善，随后于1930年代将其改进。 因特网梅森素数大搜索用这个检验法找到了不少很大的素数，最近几个最大的素数就是这个项目发现的。由于梅森数比随机选择的整数更有可能是素数，因此他们认为这是一个极有用的方法。.
古埃及分數
古埃及的分數是不同的單位分數的和，就是分子為1，分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。.
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同餘
数学上，同余（congruence modulo，符號：≡）是數論中的一種等價關係。當两个整数除以同一个正整数，若得相同-zh-hans:余数; zh-hant:餘數;-，则二整数同余。同餘是抽象代數中的同餘關係的原型。最先引用同余的概念与「≡」符号者为德國数学家高斯。.
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合数
合數（也稱為合成數）是因數除了1和其本身外具有另一因數的正整數（定義為包含1和本身的因數大於或等於3個的正整數）。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數。而0與1則被認為不是質數，也不是合數。例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成2 × 7。 起初105个合数为：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140,141,142,143,144,145,146,147,148,150.
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塞爾伯格跡公式
在數學中，塞爾伯格跡公式是非交換調和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 G/\Gamma 的函數空間上某類算子的跡數，其中 G 是李群而 \Gamma 是其離散子群。 塞爾伯格在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了塞爾伯格ζ函數。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。 一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的週期測地線長度。對於環面，塞爾伯格跡公式化為泊松求和公式。.
士的數
第n個士的數（cabtaxi number），表示為Cabtaxi(n)，定義為能以n種方法寫成兩個或正或負或零的立方數之和的正整數中最小者。它的名字來自的士數的顛倒。對任何的n，這樣的數均存在，因為的士數對所有的n都存在。現時只有10個士的數是已知的： S.
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奇數和偶數
#重定向 奇偶性 (数学).
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威尔逊定理
威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。 在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时： 但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。.
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威爾遜質數
質數p為威爾遜質數，如果 即 (p-1)!+1 可被p^2 整除，這和說明每個質數 p 都能整除 (p-1)!+1 的威尔逊定理有關。 現時所知的威爾遜質數只有5、13和563（OEIS:A007540），若還有其他這類質數，必然大於5\times10^8。 Wilson Category:阶乘与二项式主题.
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孪生素数
孪生素数（也称为孪生--数、双生质数）是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。 关于孪生素数有孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数。这是数论中未解决的一个重要问题。是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素数定理中描述的素数分布规律相类似。 与之相关的，两者相差为1的素数对只有 (2, 3)；两者相差为3的素数对只有 (2, 5)。.
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孪生素数猜想
孪生素数猜想是数论中的著名未解決问题。 素数，就是数学家按照乘法性质把自然数分为三类：.
完全平方
在数学中，完全平方有两个含义：.
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对数积分
对数积分li(x)是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。.
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密码学安全伪随机数生成器
密码学安全伪随机数生成器（亦作密码学伪随机数生成器，英文：Cryptographically secure pseudorandom number generator，通称CSPRNG），是一种能够通过运算得出密码学安全伪随机数的。相较于统计学伪随机数生成器和更弱的伪随机数生成器，CSPRNG所生成的密码学安全伪随机数具有额外的伪随机属性。Jonathan Katz and Yehuda Lindell, 現代密碼學——原理與協議 (Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols), ISBN 9787118070651 CSPRNG常被作为密码学原件，用以搭建更复杂的密码学应用。如，可变长CSPRNG和XOR函数搭配即构成流密码的编解码方法。.
丟番圖逼近
丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。 "丢番图逼近"的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程（或不定方程），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称最佳逼近。具体来说，对于一个实数 \alpha，希望找到一个"最优"的有理数 p/q 作为 \alpha 的近似，使在分母不超过 q 的所有有理数中，p/q 与 \alpha 的距离最小。这里的"距离"可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 |q\alpha-p| 等方式度量。满足此类要求的有理数 p/q 称为实数 \alpha 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。 其后，该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量，以给出尽可能精确的上下界（一般用分母的函数表示）。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 \alpha 的性质密切相关。当 \alpha 分别为有理数、代数数、超越数时，其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想，刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论，并由此具体地构造出了一个超越数（参见刘维尔数），证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见，丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。.
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丟番圖方程
丟番圖方程，是未知数只能使用整數的整數係數多項式等式；即形式如a_1 x_1^+a_2 x_2^+......+a_n x_n^.
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中国剩余定理
中國剩--定理，又稱中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孫子定理，古有「韓信點兵」、「孫子定理」、「求一术」（宋沈括）、「鬼谷算」（宋周密）、「隔墻算」（宋 周密）、「剪管術」（宋杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」之名。.
希尔伯特－波利亚猜想
希尔伯特－波利亚猜想（Hilbert–Pólya conjecture）是一个将谱论与黎曼猜想相联系的数学猜想。.
布朗常数
1919年，挪威数学家維果·布朗（Viggo Brun）证明了所有孪生素数的倒数之和收敛于一个数学常数，称为布朗常数(Brun's constant)，记为B2 ： + \left(\frac + \frac\right) + \left(\frac + \frac\right) + \left(\frac + \frac\right) + \left(\frac + \frac\right) + \cdots 而所有'''素数'''的倒数之和则是发散的。假如以上的级数发散，则我们立刻就可以证明孪生素数猜想。但由于它收敛，我们就不知道是否有无穷多个孪生素数(若孪生素数之平方根的倒數和發散，則亦可知其為無限多)。类似地，如果证明了布朗常数是无理数，也立刻就可以证明孪生素数猜想。但如果它是有理数，则仍然无法知道孪生素数是不是无限的。 Thomas R.
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三胞胎素数
在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。.
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一般化的士數
在數學中,一般化的士數Taxicab(k, j, n) 定義為一最小的數，能夠用n種方法表示成j個自然數的k次方之和。 若 k.
