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205 关系: 埃尔布朗定理，垂径定理，博特周期性定理，博苏克－乌拉姆定理，卡诺定理，卢津定理，卷积定理，单值化定理，单调收敛定理，反函数定理，可靠性定理，叶戈罗夫定理，同构基本定理，吉洪诺夫定理，塞瓦定理，多项式定理，大数定律，威尔逊定理，定理，富比尼定理，密克定理，射影定理，巴拿赫-塔斯基悖论，巴拿赫不动点定理，不动点定理，中心极限定理，中国剩余定理，中值定理，中線定理，布尔素理想定理，布列安桑定理，布勞威爾不動點定理，布朗定理，帕塞瓦尔定理，帕斯卡定理，帕普斯定理，三次互反律，庞加莱－霍普夫定理，庞加莱－本迪克松定理，亥姆霍兹定理，康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理，康托尔定理，二项式定理，二次互反律，五色定理，代数基本定理，介值定理，弗罗贝尼乌斯定理，开世定理，开映射定理，...，微积分基本定理，圆幂定理，刘维尔定理 (复分析)，切除定理，切消定理，嘉当－迪厄多内定理，哥德尔完备性定理，哥德尔不完备定理，哈恩－巴拿赫定理，儒歇定理，克纳斯特－塔斯基定理，克莱尼不动点定理，克萊姆法則，勾股定理，勒让德定理，勒贝格控制收敛定理，勒文海姆-斯科伦定理，因式定理，图兰定理，四平方和定理，四頂點定理，四色定理，皮卡定理，皮亚诺存在性定理，皮克定理，祖暅原理，秩－零化度定理，积分第一中值定理，积分第二中值定理，空间分割定理，笛卡儿符号法则，笛沙格定理，等周定理，算术基本定理，米迪定理，素数定理，素数的倒数之和，紧致性定理，纳什嵌入定理，线性代数基本定理，维纳－辛钦定理，维维亚尼定理，罗尔定理，罗斯定理，絕妙定理，留数定理，牛顿定理，狄利克雷定理，狄利克雷定理 (傅里叶级数)，隐函数定理，芬斯勒－哈德維格爾定理，韦达定理，莫雷角三分線定理，莫雷拉定理，華勒斯－波埃伊－格維也納定理，萨维奇定理，蝴蝶定理，餘弦定理，西姆松定理，西尔维斯特-加莱定理，西尔维斯特惯性定理，西羅定理，角平分線定理，高斯-卢卡斯定理，高斯－马尔可夫定理，高斯散度定理，魏尔斯特拉斯逼近定理，魏尔施特拉斯分解定理，谱定理，谷山－志村定理，贝叶斯定理，贝尔纲定理，贝亚蒂定理，费马多边形数定理，费马大定理，费马小定理，费马平方和定理，鴿巢原理，黎曼-勒贝格定理，黎曼级数定理，黎曼－罗赫定理，黎曼映射定理，黑林格－特普利茨定理，齊肯多夫定理，辐角原理，达布定理，达布定理 (微分几何)，迪尼定理，迈希尔－尼罗德定理，霍普夫－里诺定理，范德瓦尔登定理，胡尔维兹定理，舒尔正交关系，阿基米德中點定理，阿基米德公理，阿姆达尔定律，阿尔泽拉－阿斯科利定理，阿贝尔-鲁菲尼定理，阿贝尔定理，阿达马三圆定理，阿蒂亞－辛格指標定理，閉圖像定理，闵可夫斯基不等式，邁爾斯定理，里斯表示定理，采样定理，良序定理，若尔当曲线定理，零一律，陈氏定理，Sun-Ni定理，Vizing定理，柯西-利普希茨定理，柯西定理 (群論)，柯西中值定理，柯西积分定理，极值定理，林德曼-魏尔斯特拉斯定理，排容原理，格尔丰德-施奈德定理，格林公式，梅涅劳斯定理，棣莫弗公式，樞紐定理，欧几里得定理，欧拉定理 (几何学)，欧拉定理 (数论)，欧拉示性数，正弦定理，正切定理，毛球定理，沃尔斯滕霍尔姆定理，泰博定理，泰勒公式，泰勒斯定理，法图引理，演绎定理，本原元定理，本迪克森-杜拉克定理，有噪信道编码定理，最大模原理，最大流最小割定理，海涅－博雷尔定理，海涅－康托尔定理，斯图尔特定理，斯托尔兹－切萨罗定理，斯托克斯定理，施图姆定理，托勒密定理，拿破侖定理，拉姆齐定理，拉东-尼科迪姆定理，拉格朗日中值定理，普罗斯定理，15-定理。 扩展索引 (155 更多) »
埃尔布朗定理
在逻辑学中，埃尔布朗定理(Herbrand's theorem)建立了命题逻辑计算和谓词逻辑计算之间的关系，因此埃尔布朗定理可能是一种已知的确定手段来判断一个命题的命题逻辑计算是否是有限的，对于一个含有复杂谓词的公式，它的谓词逻辑计算也起到同样的判断。通过对埃尔布朗定理的应用，部分解决回答了上述问题。但是虽然有Gödel(哥德尔)，Tarski(塔尔斯基)，Church(邱奇)，Turing(图灵)和其他科学家在逻辑学领域中卓越的研究成果，但是至今不存在一个算法，能够决定一个普遍公式的谓词逻辑计算是否是可计算的这样一个问题，我们不知道这个算法是否是可以被证明的。.
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垂径定理
垂徑定理是一種常用的幾何學的定理。 定理定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。.
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博特周期性定理
博特周期性定理描述了酉群的同伦群和正交群同伦群的周期性。 简单的讲： 注意第2和第3个等式蕴涵了正交群的同伦群具有周期8。 拉乌尔·博特开始是用莫尔斯理论证明的，后来又出现了K理论的证明。 Category:同伦论 B Category:李群的拓扑 Category:拓撲學理論.
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博苏克－乌拉姆定理
博苏克-乌拉姆定理表明，任何一个从n维球面到欧几里得''n''维空间的连续函数，都一定把某一对对蹠点映射到同一个点。 n.
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卡诺定理
设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为 其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理，以拉扎尔·卡诺為名。.
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卢津定理
卢津（Лузин）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。.
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卷积定理
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于频域中的乘积。 其中\mathcal(f)表示f 的傅里叶变换。下面这种形式也成立： 借由傅里叶逆变换\mathcal^，也可以写成 注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式正规化，使得上面的关系式中出现其它的常数因子。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n-1组对位乘法，其计算复杂度为\mathcal(n^2)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为\mathcal(n\log n)。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。.
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单值化定理
数学上，曲面的单值化定理是说任何曲面上都有一个常高斯曲率的度量。事实上，在每一个给定的共形类中我们都可以找到一个常高斯曲率的度量。等价的說，用复分析的语言，任何单连通的黎曼曲面都共形等价於复平面、单位圆盘和黎曼球面三者之一。 Category:黎曼几何 Category:黎曼曲面 D.
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单调收敛定理
在数学中，有许多定理称为单调收敛定理；这里我们介绍一些主要的例子。.
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反函数定理
在数学中，反函数定理给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的充分条件。该定理还说明了反函数的全导数存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间（和巴拿赫流形）上的映射。大致地说，C1函数F在点p可逆，如果它的雅可比矩阵JF(p)是可逆的。.
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可靠性定理
可靠性定理（或健全性）是数理逻辑的最基本结果。它们有关于某个形式逻辑语言与这个语言的形式演绎系统的特定语义理论。可靠性定理有两种主要变体：弱可靠性的和强可靠性的。“强”与“弱”的意义在于，强可靠性考虑句子的任意集合，而与弱可靠性有关的句子的空集是这种集合之一。大多数但不是全部演绎系统，强可靠性和弱可靠性都成立。.
