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高斯散度定理

指数 高斯散度定理

斯公式,又称为散度定理、高斯散度定理、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式或高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。 更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于微积分基本定理;在二维,它等价于格林公式。 这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。.

26 关系: 偏导数卡爾·弗里德里希·高斯单位向量单位球面向量分析奇函數與偶函數並矢張量张量积体积微积分基本定理微积分学区域函数米哈伊尔·奥斯特罗格拉德斯基靜電學高斯散度定理边界邻域通量格林公式欧几里得空间流体力学斯托克斯定理斯托克斯公式散度曲面

偏导数

在数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 函数f关于变量x的偏导数写为f_x^或\frac。偏导数符号\partial是全导数符号 d的变体,这个符号是阿德里安-马里·勒让德引入的,并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。.

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卡爾·弗里德里希·高斯

约翰·卡爾·弗里德里希·高斯(Johann Karl Friedrich Gauß;), 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,生于布伦瑞克,卒于哥廷根。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一Dunnington, G. Waldo.

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单位向量

数学上,赋范向量空间中的单位向量就是长度为1的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”,如:\mathbf。欧几里得空间中,两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦(因为它们的长度都是1)。 一个非零向量\mathbf的正规化向量\mathbf就是平行于\mathbf的单位向量: 这里\|\mathbf\|是\mathbf的范数(长度)。正规化向量有时候也可以当作单位向量的同义词。一组基的元素通常被选为单位向量。在三维直角坐标系中,通常是\mathbf, \mathbf, \mathbf,分别为沿着x, y, z方向的单位向量: 在其他坐标系中,如极坐标系、球坐标系,使用不同的单位向量,符号也会不一样。.

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单位球面

数学上,单位球面是到固定中心点距离为1的点的集合,其中距离可以是任何推广了的距离概念。单位球是单位球面所包围的区域。通常一个特定的点被表示为所研究的空间的原点,并且单位球面或单位球通常以该点为中心。因此通常单位球或者单位球面就是指以原点为中心的单位球或球面。 单位球面就是半径1的球面。单位球的重要之处是任何球面可以通过平移和缩放的组合来变换为单位圆。这样一般情况的球的属性可以归约到对于单位球的研究。.

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向量分析

向量分析(或向量微積分)是數學的分支,关注向量場的微分和积分,主要在3维欧几里得空间 \mathbb^3 中。「向量分析」有时用作多元微积分的代名词,其中包括向量分析,以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中,特别是在描述电磁场、引力場和流体流动的时候。 向量分析从四元數分析发展而来,由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末提出,大多数符号和术语由吉布斯和黑維塞在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积,不能推广到更高维度,而另一种的方法,它利用可以推广的外积,下文将会讨论。.

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奇函數與偶函數

在數學裡,偶函數和奇函數是滿足著相對於加法逆元之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要,特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裡。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件:若n為一偶數,則函數xn是偶函數,若n為一奇數,則為奇函數。.

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並矢張量

在多重線性代數裡,並矢張量(dyadic tensor)是一個以特別標記法寫出的二階張量,是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法,有一套專門計算這種表達式,類似於矩陣代數規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(dyad)。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢(unit dyad)。純量與單位並矢的乘積就是並矢。 例如,設定兩個三維向量 \boldsymbol\, 和 \boldsymbol\, , 其中,\boldsymbol\, 、\boldsymbol\, 、\boldsymbol\,,形成了一個三維空間裏的標準正交基的單位基底向量。 那麼,\boldsymbol\, 與 \boldsymbol\, 並置成為 其中,\boldsymbol\, 、\boldsymbol\, 、\boldsymbol\, 等等,都是單位並矢,v_1 w_1\boldsymbol\, 、v_1 w_2 \boldsymbol\, 、v_1 w_3 \boldsymbol\, 等等,都是並矢。 並矢張量 \boldsymbol\, 也可以表達為 \begin \end\, 。.

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张量积

在数学中,张量积,记为 \otimes,可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的: 最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。 例子: \mathbf \otimes \mathbf \rightarrow \beginb_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end \begina_1 & a_2 & a_3\end.

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体积

積(Volume)是物件佔有多少空間的量。體積的國際單位制是立方米。一件固體物件的體積是一個數值用以形容該物件在空間所佔有的空間。一維空間物件(如線)及二維空間物件(如正方形)在三維空間中均是零體積的。體積是物件佔空間的大小。.