平方取中法
平方取中法（Middle-square method）是個產生偽隨機數的方法，由-zh-hans:冯·诺伊曼;zh-hk:馮·紐曼;zh-tw:馮·諾伊曼;-在1946年提出。 算法：.
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广义黎曼猜想
黎曼猜想是数学中最重要的猜想之一，描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体L函数（global L-function）替代，由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分函数域情形下的推广得到了证明。 整体L函数可以与椭圆曲线、数域（此时称为戴德金ζ函数）、马斯形式（Maass form）或狄利克雷特征（此时称为狄利克雷L函数）相联系。其中，描述戴德金ζ函数的黎曼猜想被称为扩展黎曼猜想（extended Riemann hypothesis，ERH），而描述狄利克雷L函数的黎曼猜想则被称为广义黎曼猜想（generalized Riemann hypothesis，GRH）。（也有许多数学家用“广义黎曼猜想”用作对各种整体L函数推广的总称，而非单指狄利克雷L函数下的情形。）.
二进分数
二进分数，也称为二进有理数，是一种分母是2的幂的分数。可以表示成a/2b，其中，a 是一个整数，b 是一个自然数。例如：1/2，3/8，而1/3就不是。(英制单位中广泛采用二进分数，例如3/4英寸，1/16英寸，1/2磅。) 所有二进分数组成的集合在实数轴上是稠密的：任何实数x都可以用形为\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i的二进分数无限逼近。与实数轴上的其它稠密集，例如有理数相比，二进分数是相对“小”的稠密集，这就是为什么它们有时出现在证明中（例如乌雷松引理）。 任何两个二进分数的和、积，与差也是二进分数： 但是，两个二进分数的商则一般不是二进分数。因此，二进分数形成了有理数Q的一个子环。 E.
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二次型
在数学中，二次型是一些变量上的二次齐次多项式。例如 是关于变量x和y的二次型。 二次型在许多数学分支，包括数论、线性代数、群论(正交群)、微分几何(黎曼测度)、微分拓扑(intersection forms of four-manifolds)和李代数(基灵型)中，占有核心地位。.
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二次剩余
在数论中，特别在同余理论裏，一个整数X对另一个整数p的二次剩餘（Quadratic residue）指X的平方X^2除以p得到的余数。 當存在某個X，式子X^2 \equiv d \pmod成立時，稱「d是模p的二次剩餘」 當对任意X，X^2 \equiv d \pmod不成立時，稱「d是模p的二次非剩餘」 研究二次剩余的理论称为二次剩余理论。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。.
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互联网梅森素数大搜索
因特网梅森素数大搜索（Great Internet Mersenne Prime Search，简称：GIMPS），是一个由志愿者团队协作的项目，从因特网免费下载开放源代码的Prime95和MPrime软件来搜索梅森素数。这个项目的发起者以及Prime95的主要编写者是乔治·沃特曼，则编写支持搜索的PrimeNet服务器软件，由他本人创立于1997年的所展示的正是这种分布式计算软件。 这个项目取得了很大的成功：截止到2018年1月，GIMPS共搜索到16个梅森素数。现在已知的最大的梅森素数是2017年12月26日发现的2^ - 1，共有23249425位数，第二大的是2016年1月7日發現的2^ - 1，共有22338618位數，第三大的梅森質數是2013年1月25日發現的2^ - 1，共有17425170位數。 从许可证条约上讲，GIMPS 软件并不是自由软件，它仅仅是开放源代码软件，因为它有着自由软件所无法接受的限制－使用者必须接收奖金分配条款。.
互質
互质（英文：coprime，符號：⊥，又稱互素、relatively prime、mutually prime、co-prime）。在數論中，如果兩個或兩個以上的整數的最大公因數是 1，則稱它們為互质。依此定義：.
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五邊形數定理
五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數\phi(q)展開式的特性 。歐拉函數的展開式如下： 亦即 歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12,...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。 若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。.
代数数论主题列表
*高斯整数, 高斯有理数.
代數數
代數數是代数与数论中的重要概念，指任何整係數多项式的复根。 所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作\mathcal或\overline，是复数域\mathbb的子域。 不是代数数的实数称为超越数，例如圆周率。.
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伪素数
伪素数是指满足素数的某种性质，但并不一定是素数的数。根据所满足的性质的不同可以划分不同种类的伪素数。其中最有名的伪素数是满足费马小定理的合数，即费马伪素数。.
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伪随机数
#重定向 伪随机性.
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伪随机性
伪随机性（Pseudorandomness）是一个过程似乎是随机的，但实际上并不是。例如伪随机数是使用一个确定性的算法计算出来的似乎是随机的数序，因此伪随机数实际上并不随机。在计算伪随机数时假如使用的开始值不变的话，那么伪随机数的数序也不变。伪随机数的随机性可以用它的统计特性来衡量，其主要特征是每个数出现的可能性和它出现时与数序中其它数的关系。伪随机数的优点是它的计算比较简单，而且只使用少数数值很难推算出计算它的算法。一般人们使用一个假的随机数，比如電腦上的時間作为计算伪随机数的开始值。.
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佩尔方程
若一個丢番图方程具有以下的形式： 且n为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation德文：Pellsche Gleichung）。 若n是完全平方数，则这个方程式只有平凡解(\pm 1, 0)（实际上对任意的n，(\pm 1, 0)都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而這些解可由\sqrt的連分數求出。.
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循环小数
循环小数，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。.
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化圓為方
化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为\pi的线段。 进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼證明了\pi為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。 如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的，阿基米德螺線等。.