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叶戈罗夫定理
在测度论中，叶戈罗夫定理确立了一个可测函数的逐点收敛序列一致连续的条件。这个定理以俄国物理学家和几何学家德米特里·叶戈罗夫命名，他在1911年出版了该定理。 叶戈罗夫定理与紧支撑连续函数在一起，可以用来证明可积函数的卢津定理。.
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同构基本定理
同构基本定理或称同态基本定理，包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。.
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吉洪诺夫定理
在数学上，吉洪诺夫（Тихонов）定理断言，任意个紧致空间的乘积空间对于乘积拓扑是紧致的，这个定理1930年由吉洪诺夫 (数学家)（Andrey Nikolayevich Tychonoff，Андрей Николаевич Тихонов）发表。这个定理在微分拓扑、代数拓扑和泛函分析等领域中有诸多运用。 对有限个空间来说，这个定理没有特别之处；对无限个，无论是可数无穷还是不可数无穷，这个结论仍然成立，它依赖于乘积拓扑的定义，与选择公理（它又等价于佐恩引理）是等价的。 J J J.
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塞瓦定理
塞瓦線段（cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果\triangle ABC的塞瓦線段AD 、BE、CF 通过同一点O，则 它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足 则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。 它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明，又名【帥氏定理】。.
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多项式定理
多项式定理为二项式定理的推广。t.
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大数定律
在數學與統計學中，大数定律又称大数法则、大数律，是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，樣本數量越多，則其平均就越趨近期望值。 大数定律很重要，因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现，在重複試驗中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，亦即偶然之中包含着必然。 切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定律都概括了这一现象，都称为大数定律。.
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威尔逊定理
威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。 在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时： 但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。.
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定理
定理（Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些a是x，某些a是y，就不能算是定理）。 猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。 如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。 在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。.
富比尼定理
富比尼定理（Fubini's theorem）是数学分析中有关重积分的一个定理，以数学家圭多·富比尼命名。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下，不仅能够用逐次积分计算双重积分，而且交换逐次积分的顺序时，积分结果不变。.
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密克定理
密克定理是几何学中關於相交圓的定理。1838年，奧古斯特·密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。.
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射影定理
射影定理（right triangle altitude theorem），又称欧几里德（Euclid)定理,也称作“第一余弦定理（任意三角形射影定理）”。是指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。 射影定理的其他定义为：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”，用公式表示为：cos\theta.
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巴拿赫-塔斯基悖论
#重定向 巴拿赫-塔斯基定理.
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巴拿赫不动点定理
巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。.
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不动点定理
在数学中，不动点定理是一個結果表示函数F在某種特定情況下，至少有一個不动点存在，即至少有一个点x能令函数F(x).
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中心极限定理
中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，在适当的条件下，大量相互独立随机变量的均值经适当标准化后依分布收敛于正态分布。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。.
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中国剩余定理
中國剩--定理，又稱中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孫子定理，古有「韓信點兵」、「孫子定理」、「求一术」（宋沈括）、「鬼谷算」（宋周密）、「隔墻算」（宋 周密）、「剪管術」（宋杨辉）、「秦王暗點兵」、「物不知數」之名。.
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中值定理
在實分析中，中值定理（mean value theorem）描述了連續光滑曲線在兩點之間的光滑性： 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。.
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中線定理
中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。.
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布尔素理想定理
素理想定理（prime ideal theorem）即保证在给定的抽象代数中特定类型之子集的存在性之數學定理。常见的例子就是布尔素理想定理（Boolean prime ideal theorem），它声称在布尔代数中的理想可以被扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做叫做超滤子引理。通过考虑不同的带有适当的理想概念的数学结构可获得其他定理，例如环和（环论的）素理想，和分配格和（序理论的）的极大理想。本文关注序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能看起来简单且直觉，它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推导出来。反而某些陈述等价于选择公理（AC），而其他的如布尔素理想定理，体现了严格弱于AC的性质。由于这个在ZF和ZF+AC (ZFC)之间的中介状态，布尔素理想定理经常被接受为集合论的公理。经常用缩写BPI（对布尔代数）或PIT提及这个额外公理。.
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布列安桑定理
设ABCDEF为椭圆外切六边形。则直线AD，BE和CF三线共点。这个定理叫做布列安桑定理。 布列安桑定理的对偶命题是帕斯卡定理。.
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布勞威爾不動點定理
在数学中，布勞威爾不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾（）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x_0，使得f(x_0).
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布朗定理
布朗定理是一个数论中的定理，由挪威数学家布朗在1919年证明。 设P(x)为满足p ≤ x的素数数目，使得p + 2也是素数（也就是说，P(x)是孪生素数的数目）。那么，对于x ≥ 3，我们有： 其中c是某个常数。 从这个结果可以推出，所有孪生素数的倒数之和收敛；也就是说，以下的级数 是收敛的，它的值称为布朗常数。假如它是发散的，那么就可以推出孪生素数有无穷多个；但现在它收敛，我们就仍然不知道孪生素数是否有无穷多个。.
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帕塞瓦尔定理
在数学中，帕塞瓦尔定理（或称帕塞瓦尔等式），经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论；简而言之，就是说函数平方的和（或积分）等于其傅里叶转换式平方之和（或者积分）。这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。 虽说帕塞瓦尔定理这一术语常用来描述任何傅里叶转换的幺正性，尤其是在物理学和工程学上，但这种属性最一般的形式还是称为Plancherel theorem而不是帕塞瓦尔定理才更合适。 。.
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帕斯卡定理
帕斯卡定理指圆锥曲线的内接六边形其三条对边的交点共线。它与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。 该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但並未證明，是射影几何中的一个重要定理。.
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帕普斯定理
设U，V，W，X，Y和Z为平面上六条直线。如果： （1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且 （2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线， 则（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯定理。 也就是说， 如果 且 则.
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三次互反律
在数学中，三次互反律是关于模代数中两个对应的三次方程的可解性之间的关系的结论和定理。.
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庞加莱－霍普夫定理
数学上，庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理，庞加莱-霍普夫指标公式，或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要定理。 定理：令 M 为紧微分流形。令 v 为 M 上有孤立零点的向量场。若 M 有边界，则我们要求在边界上 v 指向边界的外法向。然后，我们有如下公式 其中，求和取遍 v 的孤立零点而 \chi(M) 是 M 的欧拉示性数。 定理由庞加莱在二维的情况证明，而后由霍普夫推广到高维。 P P.
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庞加莱－本迪克松定理
在数学中，庞加莱-本迪克松定理是一个关于二维平面上的连续动力系统的轨道的变化趋势的定理。.
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亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理可以指：.
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康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
#重定向 康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理.
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康托尔定理
康托尔定理指的是在Zermelo-Fränkel集合论中，声称任何集合A的幂集（所有子集的集合）的势严格大于A的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。.
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二项式定理
在初等代數中，二项式定理（Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如(x + y)n 展开为类似 axbyc 项之和的恒等式，其中b、c均为非负整数且。系数a是依赖于 n 和b的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如： (x+y)^4 \;.
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二次互反律
在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程x^2 \equiv p \pmod q 之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程x^2 \equiv p \pmod q 可解和 x^2 \equiv q \pmod p 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。 二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数 p 和 q， 其中\left(\tfrac \right) 是勒让德符号。但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。 欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”： 此基石應當被視為此類型的定理中最為典雅的其中之一。(Art. 151) 私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。 高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。.
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五色定理
五色定理是图论中的一个结论：将一个平面分成若干区域，给这些区域染色，且保证任意相邻区域没有相同颜色，那么所需颜色不超过五种。五色定理是比四色定理弱的定理，而比四色定理更容易证明。1879年，阿尔弗雷德·布雷·肯普给出了四色定理的一个证明，当时为人所接受，但11年后，珀西·约翰·希伍德却发现了肯普的证明中存在错误，他把肯普的证明加以修改，得到了五色定理。.
