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17 关系: 同构，多項式時間，奧古斯丁·路易·柯西，子群，佐恩引理，彼得·盧德維格·梅德爾·西羅，循環群，國際音標，簡單群，素数，置换群，群作用，群论，陪集，P-群，数学，拉格朗日定理 (群論)。
同构
在抽象代数中，同构（isomorphism）指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。 正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的。.
多項式時間
多項式時間（Polynomial time）在計算複雜度理論中，指的是一個問題的計算時間m(n)不大於問題大小n的多項式倍數。任何抽象機器都擁有一複雜度類，此類包括可於此機器以多項式時間求解的問題。 以數學描述的話，則可說m(n).
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奧古斯丁·路易·柯西
奧古斯丁·路易·柯西（法语：Augustin Louis Cauchy，，法语发音），法國數學家。.
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子群
假設(G, *)是一個群，若 H 是 G 的一個非空子集且同時 H 與相同的二元運算 * 亦構成一個群，則 (H, *) 稱為 (G, *) 的一個子群。參閱群論。 更精確地來說，若運算*在H的限制也是個在H上的群運算，则称H為G的子群。 一個群G的純子群是指一個子群H，其為G的純子集(即H ≠ G)。任一個群的當然群為只包含單位元素的子群。若H為G的子群，則G有時會被稱為H的「母群」。 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當G為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算*當G帶有多重的代數或其他結構。 在下面的文章中，會使用省略掉*的常規，並將乘積a*b寫成ab。.
佐恩引理
佐恩引理（Zorn's Lemma）也被称为库拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合论中一个重要的定理，其陳述為： 在任何一非空的偏序集中，若任何链（即全序的子集）都有上界，則此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。 佐恩引理是以数学家马克斯·佐恩的名字命名的。 具体来说，假设(P, \le)是一个偏序集，它的一个子集T称为是一个全序子集，如果对于任意的s, t \in T有s \le t或t \le s。而T称为是有上界的，如果P中存在一个元素u，使得对于任意的t \in T，都有t \le u。在上述定义中，并不要求u一定是T中的元素。而一个元素m \in T称为是極大的，如果x \in T且x \ge m，则必然有x.
彼得·盧德維格·梅德爾·西羅
彼得·盧德維格·梅德爾·西羅(Peter Ludwig Mejdell Sylow，國際音標：，）是挪威數學家，證明了群論中重要的基礎定理，就是西羅定理。西羅出生和逝世都在克里斯蒂安尼亞（今奧斯陸）。 西羅就讀於克里斯蒂安尼亞大學，在1852年取得數學學位。從1858年到1898年在腓特烈斯哈爾（今哈爾登）擔任學校教師。1862年他在克里斯蒂安尼亞大學當代課講師，教授伽羅瓦理論。當時他提出的問題，引導他發現西羅子群和其定理。1872年他發表了三條定理，現在稱為西羅定理。當時沒有給出證明，十年後他提供了證明。 1873年至1881年，他和索菲斯·李一同編輯尼尔斯·阿贝尔的全部論文。按照李所說，西羅在其中作出了決定性的工作。 西羅在1894年成為數學期刊《Acta Mathematica》的編輯，又接受了哥本哈根大學授予榮譽博士。李在克里斯蒂安尼亞大學為西羅設立了一個特別講席，西羅從1898年起在大學任教。.
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循環群
在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 Z/nZ，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群，亦即其運算是可交換的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。.
國際音標
國際音標（International Phonetic Alphabet，縮寫：IPA），早期又稱萬國音標，是一套用來標音的系統，以拉丁字母為基礎，由國際語音學學會設計來作為口語聲音的標準化標示方法。International Phonetic Association (IPA), Handbook.
簡單群
#重定向 单群.
素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
置换群
数学上，一个置换群是一个群 G ，其元素是一个给定集 M 的置换，而其群作用是 G 中的置换（可以看作是从M到自身的双射）的复合；其关系经常写作 (G,M) 。注意所有置换的群是对称群；置换群通常是指对称群的一个子群。 n 个元素的置换群记为 S_n ；若 M 是任意有限或无限集合，则所有 M 的置换组成的对称群通常写作 \text(M) 。 置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用。.
群作用
数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。.
群论
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、-zh-hant:體;zh-hans:域-和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。.
陪集
数学上，若G为群，H为其子群，而g为G中元素，则 仅当H为正规子群时，左右陪集相同，这也是子群正规性的一个定义。 陪集指某个G中子群的左或右陪集。因为Hg.
P-群
在數學裡，給定一質數p，p-群即是指一個其每個元素都有p的次方階的週期群。亦即，對每個群內的元素g，都存在一個正整數n使得g的pn次方等於其單位元素。 若G是有限的，則其會和G自身的階為p的次方之敘述相等價。關於有限p-群的結構已知道了許多，其中第一個使用類方程的標準結論為一個非當然有限p-群的中心不可能為一個當然子群。一個pn階的p-群會包含著pi階的子群，其中0 ≤ i ≤ n。更一般性地，每一個有限p-群都會是冪零群，且因此都會是可解群。 有相同階的p-群不一定會互相同構；例如，循環群C4和克萊因四元群都是4階的2-群，但兩者並不同構。一個p-群不一定要是阿貝爾群；如8階的二面體群即為一個非可換2-群。（但每個p2階的群都會是可換的。） 以趨進的觀點來看，幾乎所有的有限群都會是p-群。實際上，幾乎所有的有限群都是2-群：2-群的同構類與其階至多為n之群的同構類的比例在當n趨進於無限大時會趨進於1。例如，其階至多為2000的所有不同的群會有99%為1024階的2-群。 每一個非當然有限群都會包括一個為非當然p-群之子群。詳述請見西洛定理。 無限群的例子，見普呂弗群。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
拉格朗日定理 (群論)
拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因數值。.
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