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圓周率
圓周率是一个数学常数，为一个圆的周长和其直径的比率，约等於3.14159。它在18世纪中期之后一般用希腊字母π指代，有时也拼写为“pi”（）。 因为π是一个无理数，所以它不能用分数完全表示出来（即它的小数部分是一个无限不循环小数）。当然，它可以用像\frac般的有理数的近似值表示。π的数字序列被認為是随机分布的，有一种统计上特别的随机性，但至今未能证明。此外，π还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式的根。由於π的超越性质，因此不可能用尺规作图解化圆为方的问题。 几个文明古国在很早就需要计算出π的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时，南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个π的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。在20和21世纪，由于计算机技术的快速发展，借助计算机的计算使得π的精度急速提高。截至2015年，π的十进制精度已高达1013位。当前人类计算π的值的主要原因为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法，因为几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位。 因为π的定义中涉及圆，所以π在三角学和几何学的许多公式，特别是在圆形、椭球形或球形相關公式中广泛应用。由于用於特征值这一特殊作用，它也在一些数学和科学领域（例如数论和统计中计算数据的几何形状）中出现，也在宇宙学，热力学，力学和电磁学中有所出现。π的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍π的书籍，圆周率日（3月14日）和π值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵π值的世界记录已经达到70,000位的精度。.
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刘维尔数
如果一个实数x满足，对任意正整数n，存在整数p, q，其中q > 1有 就把x叫做刘维尔数。 刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数，第一次说明了超越数的存在。.
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分數
分數（fraction）是用分式（分數式）表達成 \frac 的数（a, b \in Z, b\neq 0）。在上式之中，b 稱為分母（Denominator）而 a 稱為分子（Numerator），可視為某件事物平均分成 b 份中佔 a 分，讀作「b 分之 a」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 a/b 來表示分數。.
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單位分數
-- --，或称--，是分子是1，分母是正整數并寫成分數的有理數，。因此單位分數都是某一個正整數的倒數，1/n。 它們的和 \sum_^n \frac.
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哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是數論中存在最久的未解問題之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士人克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陳述為： 这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的整数分拆问题有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个完全平方数之和，或者若干个完全立方数的和等。而將一个給定的偶數分拆成兩個質數之和，则被稱之為此數的哥德巴赫分拆。例如， 換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是哥德巴赫數——可表示成兩個質數之和的數。哥德巴赫猜想也是二十世纪初希爾伯特第八問題中的一個子問題。 其實，也有一部分奇數可以用兩個質數的和表示，大多數的奇數無法用兩個質數的和表示，例如：15.
六素数
在数学中，六素数（sexy prime）是相差为6的素数偶（p, p + 6）。例如数5和11都是素数且差为6。如果p + 2或p + 4也是素数，则六素数是素数三元组的一部分。 六素数的英文"sexy prime"源于拉丁语六：sex。.
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兰道-拉马努金常数
兰道-拉马努金常数（Landau–Ramanujan constant）是一個和數論有關的常數，對於一正整數x ，若x很大時，小於x且可以表示為二平方數和整數的個數和下式成正比 二者之間的比例即為兰道-拉马努金常数，分別由愛德蒙·蘭道及拉馬努金所發現。 若用N(x)表示小於於x，可表示為二平方數和整數的個數，則兰道-拉马努金常数K可表示為 也可表示為以下的欧拉积.
勾股数
勾股数，又名商高數或毕氏三元数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「a^2+b^2.
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勒让德常数
勒让德常数是一个出现在素数计数函数的渐近展开式中的数学常数，其值經證明為1。 勒让德在研究素数的分布情况时，发现\boldsymbol(x)满足以下等式： 其中B是一个常数，称为勒让德常数。他估计B大约为1.08366，但不管它的值是什么，只要它存在，就证明了素数定理。 后来高斯也对素数进行了研究，得出结论，B可能更小。 最终Charles Jean de la Vallée-Poussin证明了B正好等于1。.
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勒让德符号
勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。.
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因數
因數是一個常見的數學名詞，又名「--」。.
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四平方和定理
四平方和定理 （Lagrange's four-square theorem） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。.
四胞胎素数
四胞胎素数（四連素数）是指一組符合以下形式的素数。上述形式是大於3的四個連續素数出現機率最高的形式。頭幾組四胞胎素数如下,,,,,,,,,,, 上述四胞胎素数中除了以外的各組均符合的形式，各質數除以30的餘數有一定的規則。 有些參考資料將或也視為四胞胎素数，而有些來源的資料不將視為四胞胎素数。 四胞胎素数中有包括二組連續的孪生素数及二組互相重疊的三胞胎素数。 目前還不確定是否存在無限組四胞胎素数，若四胞胎素数有無限組，因為其中也包括孪生素数，也就可推得了孪生素数猜想。相反的，若孪生素数猜想不成立，也可以推得四胞胎素数只有有限組。不過根據现有的知識推測，孪生素数可能有無限組，但四胞胎素数可能只有有限組。n在2,3,4,...時，n位數十進位的四胞胎素数組數如下1, 3, 7, 26, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 。 至2007年為止，已知的最大四胞胎素数有2058位數。是由Norman Luhn在2005年發現，第一個質數為 p.
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皮克定理
給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係：A.
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皮索特-维贡伊拉卡文数
索特-維貢伊拉卡文數（Pisot–Vijayaraghavan number，簡稱皮索數或PV數）是指一大於1的實數代數整數，且其共軛代數數的絕對值小於1。皮索數是在1912年由數學家阿克塞尔·图厄發現，後來1919年戈弗雷·哈羅德·哈代在研究丟番圖逼近時再度發現皮索數，但一直到1938年的論文發表後，皮索數才廣為人所知道。數學家及在1940年代有相關的研究，的概念就類似皮索數。 皮索數一個廣為人知的特性就是其高次方以指數方式趨近整數。皮索特證明了以下的定理：若α > 1為一實數使以下數列 為平方可求和（square-summable）或ℓ2（其中||x||表示一實數x和最接近整數之間的距離），則α為皮索數（也是一代數整數）。依照皮索數的這一個特性，塞勒姆證明所有皮索數形成的集合S為一閉集合。其最小元素為一個包括三次方根的無理數，稱為塑膠數。對於皮索數集合S的極限點有較多的了解，其中最小的元素就是黃金比例。.