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代数基本定理
代数基本定理说明，任何一个一元複系数方程式都至少有一个複数根。也就是说，複数域是代数封闭的。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次複系数多项式，都正好有n个複数根。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。 尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明，其中第一个是在他22岁时（1799年）的博士论文中给出的。高斯给出的证明既有几何的，也有函数的，还有积分的方法。高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性，开创了关于研究存在性命题的新途径。 同时，高次代数方程的求解仍然是一大难题。伽罗瓦理論指出，对于一般五次以上的方程，不存在一般的代数解。.
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介值定理
在数学分析中，介值定理（intermediate value theorem）（又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性： 直觀地比喻，這代表在區間上可以畫出一個連續曲線，而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線，其任二點間的光滑性可由均值定理來描述。 介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。.
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弗罗贝尼乌斯定理
弗罗贝尼乌斯定理指出（C^1光滑的情况）： U为Rn的开集，F是Ω1(U)的常数阶r阶的子模。则F可积当且仅当对每个p ∈ U茎(stalk)Fp由r个恰当微分形式给出。 几何上来看，它说每个1-形式的r阶可积模和一个余维为r的层相同。这是研究向量场和层理论的基本工具之一。 这个结论在解析1-形式和和乐情况下也成立，但要把R换成C。它可以推广到高阶的微分形式，在有些条件下，也可以推广到有奇点的情况。 也有用向量场表达的定理。存在和如下向量场相切的V的子流形的充分条件 可以表达为任意两个场的李括号 包含在这些场撑成的空间中。因为李括号可在子空间上取，这个条件也是必要的。定理的这两种表述是因为李括号和外微分是相关的。 上面最后这个表述可以用来表明向量场在流形上的可积性。定理的这个变种表明流形M上的任何光滑向量场X可以积分，得到一个单参数族的曲线。这个可积性是因为定义曲线的方程是一阶常微分方程，所以可积性有皮卡-林德洛夫定理保证。.
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开世定理
在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。.
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开映射定理
在泛函分析中，开映射定理是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地.
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微积分基本定理
微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，表明不定积分是微分的逆运算。這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數的原函數的存在性。 定理的第二部分，称为微积分第二基本定理或“牛顿-莱布尼茨公式”，表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。这一部分有很多实际应用，这是因为它大大简化了定积分的计算。 该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。 微积分基本定理表明，一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和，等于该变量的净变化。 我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动，其位置为x(t)，其中t为时间，x(t)意味着x是t的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx除以时间的无穷小变化dt（当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法： 整理，得 根据以上的推理，x的变化──\Delta x，是dx的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。.
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圆幂定理
圆幂定理是平面几何中的一个定理。.
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刘维尔定理 (复分析)
刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域\mathbb上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。 比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要一个整函数的值域中不包含两个相异的复数，则这个整函数是常数函数。.
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切除定理
数学之分支代数拓扑学中，切除定理（Excision theorem）是关于相对同调的一个很有用的定理。给定拓扑空间 X 及其子空间 A 与 U 使得 U 也是 A 的子空间，此定理说在一定情形下，我们可将 U 从两个空间中切除使得空间偶 (X,A) 与 (X \ U,A \ U) 的相对同调群是同构的。这在奇异同调群的计算中很有用，在许多情形切除一个合适的子空间后更容易计算。或者，在许多情形，它使得可以应用归纳法。与同调中的长正合序列一起，我们可以导出计算同调群的另一个有用的工具迈耶-菲托里斯序列（Mayer–Vietoris sequence）。 更确切地，如果 X，A，与 U 如上，我们称 U 可切除如果空间偶 (X \ U,A \ U) 到 (X, A) 的包含映射在相对同调上诱导了 Hq(X,A) 到 Hq(X \ U,A \ U) 的同构。该定理说如果 U 的闭包属于 A 的内部，则 U 是可切除的。通常，不满足此包含判据的子空间也可切除——只要找到此子空间到满足这个条件的子空间的一个形变收缩便足够了。 切除定理的证明相当直观，尽管具体细节相当复杂。其想法是将 (X,A) 中的相对圈中的单形重分，得到另一个包含更小单形的链，继续此步骤直到链中每个单形要么完全属于 A 的内部要么属于 X\U 的内部。因为这样形成了 X 的一个开覆盖以及单形是紧的，我们事实上可在有限步内完成。这个过程不改变原先链的同调类（这是说重分算子在同调上链同伦于恒等映射）。则在相对同调Hq(X,A) 中，这说明完全包含于 U 内部的所有项可丢掉而不影响此圈的同调类。这使我们可以证明包含映射是一个同构，因为每个相对圈等价于一个完全不涉及 U 的圈。.
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切消定理
切消定理是确立相继式演算重要性的主要结果。它最初由格哈德·根岑在他的划时代论文《逻辑演绎研究》对分别形式化直觉逻辑和经典逻辑的系统LJ和LK做的证明。切削定理声称在相继式演算中，拥有利用了切规则的证明的任何判断，也拥有无切证明，就是说，不利用切规则的证明。 相继式是与多个句子有关的逻辑表达式，形式为"A, B, C, \ldots \vdash N, O, P"，它可以被读做"A, B, C, \ldots证明N, O, P"，并且（按Gentzen的注释）应当被理解为等价于真值函数"如果（A & B & C \ldots）那么（N or O or P）"。注意LHS（左手端）是合取（and）而RHS（右手端）是析取（or）。LHS可以有任意多个公式；在LHS为空的时候，RHS是重言式。在LK中，RHS也可以有任意数目的公式--如果没有，则LHS是个矛盾，而在LJ中，RHS只能没有或有一个公式：在右紧缩规则前面，允许RHS有多于一个公式，等价于容许排中律。注意，相继式演算是相当有表达力的框架，已经为直觉逻辑提议了允许RHS有多个公式的相继式演算，而来自Jean-Yves Girard的逻辑LC得到了RHS最多有一个公式的经典逻辑的更加自然的形式化；逻辑和结构规则的相互作用是它的关键。 "切"是在相继式演算的正规陈述中的一个规则，并等价于在其他证明论中的规则变体，给出 和 你可以推出 就是说，在推论关系中"切掉"公式"C"的出现。 切消定理声称（对于一个给定的系统）使用切规则的任何相继式证明也可以不使用这个规则来证明。如果我们认为(D, E, \ldots)是一个定理，则切消简单的声称用来证明这个定理的引理C可以被内嵌（inline）。在这个定理的证明提及引理C的时候，我们可以把它代换为C的证明。因此，切规则是可接纳的。 对于用相继式公式化的系统，分析性证明是不使用切规则的证明。这种证明典型的会很长，当然没有必要这么做。在散文《不要消除切呀!》中，George Boolos展示了可以使用切在一页中完成的推导，而它的分析性证明要耗尽宇宙的寿命来完成。 这个定理有很多丰富的推论。一旦一个系统被证明有切消定理，这个系统通常立即就是一致的。这个系统通常也有子公式性质，这是达成证明论语义的重要性质。切削是证明插值定理的最强力工具。基于归结原理的完成证明查找的可能性，导致Prolog编程语言的本质洞察，依赖于在适当的系统中接纳切规则。.
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嘉当－迪厄多内定理
嘉当-迪奥多内定理，乃数学中以埃利·嘉当与让·迪厄多内命名的定理，此定理所涉及的是对称双线性形式的自同构群。.
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哥德尔完备性定理
哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语形之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。 更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论T和在这个理论中的任何句子S，有一个S的自T的形式演绎，当且仅当S被T的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。 完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。.