的士數
n個的士數（Taxicab number），一般寫作\operatorname(n)或\operatorname(n)，定義為最小的數能以n個不同的方法表示成兩個正立方數之和。1954年，G·H·哈代與愛德華·梅特蘭·賴特證明對於所有正整數n這樣的數也存在。可是他們的證明對找尋的士數毫無幫助，截止現時，只找到6個的士數（）： \begin \operatorname(1).
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离散对数
在整數中，離散對數（Discrete logarithm）是一種基於同餘運算和原根的一種對數運算。而在實數中對數的定義 logb a 是指對於給定的 a 和 b，有一個數 x，使得。相同地在任何群 G中可為所有整數 k定義一個冪數為 bk，而離散對數 logb a是指使得 的整數 k。 離散對數在一些特殊情況下可以快速計算。然而，通常沒有具非常效率的方法來計算它們。公鑰密碼學中幾個重要算法的基礎，是假設尋找離散對數的問題解，在仔細選擇過的群中，並不存在有效率的求解算法。.
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秀爾演算法
演算法（Shor算法），以數學家彼得·秀爾命名，是一個在1994年發現的，針對整數分解這題目的的量子演算法（在量子計算機上面運作的演算法）。比較不正式的說，它解決題目如下：給定一個整數N，找出他的質因數。 在一個量子計算機上面，要分解整數N，秀爾演算法的運作需要多項式時間（時間是log N的某個多項式這麼長，log N在這裡的意義是輸入的檔案長度）。更精確的說，這個演算法花費的時間，展示出質因數分解問題可以使用量子計算機以多項式時間解出，因此在複雜度類BQP裡面。這比起傳統已知最快的因數分解演算法，普通數域篩選法，其花費次指數時間 -- 大約，還要快了一個指數的差異。 秀爾演算法非常重要，因為它代表使用量子計算機的話，我們可以用來破解已被廣泛使用的公開密鑰加密方法，也就是RSA加密演算法。RSA演算法的基礎在於假設了我們不能很有效率的分解一個已知的整數。就目前所知，這假設對傳統的（也就是非量子）電腦為真；沒有已知傳統的演算法可以在多項式時間內解決這個問題。然而，秀爾演算法展示了因數分解這問題在量子計算機上可以很有效率的解決，所以一個足夠大的量子計算機可以破解RSA。這對於建立量子計算機和研究新的量子計算機演算法，是一個非常大的動力。 在2001年，IBM的一個小組展示了秀爾演算法的實例，使用NMR實驗的量子計算機，以及7個量子位元，將15分解成3×5。.
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積性函數
在數論中，積性函數是指一個定義域為正整數n 的算術函數f(n)，有如下性質：f(1).
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算術函數
在數論上，算術函數（或稱數論函數）指定義域為正整數、陪域為複數的函數，即f: \mathbb^ \rightarrow\mathbb。每個算術函數都可視為複數的序列。 最重要的算術函數是積性及加性函數。算術函數的最重要操作為狄利克雷卷积，對於算術函數集，以它為乘法，一般函數加法為加法，可以得到一個阿貝爾環。 而且，由于f*g.
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算术基本定理
算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为質數的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。例如:6936.
算术研究
《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯於1798年写成的一本数论教材，在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果，并加入了许多他自己的重要成果。.
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米勒-拉宾检验
米勒-拉賓質數判定法是一种質數判定法則，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，其后由以色列耶路撒冷希伯來大學的Michael O.
素因子表
这个表中包括1－1002的整数分解。 注1：a0(n) 等于n的素因子之和。 注2：当n 本身是素數时，因子显示为黑体。.
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素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
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素数定理
#重定向 質數定理.
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素数公式
--，又称--，在数学领域中，表示一种能够僅产生质数（素数）的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的质数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是质数。由于质数的个数是可数的，因此一般假设输入的值是自然数集（或整数集及其它可数集）。迄今为止，人们尚未找到易于计算且符合上述條件的质数公式，但对于质数公式应该具备的性质已经有了大量的了解。.
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素数的倒数之和
公元前3世纪，欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪，欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里我们给出一些证明。.
素性测试
素数判定，或素性测试，是檢驗一個給定的整數是否為質數的测试。.
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索菲熱爾曼素數
#重定向 索菲·熱爾曼質數.
纽曼-尚克斯-威廉士素数
素数是纽曼-尚克斯-威廉士素数（Newman-Shanks-Williams prime，簡寫為NSW素数）若且唯若它能寫成以下的形式： 1981年M.
线性反馈移位寄存器
线性反馈移位寄存器（英語：Linear feedback shift register，LFSR）是指给定前一状态的输出，将该输出的线性函数再用作输入的移位寄存器。异或运算是最常见的单比特线性函数：对寄存器的某些位进行异或操作后作为输入，再对寄存器中的各比特进行整体移位。 赋给寄存器的初始值叫做“种子”，因为线性反馈移位寄存器的运算是确定性的，所以，由寄存器所生成的数据流完全决定于寄存器当时或者之前的状态。而且，由于寄存器的状态是有限的，它最终肯定会是一个重复的循环。然而，通过本原多项式，线性反馈移位寄存器可以生成看起来是随机的且循环周期非常长的序列。 线性反馈移位寄存器的应用包括生成伪随机数，伪随机噪声序列，快速数字计数器，还有扰频器。线性反馈移位寄存器在硬件和软件方面的应用都非常得普遍。 循环冗余校验中用于快速校验传输错误的数学原理，就与线性反馈移位寄存器密切相关。.
线性同余方程
在数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次，即形如： 的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b）。这时，如果 x0 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为： 其中 d 是a 与 n 的最大公约数。在模 n 的完全剩余系 中，恰有 d 个解。.
瓦格斯塔夫質數
形式如(2^p+1)/3的質數稱為瓦格斯塔夫質數，首幾項為： 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127...(OEIS:A000978) 目前已知最大的瓦格斯塔夫素数是\frac3,是Vincent Diepeveen於2008年6月發現。.
無理數
無理數是指除有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。 非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明\sqrt無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。 無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。.
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狄利克雷定理
在數論中，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數a,d，有無限多個質數的形式如a+nd，其中n為正整數，即在算術級數a+d,a+2d,a+3d,...
狄利克雷级数
在数学中，狄利克雷级数是如下形式的无穷级数： 其中s是一个复数，an是一个复数列。 狄利克雷级数在解析数论中有重要的地位。黎曼ζ函数和狄利克雷L函数都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成塞尔伯格类函数都满足广义黎曼猜想。狄利克雷级数的名称来源于数学家約翰·彼得·狄利克雷。.
狄利克雷特徵
在解析數論及代數數論中，狄利克雷特徵是一種算術函數，是 \mathbb Z / n \mathbb Z 的特徵。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。.
E (数学常数)
-- e，作为數學常數，是自然對數函數的底數。有時被稱為歐拉數（Euler's number），以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位，）：.
随机化算法
随机化算法（randomized algorithm），是这样一种算法，在算法中使用了随机函数，且随机函数的返回值直接或者间接的影响了算法的执行流程或执行结果。就是将算法的某一步或某几步置于运气的控制之下，即该算法在运行的过程中的某一步或某几步涉及一个随机决策，或者说其中的一个决策依赖于某种随机事件。 Category:算法分析.
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韦伊费列治素数
#重定向 維費里希素數.
非互補歐拉商數
非互補歐拉商數（noncototient）是指一個正整數n，不存在任一個整數m使下式成立： 其中\varphi(m)表示歐拉函數，是小於m的正整數中和m互質整數的個數，m-\varphi(m)稱為m的互補歐拉商數，因此非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數。 頭幾個非互補歐拉商數是： 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 。 目前已知的非互補歐拉商數均為偶數，因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數，猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想：若偶數n可以表示為二個相異質數p及q的和，則 依照哥德巴赫猜想，所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數p及q的和，此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數，因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數，而未考慮到的奇數有1,3,5，而1.
非歐拉商數
在數論中，非歐拉商數是一個不在歐拉函數 φ 值域中的整數 n 。換句話說，若 n 是非歐拉商數，則不存在一個整數 x ，恰巧有 n 個小於 x 且和 x 互質的整數。除了 1 之外（ x.
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表兄弟素数
表兄弟素数是二個相差4的質數，其概念類似孪生素数（二質數的差為2）及六質數（二質數的差為6）。 前几对表兄弟素数（及) 如下：.
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馬爾可夫方程
不定方程x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.
解析数论
解析数论（analytic number theory），為數論中的分支，它使用由数学分析中發展出的方法，作为工具，来解决数论中的问题。它首次出現在數學家狄利克雷在1837年導入狄利克雷L函數，來証明狄利克雷定理。解析数论的成果中，較廣為人知的是在質數（例如質數定理及黎曼ζ函數）及（例如哥德巴赫猜想及華林問題）。.
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高合成数
合成数指一类整數，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。 最小的20个高合成数为： 高度合成数有无限个。证明这点，可用反证法。假设n是最大的高度合成数。显然2n比n有更多因子，所以2n才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。 大於6的高度合成數亦是豐數。 這些數常見於量度系統，在工程設計亦很常用，因為它們在分數計算時很方便。 若 Q(x)表示所有小於或等於x的高度合成数的数目，則存在两个均大於1的常数a,b，使得∶.
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高斯引理
在数论中，高斯引理给出了一个整数是模另一个整数的二次剩余的条件。尽管高斯引理没有实际计算上的意义，但作为二次互反律的证明中的一环，高斯引理有着理论上的重要性。 高斯引理最早出现在高斯1808年发表的二次互反律的第三个证明中，并在第五个证明中再次用到。.
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试除法
试除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。首次出現於義大利數學家斐波那契出版於1202年的著作。 给定一个合数n（这里，n是待分解的正整数），试除法看成是用小于等于\sqrt的每个素数去试除待分解的整数。如果找到一个数能够整除除尽，这个数就是待分解整数的因子。试除法一定能够找到n的因子。因为它检查n的所有可能的因子，所以如果这个算法“失败”，也就证明了n是个素数。试除法可以从几条途径来完善。例如，n的末位数不是0或者5，那么算法中就可以跳过末位数是5的因子。如果末位数是2，检查偶数因子就可以了。 某种意义上说，试除法是个效率非常低的算法，如果从2开始，一直算到\sqrt需要 \pi(\sqrt)次试除，这里pi(x)是小于x的素数的个数。这是不包括素性测试的。如果稍做变通——还是不包括素性测试——用小于\sqrt的奇数去简单的试除，则需要次。这意味着，如果n有大小接近的素因子（例如公钥密码学中用到的），试除法是不太可能实行的。但是，当n有至少一个小因子，试除法可以很快找到这个小因子。值得注意的是，对于随机的n，2是其因子的概率是50％，3是33％，等等，88％的正整数有小于100的因子，91％的有小于1000。.