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哥德尔不完备定理
在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。简单地说，第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。.
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哈恩－巴拿赫定理
在泛函分析中，哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。.
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儒歇定理
在数学，特别是复分析中，儒歇定理（Rouché's theorem）告诉我们如果复值函数 f 与 g 在一条闭曲线 C 内部及边界上全纯，在 C 上满足 |g(z)| z^5 + 3z^3 + 7 在圆盘 |z| 内恰有五个零点，因为对任何 |z|.
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克纳斯特－塔斯基定理
在数学领域序理论和格理论中，Knaster–Tarski 定理，得名于 Bronisław Knaster 和阿尔弗雷德·塔斯基，它声称: 这个定理的一种逆命题由 Anne C. Davis 证明了: 如果所有次序保持函数 f: L → L 有不动点，则 L 是完全格。.
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克莱尼不动点定理
在数学中，序理论的 Kleene 不动点定理声称给定任何完全格 L 和任何连续的(因此单调的)函数 f 的最小不动点(lfp)是 f 的升 Kleene 链的最小上界，这个链是 通过在 L 的底元素上迭代 f 而获得。用公式表达，Kleene 不动点定理声称 这里的 \textrm 指示最小不动点，\textrm 指示最小上界，而 \textrm_L 是 L 的底元素。.
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克萊姆法則
克萊姆法則（Cramer's rule），又稱為克拉瑪公式，是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，所以在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這定理在理論性方面十分有用。.
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勾股定理
氏定理（Pythagorean theorem）（希腊语:Πυθαγόρειο θεώρημα）又称商高定理、畢達哥拉斯定理、--、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。 据《周髀算經》中记述，公元前一千多年周公与商高论数的对话中，商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素，其一，“以为句广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三，高为四的直角三角形，弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。 此外，《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。 赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”。 古埃及在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（12709，13500，18541）。 有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。.
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勒让德定理
在正数n!的質因子标准分解式中,質数p的指数记作L_p(n!),则L_p(n!).
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勒贝格控制收敛定理
在数学分析和测度论中，勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的函数列的每一项都能被同一个勒贝格可积的函数“控制”（即对变量的任何取值，函数的绝对值都小于另一个函数），那么函数列的极限函数的勒贝格积分等于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性，在数学分析和实变函数论中有很大的应用。.
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勒文海姆-斯科伦定理
#重定向 勒文海姆–斯科伦定理.
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因式定理
在代數，因式定理(factor theorem)是關於一個多項式的因式和零點的定理。這是一個餘式定理的特殊情形。 因式定理指出，一個多項式f(x)有一個因式(ax - b)若且唯若f\left(\frac\right).
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图兰定理
图兰定理是一個图论中的定理，關於Kr+1免除圖的邊數。 圖蘭定理於1941年首次由匈牙利數學家帕尔·图蘭(Paul Turán)發現。 设G为Kn的子图，而G不含完全图Kr+1。则G最多有\frac\cdot\frac.
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四平方和定理
四平方和定理 （Lagrange's four-square theorem） 說明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。 注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。.
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四頂點定理
四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出，一條簡單閉曲線的曲率函數，如果不是常值，便有至少四個局部極值。更確切地說，這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。 1909年斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線（即有嚴格正曲率）成立。他的證明用到了以下結果：曲線上一點的曲率是極值，當且僅當在該點的密切圓與曲線有4點切觸。（密切圓與曲線一般只有3點切觸。）1912年阿道夫·克內澤爾證明了定理在一般情況成立。 四頂點定理的逆定理指，在圓上定義任意連續實值函數，使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值，那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數。1971年赫爾曼·格盧克證出嚴格正函數的情形。他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理，以上結果是其特例。比約恩·達爾貝里在他1998年1月去世前不久，證明逆定理的完整版本。他的證法用到卷繞數，類似代數基本定理的拓撲證明。 這定理的一個推論是，任何在平面上滾動受重力作用的均勻板，都有至少四個平衡點。它的三維推廣並不容易，實際上，存在少於四個平衡點的三維凸均勻體，見Gömböc。.
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四色定理
四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上劃出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个无外飞地的地图都可以用不多於四种颜色来染色，而且不會有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的圆形中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是邻接区域。 “是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 1976年，数学家凱尼斯·阿佩爾和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到一个完全的证明，四色问题也终于成为四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。.
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皮卡定理
卡定理是两个不同的数学定理的泛称，由法国数学家埃米爾·皮卡证明。这两个定理都涉及解析函数的值域。.
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皮亚诺存在性定理
在数学中, 特别是在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理（又称为皮亚诺定理、柯西-皮亚诺定理）是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。.
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皮克定理
給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係：A.
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祖暅原理
原理，又名等幂等积定理，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有--：「緣冪勢既同，則積不容異。」 该原理最早由中国古代数学家刘徽提出。南北朝时又被祖冲之的儿子祖暅提出。祖冲之兩父子采用这一原理，求出了牟合方盖的体积，进而算出球体积。在欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列里亦發現相同定理，所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理。 在現代的解析幾何和測度應用中，祖暅原理是富比尼定理中的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae中，用以證明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了阿基米德和克卜勒的成績。這個定理引發了以面積計算體積的方法並成為了積分發展的一個重要步驟。.
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秩－零化度定理
秩－零化度定理是线性代数中的一个定理，给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在域\mathrm中的m \cdot n矩阵\mathrm，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于n： 同样的，对于一个从F-线性空间\mathrm射到\mathrm-线性空间\mathrm的线性变换 \mathrm \;: \; \; \mathrm \rightarrow \mathrm ， \mathrm的秩是它的象的维度，\mathrm的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有： 实际上定理在更广的范围内也成立，因为\mathrm和\mathrm可以是无限维的。.
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积分第一中值定理
积分第一中值定理的内容为： 设 f:\rightarrow \mathbf R 为一连续函数，g:\rightarrow \mathbf R 不改变符号，那么存在一点 \xi\in 使得 事实上，可以证明，上述的中值点\xi必能在开区间(a,b)内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。.
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积分第二中值定理
积分第二中值定理是与积分第一中值定理相互独立的一个定理，属于积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。.
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空间分割定理
分割定理，是一種空间分割的方式。.
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笛卡儿符号法则
笛卡儿符号法则，首先由笛卡儿在他的作品La Géométrie中描述，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。 如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数等于相邻的非零系数的符号的变化次数，或者比它依次小2的整倍数；而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的整倍数。 例如，以下的多项式 在第二项和第三项有一个符号变化。因此它正好有一个正根。实际上，我们可以看到，这个多项式可以分解为： 因此它的根为−1（二重根）和1。 把奇数次项变号，可得： 这个多项式有两个符号变化，因此这个多项式有2个或0个正根，原来的多项式有2个或0个负根。这个多项式可以分解为： 因此根为1（二重根）和−1。.
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笛沙格定理
笛沙格（Desargues）定理說明：在射影空間中，有六點A,B,C,a,b,c。Aa,Bb,Cc共點若且唯若AB∩ab,BC∩bc,CA∩ca共线。 在射影幾何的對偶性來看，笛沙格定理是自對偶的。.
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等周定理
等周定理，又稱等周不等式，是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若P為封闭曲線的周界长，A為曲線所包圍的區域面積，4 \pi A \le P^2。 虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后，数学家们陆续给出了不同的证明，其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。 在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有關。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到。.
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算术基本定理
算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为質數的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。例如:6936.
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米迪定理
米迪定理說明如果将\frac化为b进制小数（其中p为质数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数有些质数的循环节长度是奇数，如3、31。，则有以下性质：.
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素数定理
#重定向 質數定理.
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素数的倒数之和
公元前3世纪，欧几里得证明了素数有无穷多个。公元十八世纪，欧拉证明了所有素数的倒数之和发散。这里我们给出一些证明。.