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谢尔宾斯基数
謝爾賓斯基數是指奇正整數k，使得所有形式如k × 2n + 1的數均為合數。 1960年謝爾賓斯基證明有無限多個謝爾賓斯基數。 1962年約翰·塞爾弗里奇證明78,557是謝爾賓斯基數，其k × 2n + 1的數都可被集其中一個元素整除。它是已知最小的謝爾賓斯基數。在所有小于78557的整数中，还有21181、22699、24737、55459和67607五个数不知道是不是谢尔宾斯基数。 一個未解決問題是最小的謝爾賓斯基數是甚麼。有一個分布式計算計劃Seventeen or Bust正嘗試解決這個問題。.
谷山－志村定理
谷山－志村定理（Taniyama-Shimura theorem）建立了椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）、理查·泰勒（Richard Taylor）、法國數學家克里斯多福·布勒伊（Christophe Breuil）、美國數學家布萊恩·康萊德（Brian Conrad）和佛瑞德·戴蒙德（Fred Diamond）所完成。 若p是一个质数而E是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。谷山-志村定理说：.
貝祖引理
#重定向 貝祖定理.
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貝祖等式
在数论中，裴蜀等式（Bézout's identity）或貝祖定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數a、b和m，关于未知数x和y的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）： 有整数解时当且仅当m是a及b的最大公约数d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。 例如，12和42的最大公因數是6，则方程12x+42y.
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費馬數
費馬數是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中n为非负整数。 若2n + 1是素数，可以得到n必须是2的幂。（若n.
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質因子
質因子（或質因數）在數論裡是指能整除給定正整數的質數。根據算術基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。兩個沒有共同質因子的正整數稱為互質。因為1沒有質因子，1與任何正整數（包括1本身）都是互質。只有一個質因子的正整數為質數。 将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做质因数分解。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用幂次的形式表示。例如360的质因数分解是： 其中的质因数2、3、5在360的质因数分解中的幂次分别是3，2，1。 数论中的不少函数与正整数的质因子有关，比如取值为的质因数个数的函数和取值为的质因数之和的函数。它们都是加性函数，但并非完全加性函数。.
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贝尔数
贝尔数以埃里克·坦普尔·贝尔命名，是組合數學中的一組整數數列，開首是（OEIS的A000110數列）： Bn是基數為n的集合的劃分方法的數目。集合S的一個劃分是定義為S的兩兩不相交的非空子集的族，它們的並是S。例如B3 .
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贝亚蒂定理
在数论中，贝亚蒂定理（英文：Beatty sequence）指：若 p,q \in \mathbb,p,q \not\in \mathbb 使得\frac + \frac.
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费马大定理
费马大定理，也称費馬最後定理（Le dernier théorème de Fermat)；(Fermat's Last Theorem），其概要為： 以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，一直被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。.
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费马小定理
费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个質数，那么a^p - a 是p的倍数，可以表示为 如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 这个书写方式更加常用。（符号的应用请参见同餘。）.
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费马平方和定理
費馬平方和定理是由法国数学家費馬在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家萊昂哈德·歐拉提出证明后成为定理。.
费马素性检验
费马素性检验是一种質數判定法則，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。.
趣味數學主題列表
#重定向 趣味數學.
超越數
在數論中，超越數是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的超越數是e以及π。.
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黎曼猜想
黎曼猜想由德国數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題（猜想界皇冠）。多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。.
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黎曼ζ函數
黎曼ζ函數ζ（s）的定義如下： 設一複數s，其實數部份> 1而且： \sum_^\infin \frac 它亦可以用积分定义： 在区域上，此无穷级数收敛并为一全纯函数（其中Re表示--的实部，下同）。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况，后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到：ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域（s, s≠ 1）上的全纯函数ζ（s）。这也是黎曼猜想所研究的函数。 虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学（参看齊夫定律（Zipf's Law）和（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及调音的数学理论中。.
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默比乌斯反演公式
設F(x)及G(x)為定義在.
默比乌斯函数
比乌斯函数或缪比乌斯函数\mu是指以下的函數： μ(n)的首25个值： 默比乌斯函数是一個積性函數。 以狄利克雷卷積的方法表示，則是 \mu * 1.
默滕斯猜想
滕斯猜想是数论中的一个猜想，由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·默滕斯（Franz Mertens）的信中提出。这一猜想如果成立的话可以推出黎曼猜想，不过已被安德鲁·奥德里兹科（Andrew Odlyzko）与赫尔曼·特里尔（Herman te Riele）于1985年证否。.
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輾轉相除法
在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（）；因为，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如。这个重要的結論叫做貝祖定理。 辗转相除法最早出现在欧几里得的《几何原本》中（大约公元前300年），所以它是现行的算法中歷史最悠久的。这个算法原先只用来处理自然数和几何长度（相當於正實數），但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的數學對象，如高斯整数和一元多项式。由此，引申出欧几里得整环等等的一些现代抽象代数概念。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。 辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。它还被用来解丢番图方程，比如寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域中元素的逆。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。 辗转相除法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。拉梅于1844年证明了这点，同時這也標誌著计算复杂性理论的開端。.
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辛钦常数
在數論領域中，苏联數學家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）證明對於幾乎所有實數x，其連分數表示式的係數ai的幾何平均數之極限存在，且與x數值無關，此數值稱為辛钦常數（Khinchin's constant）。 以下是x的連分數表示式 針對任意實數x，以下的等式幾乎總是為真 K_0 其中 K_0為辛钦常數 \prod_^\infty ^ \approx 2.6854520010\dots.
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连分数
在数学中，连分数或繁分数即如下表达式： 这里的a_0是某个整数，而所有其他的数a_n都是正整数，可依樣定义出更长的表达式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最終的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式與广义连分数相區別的时候，可稱它為简单或正规连分数，或称为是规范形式的。.
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范德瓦尔登定理
范德瓦尔登定理是数论中的一个定理，由荷兰数学家范德瓦尔登发现。对于任意给定的正整数r和k，总存在正整数N，使得把数染成r种颜色时，至少存在k个组成等差数列的正整数是同一种颜色的。这个最小的N叫做范德瓦尔登数V(r,k)。 例如，V(2,3).
胡道爾數
胡道爾數（Woodall number）、第二種卡倫數或黎塞爾數（Riesel number）是形式如n \times 2^n-1（寫作W_n）的自然數。1917年艾倫·坎寧安和胡道爾最先研究，由卡倫數的研究引發。 胡道爾數有很多特殊的整除性質。若p是質數，p可整除：（下面使用了雅可比符號）.
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蘭道函數
對於所有非負整數n，蘭道函數g(n)定義為對稱群S_n的所有元素的秩之中，最大的一個。或者說，g(n)是n的所有整數分拆之中的最小公倍數。 例如5.
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闵可夫斯基不等式
在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S 是一个度量空间，1 \le p\le \infty, f,g \in L^p(S)，那么 f + g \in L^p(S)，我们有： 如果 1 ，等号成立当且仅当 \exists k\le 0,f.
蒙哥马利算法
在算术运算，蒙哥马利算法(Montgomery reduction)是一种快速大数（通常是几百個二進位）模乘算法， 由彼得·蒙哥马利在1985年提出。 蒙哥马利算法利用了以下這個被稱為「蒙哥马利约分」的步驟來簡化模乘的算法：.
自守形式
數學上所謂的自守形式，是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。.
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艾萨克
艾萨克或伊萨克（英语：Isaac；希伯来语：יִצְחָק）是西亚与欧洲一些民族的男性名字。来源于希伯来语，意思是“他笑”。名字起源于聖經人物以撒。.
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除數函數
在數論上，除數函數是一類算術函數。 除數函數\sigma_x(n)定義為n的正因數的x次冪之和，即 其中一些特殊情況：.
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L函數
在當代數論中，L函數是一類重要的複變數函數，蘊含重要的數論、算術代數幾何或表示理論信息，目前仍有大量待解的猜想。L函數是黎曼ζ函數的推廣，最簡單的例子是狄利克雷L函數，狄利克雷藉此研究等差數列中的素數密度。 許多L函數也有p進數版本。 L函數通常以無窮級數表示，有時也稱為L級數；這種級數通常只對虛部夠大的參數 s 方收斂。一如黎曼ζ函數，L級數往往能延拓為整個複數平面上的亞純函數或全純函數，並具備乘積表法及函數方程。.
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Luhn算法
Luhn算法（Luhn algorithm），也称为“模10”（Mod 10）算法，是一种简单的校验和算法，一般用于验证身份识别码，例如发卡行识别码、国际移动设备辨识码（IMEI），美国号码，或是。该算法由IBM科学家创造，专利于1954年1月6日申请，1960年8月23日颁证，美国专利号2950048。 该算法现已属于公有领域并得到了广泛的应用，例如ISO/IEC 7812-1。它不是一种安全的加密哈希函数，设计它的目的只是防止意外出错而不是恶意攻击。.
Schnirelmann密度
#重定向 施尼勒尔曼密度.
林德曼-魏尔斯特拉斯定理
林德曼-魏尔斯特拉斯定理（）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果 是代数数，在有理数 内是线性独立的，那么e^, \ldots,e^在 内是代数独立的；也就是说，扩张域\mathbb(e^, \ldots,e^)在 内具有超越次数 。 一个等价的表述是：如果 是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。 这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。 这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。.
恩格尔展开式
Engel展開式是一個正整數數列\，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和： 有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。.
格尔丰德-施奈德定理
格尔丰德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond在1934年、Theodor Schneider在1935年分别独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。.
梅森素数
梅森数是指形如2^n - 1的数，记为M_n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数（Mersenne prime）。 梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森（Marin Mersenne）的名字命名的，他列出了n ≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是梅森素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。 当n为合数时，M_n一定为合数。但当n为素数时，M_n不一定皆為素数，比如M_2.
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梅森猜想
在數論上，新梅森猜想是有關質數的猜想，它說明：對於任何奇自然數p，若以下其中兩句敍述成立，剩下的一句就會成立：.
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梅滕斯函數
梅滕斯函數為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下 其中μ是默比乌斯函数。 上述定義也可以延伸到實數： 以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。.
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椭圆曲线
在數學上，橢圓曲線（Elliptic curve，縮寫為EC）為一代數曲線，被下列式子所定義 其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。 若y^2.
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模形式
模形式是數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。因此，模形式理論屬於数论的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。 模形式理論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發展大致可分成三期：.
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欧几里得引理
在数论中，欧几里得引理是根据欧几里得的《几何原本》第七卷的命题30推出的一个定理。這個引理說明： 可以这样表达这个引理： 命题30是这样说的： 如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。.
欧拉定理 (数论)
在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a-zh-hans:互素; zh-hant: 互質-（即\gcd(a,n).
欧拉乘积
数论中，欧拉乘积（Euler product）是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。.
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欧拉伪素数
欧拉伪素数（Euler pseudoprime）是伪素数的一种。对于奇合数n以及与其互素的自然数a，如果 成立，则称n为关于a的欧拉伪素数。欧拉伪素数是费马伪素数的推广，所有欧拉伪素数同时也是费马伪素数。 与费马伪素数类似，欧拉伪素数的定义也是源于费马小定理。该定理表明，对于素数p以及整数a，有 ap−1.
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欧拉函数
在數論中，對正整數n，歐拉函數\varphi(n)是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數（totient function，由西爾維斯特所命名）。 例如\varphi(8).
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欧拉准则
在数论中，二次剩餘的歐拉判別法（又稱歐拉準則）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。.
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欧拉四平方和恒等式
欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为： 欧拉在1748年5月4日寄给哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。它可以用基本的代数来证明，在任何交换环中都成立。如果as和bs是实数，有一个更加简洁的证明：这个等式表达了两个四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实，就像婆罗摩笈多-斐波那契恒等式与复数的关系一样。 拉格朗日用这个恒等式来证明四平方和定理。.