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紧致性定理
紧致性定理是符号逻辑和模型论中的基本事实，它断言一阶句子的（可能无限的）集合是可满足的（就是说有一个模型），当且仅当它的所有有限子集是可满足的。 命题演算的紧致性定理是吉洪诺夫定理（它声称紧致空间的积是紧致的）应用于紧致Stone空间的结果。.
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纳什嵌入定理
納許嵌入定理(Nash embedding theorems)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rn。 「等距」表示「保持曲线长度」。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于 C1-光滑嵌入，第二个用于解析或Ck, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但有一些很違反直觀的結果，而第二个非常具有技术性但其结论比較不太出乎意料。 C1定理發表于1954年，Ck定理發表于1956年。解析的情形则最先由納什于1966年處理，其中的論證後來在中簡化了很多。（這個定理的一個局部版本由埃利·嘉當與Maurice Janet 在1920年代證出。）納什對Ck的證明後來发展成和納什–Moser隱函數定理。納什的第二個嵌入定理的一個簡化證明由給出，方法是將納什的非線性偏微分方程組約化成橢圓系統，而壓縮映射定理能夠應用於後者。.
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线性代数基本定理
线性代数基本定理是秩为r的m×n 矩阵A的奇异值分解: 对于矩阵A \in \mathbf^ (A 有m列及n行)产生了四个基本线性子空间: 子空间名字 定义 包含于 维数 基 列空间, 值域或像 \mathrm(A) 或\mathrm (A) \mathbf^m r (秩) \mathbf的前r列 零空间 or 核 \mathrm(A) 或\mathrm (A) \mathbf^n n - r 零化度(nullity) \mathbf的最后(n - r)列 行空间或余象 \mathrm(A^T)或\mathrm (A^T) \mathbf^n r (秩) \mathbf^T的前r行 左零空间或上核 \mathrm(A^T) or \mathrm (A^T) \mathbf^m m - r 上核(corank) \mathbf^T的最后(m - r)行 Secondly.
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维纳－辛钦定理
在应用数学中，维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem），又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出：宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换。.
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维维亚尼定理
维维亚尼(Viviani)定理說明：在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等於三角形的高。 這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。 它以温琴佐·维维亚尼命名。.
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罗尔定理
罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数f(x)满足.
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罗斯定理
在几何学中，罗斯定理是关于三角形面积的一个定理。给定一个三角形，在它的三边上各取一点，并和对面的顶点相连。三条连线将会在三角形中央围出一个新的小三角形。罗斯定理给出了这个新三角形的面积与三角形边上三个点的位置的关系。罗斯定理可以看成是塞瓦定理的一种推广。.
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絕妙定理
絕妙定理（Theorema Egregium）是微分幾何中關於曲面的曲率的重要定理，由高斯發現。這定理說曲面的高斯曲率可以從曲面上的長度和角度的測量完全決定，無需理會曲面如何嵌入三維空間內。換言之，高斯曲率是曲面的內蘊不變量。用現代術語可表述為：.
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留数定理
在复分析中，留数定理(又叫残数定理)是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。.
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牛顿定理
在欧几里得几何中，牛顿定理指出除了菱形在任何圆外切四边形中内切圆的圆心在在牛顿线上。 假设四边形ABCD是圆外切四边形，且最多有一对平行的边，然后假设点E和点F是对角线AC、DB的中点，点P是内切圆的中心，这样的话P点就位于牛顿线上，即线段EF的中点。如果圆外切四边形是菱形，在这种情况下对角线的中点和内切圆的圆心重合，不存在牛顿线。 牛顿定理可以简单地从安妮定理出发：圆外切四边形对边的长度之和相等（皮托定理：a + c.
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狄利克雷定理
在數論中，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數a,d，有無限多個質數的形式如a+nd，其中n為正整數，即在算術級數a+d,a+2d,a+3d,...
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狄利克雷定理 (傅里叶级数)
在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。 定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。.
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隐函数定理
在数学中，隐函数定理是一个描述关系以隐函数表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理。隐函数定理说明，对于一个由关系R(x, y).
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芬斯勒－哈德維格爾定理
芬斯勒–哈德維格爾定理（Finsler-Hadwiger Theorem）說明：若兩個正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個頂點A。B'D的中點、BD'的中點、ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個正方形。.
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韦达定理
韦达定理給出多項式方程的根与系数的关系，所以又简称根與係數。定理陳述如下： 设F(x).
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莫雷角三分線定理
在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。 此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。.
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莫雷拉定理
莫雷拉定理是一个用来判断函数是否全纯的定理。 如果f是一个连续的--值函数，定义在复平面上的开集D内，且对于所有D内的闭曲线C，都满足 则f在D内是全纯的。 莫雷拉定理的假设等于是说f在D内具有原函数。 该定理的逆命题不一定成立。全纯函数在定义域内并不一定有原函数，除非加上更多条件。例如，柯西积分定理说明全纯函数沿着一条闭曲线的路径积分为零，只要函数的定义域是单连通的。.
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華勒斯－波埃伊－格維也納定理
華勒斯·波埃伊·格維也納定理（Wallace-Bolyai-Gerwien theorem）指 和塔斯基分割圓問題不同，此證明不但無必要使用選擇公理，而且可以真實進行。 如果將問題中的多邊形換成多面體，即是希爾伯特第三問題。這時答案是否定的。.
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萨维奇定理
萨维奇定理（）是计算复杂性理论中的一个定理，由沃尔特·萨维奇（Walter Savitch）于1970年证明。定理的结论为对于任何函数f(n)满足f(n)\geq \log n，下列关系成立： 亦即，如果一台非确定型图灵机能够利用f(n)空间解决某个问题，那么一台确定型图灵机能够在至多f^2(n)空间解决相同的问题。尽管非确定性的引入能够在时间上带来指数的提升，但是，这种引入对于空间而言作用有限。.
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蝴蝶定理
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。 最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。 该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：.
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餘弦定理
余弦定理是三角形中三邊長度與一個角的余弦值（cos）的數學式，參考右圖，余弦定理指的是： 同樣，也可以將其改為： 其中c是\gamma角的對邊，而a和b是\gamma角的鄰邊。 勾股定理則是余弦定理的特殊情況，當\gamma為90^\circ時，\cos(\gamma).
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西姆松定理
西姆松定理說明：有三角形ABC，平面上有一點P。P在三角形三邊上的投影（即由P到邊上的垂足）共線（此線稱為西姆松線或譯「西摩松線」, Simson line）若且唯若P在三角形的外接圓上。 相關的結果有：.
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西尔维斯特-加莱定理
#重定向 西爾維斯特-加萊定理.
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西尔维斯特惯性定理
在代数学中，西尔维斯特惯性定理（Sylvester's law of inertia）是指在实数域中，一个形如a_x_1^2+a_x_1x_2+a_x_1x_3+...+a_x_n^2的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型y_1^2+y_2^2+...+y_p^2-y_^2-....-y_r^2。其中的正项数（称为正惯性系数）、负项数（称为负惯性系数）以及 0 的数目惟一确定，其中的r为系数矩阵的秩。正惯性系数p－负惯性系数 (r-p) 的值 (2p-r) 称作符号差。.
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西羅定理
在數學裡，尤其是在群論內，西羅（Sylow）定理（以彼得·盧德維格·梅德爾·西羅來命名，或稱西洛定理）為拉格朗日定理的部份相反，拉格朗日定理敘述著若H是一個有限群G的子群，則H的目會整除G的目。西洛定理則保證，對於G之目的某些因數，會有對應此些因數的子群存在著，且會給出有關此類子群之數目的相關訊息。.