欧拉猜想
歐拉猜想是由歐拉提出，從費馬最後定理引出的猜想，已經確定不成立。 這猜想是說對每個大於2的整數n，任何n-1個正整數的n次冪的和都不是某正整數的n次冪，也就是說以下不定方程無正整數解。.
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沃尔-孙-孙素数
若質數p大於5，且p^2整除F(p-\left(\frac\right))，其中\left(\frac\right)表示勒讓德符號，F(k)是第k個斐波那契數，則稱p為沃尔-孙-孙素数（Wall-Sun-Sun prime）。 1960年，唐纳德·丹斯·沃尔猜想是否存在這類數。 1992年，孙智宏和孙智伟證明若費馬大定理對於質數p有一個反例使得它不成立，該質數應為沃尔-孙-孙素数。可惜費馬大定理已經被證明了。 目前已知若沃尔-孙-孙素数存在，它一定要大于10^。.
法里數列
數學上，n階的法里數列是0和1之間最簡分數的數列，由小至大排列，每個分數的分母不大於n。每個法里數列從0開始，至1結束，寫作0⁄1和1⁄1，但有些人不把這兩項包括進去。有時法里數列也稱為法里級數，嚴格來說這名字不正確，因為法里數列的項不會加起來。.
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朗蘭茲綱領
朗蘭茲綱領是數學中一系列影響深遠的構想，聯繫數論、代數幾何與约化群表示理論；綱領最初由羅伯特·朗蘭茲於1967年在一封給韦伊的中提出。.
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有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
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最大公因數
数学中，兩個或多個整數的最大公因數（greatest common factor，hcf）指能够整除这些整数的最大正整数（这些整数不能都为零）。例如8和12的最大公因数为4。最大公因数也称最大公约数（greatest common divisor，gcd）。 整数序列a的最大公因数可以記為(a_1, a_2, \dots, a_n)或\gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)。 求兩個整數最大公因數主要的方法：.
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最小公倍數
最小公倍數是数论中的一个概念。若有一個數X，可以被另外兩個數A、B整除，且X大於（或等于）A和B，則X為A和B的公倍數。A和B的公倍數有無限個，而所有的公倍數中，最小的公倍數就叫做最小公倍數。兩個整數公有的倍數称为它们的公倍数，其中最小的一個正整数称为它们两个的最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。n整数a_1, a_2, \cdots, a_n的最小公倍数一般记作：，或者参照英文记法记作\operatorname(a_1, a_2, \cdots, a_n)，其中lcm是英语中“最小公倍数”一词（lowest common multiple）的首字母缩写。 对分數进行加減运算時，要求兩數的分母相同才能計算，故需要--；标准的计算步骤是将兩個分數的分母--成它们的最小公倍數，然后将--后的分子相加。.
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最简分数
最簡分數或既约分数指的是分子與分母互質的分數。 若一分數可表為\frac，且p, q \in \mathbb（整數），(p,q).
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戴德金和
戴德金和（Dedekind sum）是數學家戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。 定義這個函數，首先要定義((x))：若x是整數，((x)).
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流加密
在密码学中，流加密（Stream cipher），又譯為串流加密、資料流加密，是一种对称加密算法，加密和解密双方使用相同伪随机加密数据流（pseudo-random stream）作为密钥，明文数据每次与密钥数据流顺次对应加密，得到密文数据流。实践中数据通常是一个位（bit）并用异或（xor）操作加密。 该算法解决了对称加密完善保密性（perfect secrecy）的实际操作困难。「完善保密性」由克劳德·香农于1949年提出。由于完善保密性要求密钥长度不短于明文长度，故而实际操作存在困难，改由较短数据流通过特定算法得到密钥流。.
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斯奎斯数
在数论中，斯奎斯数（Skewes' number）是指南非数学家斯坦利·斯奎斯（Stanley Skewes）用以表示满足下式之最小自然数x的上界的極大數字。 ，其中π表示素数计数函数，li则表示对数积分。经过数学家对这一上界的不断改进，目前发现在e^附近有满足上式的自然数，不过仍不清楚这是否是最小的斯奎斯数。.
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无平方数因数的数
無平方数因数的数（Square-Free）是指其因數中，沒有一個是平方數的正整數。簡言之，將一個這樣的數予以質因數分解後，所有質因數的冪都不會大於或等於2。例如：54.
数的几何
#重定向几何数论.
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数论
數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。.
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整数分解
在數學中，整數分解（integer factorization）又稱質因數分解（prime factorization），是將一個正整數寫成幾個因數的乘積。例如，給出45這個數，它可以分解成32 ×5。根據算術基本定理，這樣的分解結果應該是獨一無二的。這個問題在代數學、密碼學、計算複雜性理論和量子計算機等領域中有重要意義。.
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整數分拆
一個正整數可以寫成一些正整數的和。在數論上，跟這些和式有關的問題稱為整數拆分、整數剖分、整數分割、分割數或切割數(Integer partition)。其中最常見的問題就是給定正整數n，求不同數組(a_1,a_2,...,a_k)的數目，符合下面的條件：.
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普通数域筛选法
在数论中，普通数域筛选法（GNFS）是已知效率最高的分解整数的算法。分解整数n需要 步（参见大O符号）。它是从引申出来的。如果条件数域筛没有限定条件，就是指普通数域筛选。.
2的√2次方
2^的值为： 阿勒克山德·格爾豐德利用格尔丰德-施奈德定理证明这是一个超越数，回答了希尔伯特第七问题。 它的平方根也是一个超越数。 这可以用来说明一个无理数的无理数次方有时可以是有理数，因为这个数的\sqrt次方等于2。 即：.
另见
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