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角平分線定理
角平分線定理（Angle bisector theorem），或稱內分比，斯霍騰定理，是一個幾何學的定理，在三角形ABC中，由A點作一角平分線與BC交於D，那 AB:AC.
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高斯-卢卡斯定理
斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了复系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。 这一结论曾在1836被Carl Friedrich Gauss直接使用，1874 由Félix Lucas证明.
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高斯－马尔可夫定理
在统计学中，高斯－马尔可夫定理(Gauss-Markov Theorem)陈述的是：在线性回归模型中，如果误差满足零均值、同方差且互不相关，则回归系数的最佳线性无偏估计(BLUE, Best Linear unbiased estimator)就是普通最小二乘法估计。.
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高斯散度定理
斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。 更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。 这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。.
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魏尔斯特拉斯逼近定理
魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：.
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魏尔施特拉斯分解定理
魏尔施特拉斯分解定理是指任意整函数f(z)可以分解为如下无穷乘积的形式： f(z).
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谱定理
数学上，特别是线性代数和泛函分析中，谱定理是关于线性算子或者矩阵的一些结果。泛泛来讲，谱定理给出了算子或者矩阵可以对角化的条件（也就是可以在某个基底中用对角矩阵来表示）。对角化的概念在有限维空间中比较直接，但是对于无穷维空间中的算子需要作一些修改。通常，谱定理辨认出一族可以用乘法算子来代表的线性算子，这是可以找到的最简单的情况了。用更抽象的语言来讲，谱定理是关于交换C*-代数的命题。参看谱分析中的历史观点。 可以应用谱定理的例子有希尔伯特空间上的自伴算子或者更一般的正规算子。 谱定理也提供了一个算子所作用的向量空间的标准分解，称为谱分解，特征值分解，或者特征分解。 本条目中，主要考虑谱定理的简单情况，也就是希尔伯特空间上的自伴算子。但是，如上文所述，谱定理也对希尔伯特空间上的正规算子成立。.
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谷山－志村定理
谷山－志村定理（Taniyama-Shimura theorem）建立了椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）、理查·泰勒（Richard Taylor）、法國數學家克里斯多福·布勒伊（Christophe Breuil）、美國數學家布萊恩·康萊德（Brian Conrad）和佛瑞德·戴蒙德（Fred Diamond）所完成。 若p是一个质数而E是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。谷山-志村定理说：.
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贝叶斯定理
贝叶斯定理（Bayes' theorem）是概率论中的一个定理，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。在有些关于概率的解释中，贝叶斯定理（贝叶斯公式）能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。這個名稱來自於托马斯·贝叶斯。 通常，事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A（发生）的条件下的概率是不一样的。然而，这两者是有确定的关系的，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个用途在于通过已知的三个概率函数推出第四个。 作为一个普遍的原理，贝叶斯定理对于所有概率的解释是有效的。然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于“在应用中，某个随机事件的概率该如何被赋值？”这个问题有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本裡面的发生的个数来赋值概率；贝叶斯主义者则根据未知的命题来赋值概率。这样的理念导致贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯定理。.
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贝尔纲定理
贝尔纲定理是点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是贝尔空间的充分条件。 该定理由勒内-路易·贝尔在他1899年的博士论文中证明。.
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贝亚蒂定理
在数论中，贝亚蒂定理（英文：Beatty sequence）指：若 p,q \in \mathbb,p,q \not\in \mathbb 使得\frac + \frac.
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费马多边形数定理
费马多边形数定理说明，每一个正整数最多可以表示为n个n-边形数的和。也就是说，每一个数最多可以表示为三个三角形数之和、四个平方数之和、五个五边形数之和，依此类推。 一个三角形数的例子，是17.
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费马大定理
费马大定理，也称費馬最後定理（Le dernier théorème de Fermat)；(Fermat's Last Theorem），其概要為： 以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，一直被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。.
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费马小定理
费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个質数，那么a^p - a 是p的倍数，可以表示为 如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成 这个书写方式更加常用。（符号的应用请参见同餘。）.
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费马平方和定理
費馬平方和定理是由法国数学家費馬在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明，1747年，瑞士数学家萊昂哈德·歐拉提出证明后成为定理。.
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鴿巢原理
鴿巢原理，又名狄利克雷抽屜原理、鴿籠原理。 其中一種簡單的表述法為：.
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黎曼-勒贝格定理
在数学分析中，黎曼-勒贝格定理（或黎曼-勒贝格引理、黎曼-勒贝格积分引理）是一个傅里叶分析方面的结果。这个定理有两种形式，分别是关于周期函数（傅里叶理论中关于傅里叶级数的方面）和关于在一般实数域\mathbb上定义的函数（傅里叶变换的方面）。在任一种形式下，定理都说明了可积函数在傅里叶变换后的结果在无穷远处趋于0。这个结果也可以适用于局部紧致的阿贝尔群。.
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黎曼级数定理
黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可能會收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。.
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黎曼－罗赫定理
黎曼–罗赫定理（Riemann–Roch theorem）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式可转换为纯代数设置。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由黎曼早逝的学生古斯塔·罗赫于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。.
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黎曼映射定理
在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了\mathbb的單連通開子集。.
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黑林格－特普利茨定理
黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。.
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齊肯多夫定理
齊肯多夫定理表示任何正整數都可以表示成若干個不連續的斐波那契數之和。這種和式稱為齊肯多夫表述法。 對於任何正整數，其齊肯多夫表述法都可以用貪心算法選出每回最大可能的斐波那契數。.
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辐角原理
在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数，且 f 在 C 上没有零点或极点，则下列公式成立 这里 N 与 P 分别表示 f(z) 在围道 C 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 C 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。 更一般地，假设 C 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 Ω 中可缩为一点。对每个 z ∈ Ω，令 n(C,z) 是 C 绕点 z 的卷绕数。则 这里第一个求和对 f 所有零点 a 进行并计重数，第二个求和在 f 的所有极点 b 上进行。.
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达布定理
在实分析中，达布定理得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（是某个实值函数的导数的函数）都具有介值性质：任一个区间关于实导函数的值域仍是区间。即是说，若 f 为可导函数，则对任意区间I，f′(I) 仍为区间。 当函数 f 是一阶连续可导函数（C1）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时，达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。.
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达布定理 (微分几何)
达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理，部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布 命名，他在解 Pfaff 问题 时建立了这个定理。 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说，任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cn。应用于切触几何也有类似的结论。.
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迪尼定理
在数学中，迪尼定理叙述如下：设 X 是一个紧致的拓扑空间， f(n) 是 X 上的一个单调递增的连续实值函数列（即使得对任意 n 和 X 中的任意 x 都有\scriptstyle f_n(x) \leq f_(x)）。如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数 f ，那么这个函数列一致收敛到 f 。这个定理以意大利数学家乌利塞·迪尼命名。 对于单调递减的函数列，定理同样成立。这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件。 注意定理中的 f 一定要是连续的，否则可以构造反例。比如说在区间 上的函数列 。这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数 f ：当 x 属于.
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迈希尔－尼罗德定理
在形式语言理论中，Myhill–Nerode 定理提供了一个语言是正则语言的必要和充分条件。它近乎专门的被用来证明一个给定语言不是正则的。 这个定理得名于 John Myhill 和 Anil Nerode，他们于1958年在芝加哥大学证明了这个定理。.
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霍普夫－里诺定理
数学中，霍普夫—里诺(Hopf–Rinow)定理是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题，以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下： 设M是黎曼流形，则下列命题等价：.
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范德瓦尔登定理
范德瓦尔登定理是数论中的一个定理，由荷兰数学家范德瓦尔登发现。对于任意给定的正整数r和k，总存在正整数N，使得把数染成r种颜色时，至少存在k个组成等差数列的正整数是同一种颜色的。这个最小的N叫做范德瓦尔登数V(r,k)。 例如，V(2,3).
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胡尔维兹定理
在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。 对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯 ，发扬于胡尔维兹 ，由佐恩整理为一般形式 。一个简短的历史摘要可见Badger 。 完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫 或者夏皮罗 处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同构于实数。否则，我们使用凯莱-迪克森结构扩展子代数以同构于1，并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是A的全体，那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量，得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是A的全体，我们重复以上行为一次，并得到同构于凯莱数（或八元数）的子代数。我们现在有一个定理，说的是每一个包含1而又不是A自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的，因此必须为A。 胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时 。.
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舒尔正交关系
舒尔正交关系（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。.
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阿基米德中點定理
阿基米德中點定理說明：圓上有兩點A,B，M為弧AB的中點，隨意選圓上的一點C，D為AC上的點使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧，则AD.
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阿基米德公理
在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理（又称阿基米德性质），是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲，它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奧地利數學家赋予它这个名字。 这个概念源于古希腊对量的理论；如大卫·希尔伯特的几何公理，有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。 阿基米德公理可表述為如下的現代記法： 對於任何實數x，存在自然數n有n>x。 在現代實分析中，這不是一個公理。它退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以阿基米德性質的叫法取而代之。.
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阿姆达尔定律
阿姆達爾定律（Amdahl's law，Amdahl's argument），一個計算機科學界的經驗法則，因吉恩·阿姆達爾而得名。它代表了處理器并行運算之後效率提升的能力。.
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阿尔泽拉－阿斯科利定理
在数学中，阿尔泽拉－阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了一个从紧致度量空间射到度量空间的函数集合是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家阿斯科利（1883年－1884年） 和阿尔泽拉（1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中证明了定理中关于连续函数集成为紧集的充分条件的部分，而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分：成为紧集的必要条件，并首次给出了定理的完整证明。而不久之后，在1906年，法国数学家弗雷歇又将这个定理进行了推广，使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或豪斯多夫空间）。 在阿尔泽拉-阿斯卡利定理被首次证明的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。 该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是複分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。.
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阿贝尔-鲁菲尼定理
阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表。.
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阿贝尔定理
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。.
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阿达马三圆定理
在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。 设 f(z) 是环域 r_1\leq\left| z\right| \leq r_3 上的全纯函数， M(r) 是 |f(z)| 在圆周 |z|.
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阿蒂亞－辛格指標定理
在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分算子，其解析指標（與解空間的維度相關）等於拓撲指標（決定於流形的拓撲性狀）。它涵攝了微分幾何中許多大定理，在理論物理學中亦有應用。 此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道尔·辛格於1963年證出。.
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閉圖像定理
閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。.
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闵可夫斯基不等式
在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S 是一个度量空间，1 \le p\le \infty, f,g \in L^p(S)，那么 f + g \in L^p(S)，我们有： 如果 1 ，等号成立当且仅当 \exists k\le 0,f.
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邁爾斯定理
邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形M的里奇曲率有下界(n-1)k>0，那麼其直徑不超過\frac \pi 。 而且，如直徑等於\frac \pi ，則流形和有常截面曲率k的球面等距。 這結果對流形的萬有覆叠同樣成立，特別地，M和其覆蓋都緊緻，所以覆叠是有限葉的，M 有有限基本群。.
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里斯表示定理
在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。.
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采样定理
在数字信号处理领域，采样定理是连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。 严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零（参照图1）。离散时间傅里叶变换（的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。 该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。（参见下文非基带信号采样，以及壓縮感知。） 奈奎斯特–香农采样定理的名字是为了紀念哈里·奈奎斯特和克劳德·香农。该定理也被、等人独立发现。所以它还叫做奈奎斯特–香农–科特尔尼科夫定理、惠特克–香农–科特尔尼科夫定理、惠特克–奈奎斯特–科特尔尼科夫–香农定理及插值基本定理。.
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良序定理
在數學中，良序定理（Well-ordering theorem）表示「所有集合都可以被良序排序」。这是非常重要的，因为它使所有集合均适用於超限归纳法。.
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若尔当曲线定理
在拓扑学中，若尔当曲线是平面上的非自交环路（又称为简单闭曲线）。若尔当曲线定理说明每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。它由奥斯瓦尔德·维布伦在1905年证明。.
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零一律
零一律是概率论中的一个定律，它是安德雷·柯尔莫哥洛夫发现的，因此有时也叫柯尔莫哥洛夫零一律。其内容是：有些事件发生的概率不是几乎一（几乎肯定发生），就是几乎零（几乎肯定不发生）。这样的事件被称为“尾事件”。 尾事件是由无限多的随机变量的序列来定义的。假设 是无限多的獨立的随机变量（無需同等地分佈）。即“尾事件”是一種事件，其发生或不发生由这些随机变量決定，但不由任何这些随机变量的有限系列所决定。比如，假如以下系列 收斂，则該事件是一个尾事件。序列和雖收斂但大于1的事件並不是尾事件，因为，比如它不是与X1的值无关。比如假如我们扔无限多次银币，则连续100次数字面向上的事件出现无限多次的事件是一个尾事件。 无限猴子定理是零一律的一个例子。.
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陈氏定理
氏定理是中国数学家陈景润于1966年发表的数论定理。这个定理用筛法证明了任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个半素数（2次殆素数）的和。陈氏定理跟哥德巴赫猜想與孪生素数猜想有關。陈景润于1973年发表了详细证明过程。英国数学家和德国数学家在两人合著的《筛法》已经付印时注意到了陈景润的结果，之后在书中增加了一章与之相关的内容，并将章目命名为“陈氏定理”。.
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Sun-Ni定理
没有描述。
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Vizing定理
Vizing定理是圖論中的定理。它描述了邊著色數與度的關係。.
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柯西-利普希茨定理
在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。.
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柯西定理 (群論)
柯西定理是一個在群論裡的定理，以奧古斯丁·路易·柯西的名字來命名。其敘述著若G是一個有限群且p是一個可整除G之階（G的元素數目）的質數，則G會有一個p階的元素。亦即，存在一個於G內的x，使得p為讓xp.
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柯西中值定理
柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。.
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柯西积分定理
柯西积分定理（或稱柯西－古薩定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0.
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极值定理
在微积分中，极值定理说明如果实函数f在闭区间上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在内的c和d，使得： 一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间内的连续函数f在该区间上有界。也就是说，存在实数m和M，使得： 极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。.
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林德曼-魏尔斯特拉斯定理
林德曼-魏尔斯特拉斯定理（）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果 是代数数，在有理数 内是线性独立的，那么e^, \ldots,e^在 内是代数独立的；也就是说，扩张域\mathbb(e^, \ldots,e^)在 内具有超越次数 。 一个等价的表述是：如果 是不同的代数数，那么指数 在代数数范围内是线性独立的。 这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。 这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。.
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排容原理
-- --又称--，在組合數學裏，其說明若A_1,..., A_n 為有限集，則 \begin \left|\bigcup_^n A_i\right|.
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格尔丰德-施奈德定理
格尔丰德-施奈德定理（Gelfond–Schneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由Aleksandr Gelfond在1934年、Theodor Schneider在1935年分别独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。.
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格林公式
在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 的線積分與以 為邊界的平面區域 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。.
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梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是由古希腊数学家梅內勞斯首先证明的。它指出：如果一直线与\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延長線分别交于L、M、N，则有： 它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在\triangle ABC的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足 则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 如果在上式中线段用有向线段表示，那么右面的结果为-1.
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棣莫弗公式
棣莫弗公式是一個關於複數和三角函數的公式，命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）。其內容為對任意複數和整數，下列性質成立： 其中是虛數單位（）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過。為了方便起見，我們常常將合併為另一個三角函數，也就是說： 在操作上，我們常常限制屬於實數，這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把和變化為和的形式。另外，儘管棣美弗公式限制須為整數，但倘若吾人適當推廣本公式，便可將拓展到非整數的領域。.
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樞紐定理
樞紐定理是一個平面几何定理，是三角形的基本性質之一，通常會以兩組三角形作比較。若有兩組三角形，這兩個三角形有兩組對應邊相等，則三角形的邊所夾的角角度愈大，則三角形的第三邊也愈大。樞紐定理也有正定理和逆定理之分，正性質是由夾角的角度大小推出第三邊的長短，而逆性質則是由第三邊的長短來推出對角夾角角度大小。.
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欧几里得定理
欧几里得定理是数论中的基本定理，定理指出素数的个數是无限的。该定理有许多著名的证明。.
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欧拉定理 (几何学)
在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离d 可表示为 其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。 从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：.
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欧拉定理 (数论)
在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a-zh-hans:互素; zh-hant: 互質-（即\gcd(a,n).
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欧拉示性数
在代数拓扑中，欧拉示性数（Euler characteristic）是一个拓扑不变量（事实上，是同伦不变量），对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作\chi。 二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算： 其中V,E和F分别是点，边和面的个数。特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有 例如，对于立方体，我们有6 − 12 + 8.
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正弦定理
正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意\triangle ABC，a、b、c分别为\angle A、\angle B、\angle C的对边，R为\triangle ABC的外接圆半径，则有 \frac.
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正切定理
正切定理是三角学中的一个定理。根据该定理，在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即： \frac.
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毛球定理
在代数拓扑中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）证明了偶数维单位球上的连续而又处处不为零的切向量场是不存在的。具体来说，如果f是定义在一个单位球上的连续函数，并且对球上的每一点P，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那么总存在球上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间）可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。这个定理最著名的陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被布劳威尔证明。 实际上，根据庞加莱-霍普夫定理，三维空间中的向量场的零点处的指数和为2，即二维球面的欧拉示性数，因此零点必然存在。对于二维环面，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的正则的偶数维紧流形，若其欧拉示性数不为0，则其上的连续的切向量场必然存在零点。.
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沃尔斯滕霍尔姆定理
在數論上，Wolstenholme定理說明，對於大於或等於5的質數，有.
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泰博定理
泰博定理原是法國幾何學家維克多·泰博（Victor Thébault，1882年-1960年）提出的平面幾何問題。.
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泰勒公式
在数学中，泰勒公式（Taylor's Formula）是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。這個公式來自於微積分的泰勒定理（Taylor's theorem），泰勒定理描述了一個可微函數，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式（Taylor polynomial）。泰勒公式还给出了餘項即这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。.
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泰勒斯定理
泰勒斯定理(Thales' theorem)以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若A, B, C是圆周上的三點，且AC是该圆的直徑，那么∠ABC必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明。 泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。.
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法图引理
在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。.
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演绎定理
在数理逻辑中，演绎定理声称如果公式 F 演绎自 E，则蕴涵 E → F 是可证明的(就是或它可以自空集推导出来)。用符号表示，如果 E \vdash F ，则 \vdash E \rightarrow F 。 演绎定理可以推广到假定公式的可数序列，使得从 E_1, E_2,...
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本原元定理
在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(\alpha)的形式，即E可以由单个元素生成。.
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本迪克森-杜拉克定理
在数学裡，本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统 如果存在\varphi (x,y) 使得 在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。.
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有噪信道编码定理
在信息论，有噪信道编码定理指出，尽管噪声会干扰通信信道，但还是有可能在信息传输速率小于信道容量的前提下，以任意低的错误概率传送数据信息。这个令人惊讶的结果，有时候被称为信息原理基本定理，也叫做香农-哈特利定理或香农定理，是由克劳德·艾尔伍德·香农于1948年首次提出。 通信信道的信道容量或香农限制是指在指定的噪音标准下，信道理论上的最大传输率。.
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最大模原理
在复分析中，最大模原理说明如果单变量复变函数 f 是一个全纯函数，那么它的模 |f| 的局部最大值不可能在其定义域的内部取到。 换句话来说，全纯函数 f 要么是常数函数，要么对于任意的在其定义域之内的 z0，都存在一个足够靠近它的点 z，使得 f 在后者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)0| 更大。.
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最大流最小割定理
在最优化理论中，最大流最小割定理提供了对于一个网络流，从源点到目标点的最大的流量等于最小割的每一条边的和。即对于一个如果移除其中任何一边就会断开源点和目标点的边的集合的边的容量的总和。 最大流最小割定理是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导Menger定理和König–Egerváry定理。.
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海涅－博雷尔定理
在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine–Borel theorem）或有限覆盖定理、博雷尔－勒贝格定理（），以 和埃米尔·博雷尔命名，斷言： 对于欧几里得空间 Rn 的子集 S，下列两个陈述是等价的.
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海涅－康托尔定理
海涅-康托尔定理，以爱德华·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧度量空间，则每一个连续函数 其中N是度量空间，都是一致连续的。 例如，如果f: → R是一个连续函数，则它是一致连续的。.
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斯图尔特定理
斯图尔特定理，，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形ABC的邊AB上任意取一點P，則.
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斯托尔兹－切萨罗定理
斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz–Cesàro theorem）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。.
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斯托克斯定理
斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的定理，因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式，它的一般形式包含了向量分析的几个定理，以斯托克斯爵士命名。.
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施图姆定理
施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的，但实际上是约瑟夫·傅里叶发现的。 施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。.
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托勒密定理
在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形为圆内接四边形，兩組和相同。或退化为直线以取得（这时也称为欧拉定理）。 狭义的托勒密定理也可以叙述为：若且僅若圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上也可以看做一种判定圆内接四边形的方法。.
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拿破侖定理
拿破仑定理是拿破仑发现的平面几何定理：“以任意三角形各边为边分别向外侧作正三角形，则它们的中心(三心)連線必构成一个正三角形。”該正三角形稱為拿破仑三角形。如果向内作三角形结论同样成立。.
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拉姆齐定理
在組合數學上，拉姆齐（Ramsey）定理，又称拉姆齐二染色定理，是要解決以下的問題：要找这样一个最小的数 R(k,l).
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拉东-尼科迪姆定理
拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间(X,\Sigma)的时候，如果测度空间(X,\Sigma)上的一个σ-有限测度\nu关于另一个σ-有限测度\mu绝对连续，那么存在一个在X上可测的函数f，其取值范围为非负实数（.
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拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。.
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普罗斯定理
普罗斯定理是數論的一個定理，可以判斷普罗斯数是否是質數。 如果p是普罗斯数，也就是滿足k2n + 1形式的數，其中k為奇數，且k n，那么如果对于某个整数a，有 则p是素数。此時p稱為普罗斯質數。这是一个有实际用途的方法，因为如果p是素数，任何选定的a都有百分之50的機會滿足這個關係式。 若a是是模p的二次非剩余，則上述定理的逆定理也成立，因此有一種可以找a的方式，就是在最小的質數中依序找a，計算雅可比符号，直到下式成立為止 的素性测试是亂數演算法，可能會產生偽陽性的結果（不是素數的數卻通過素性测试），根據普罗斯定理的演算法是拉斯維加斯算法，其答案都是對的，但要找到答案的時間則是隨機變化。.
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15-定理
15-定理是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway，1937-）和W.A.Schneeberger於1993年證明的定理，內容為如果一个二次多項式可以通過變量取整數值而表示出1~15的值（更嚴格的結論是只要表示出1,2,3,5,6,7,10,14,15）的話（例如w^2+x^2+y^2+z^2），該二次多項式可以通過變量取整數值而表示出所有正整數。 Category:数学定理 Category:二次型 Category:加性数论.
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