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微积分基本定理

微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分,称为微积分第一基本定理,表明不定积分是微分的逆运算。這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數的原函數的存在性。 定理的第二部分,称为微积分第二基本定理或“牛顿-莱布尼茨公式”,表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。这一部分有很多实际应用,这是因为它大大简化了定积分的计算。 该定理的一个特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)证明和出版。定理的一般形式,则由艾萨克·巴罗完成证明。 微积分基本定理表明,一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和,等于该变量的净变化。 我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动,其位置为x(t),其中t为时间,x(t)意味着x是t的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx除以时间的无穷小变化dt(当然,该导数本身也与时间有关)。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法: 整理,得 根据以上的推理,x的变化──\Delta x,是dx的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和,就是积分;所以,一个函数求导之后再积分,得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断,这个运算反过来也成立,积分之后再求导,得到的也是原来的函数。.

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微积分学

微積分學(Calculus,拉丁语意为计数用的小石頭) 是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支,並成為了現代大學教育的重要组成部分。歷史上,微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講,微積分學是一門研究變化的科學,正如:幾何學是研究形狀的科學、代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。微積分學又稱為“初等數學分析”。 微積分學在科學、經濟學、商業管理學和工業工程學領域有廣泛的應用,用來解决那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。微積分學在代數學和解析幾何學的基礎上建立起来,主要包括微分學、積分學。微分學包括求導數的運算,是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演绎。積分學,包括求積分的運算,為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出,微分和積分互為逆運算,這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們能以兩者中任意一者為起點來討論微積分學,但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中,高等微積分學通常被稱為分析學,並被定義為研究函數的科學,是現代數學的主要分支之一。.

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区域

区域可能是指:.

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函数

函數在數學中為兩集合間的一種對應關係:輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數,若以3作為此函數的輸入值,所得的輸出值便是9。 為方便起見,一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值,則其輸出值一般寫作f(x),讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).

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米哈伊尔·奥斯特罗格拉德斯基

米哈伊爾·瓦西里耶维奇·奧斯特罗格拉德斯基(俄语:;乌克兰语:),俄國數學家。 他的工作包括變分學、代數函數的積分、數學物理、古典力學,是當時俄國數學界的重要人物。 他出生於現時烏克蘭境內的Пашенная,在1816年入讀哈爾科夫大學,1820年他參加畢業考試,但宗教兼國民教育主任要求他重考。官方原因是他沒有上哲學和神學課,實際上的原因是他的老師奥西波夫斯基之前因宗教問題被停職,而校方認為這事也和奥西波夫斯基的學生有關。 結果,他拒絕重考,不取學位便離開俄羅斯到巴黎求學。他上著名數學家的課,包括勒讓德、泊松、柯西。他在法國科學院發表論文,內容以物理和積分學為主。 1828年他回到俄羅斯,到了聖彼得堡。他曾在海軍學院、通訊研究所、教育學院講課。.

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靜電學

電學是研究「靜止電荷」的特性及規律的一門學科,電學的領域之一。靜電即電荷在靜止時的狀態,沒有電荷流動。而靜止電荷所建立的電場稱為靜電場,是指不隨時間變化的電場,該靜電場對於場中的電荷有作用力。.

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高斯散度定理

斯公式,又称为散度定理、高斯散度定理、高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式或高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。 更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于微积分基本定理;在二维,它等价于格林公式。 这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。.

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边界

邊界,亦稱疆界,指用於劃分不同政權所轄區域、領地的地理分界線,進而可標示該區域的範圍。边界与国界不是同义词,例如,深圳与香港之间的界线可称为边界,依法实施边界管理、边防检查、边防禁区等行政措施,但不是国界。.

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邻域

在集合论中,邻域指以点 a 为中心的任何开区间,记作:U(a)。 在拓扑学和相关的数学领域中,邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说,一个点的邻域是包含这个点的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。 这个概念密切关联于开集和内部的概念。.

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通量

通量,或稱流束是通過一個表面或一個物質的量,是一个物理学概念。在热学和流体力学领域中,是指在单位时间内通过单位面积的流量,它是一个向量;在电磁学领域中,是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度,它是一个标量。.

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格林公式

在物理學與數學中,格林定理给出了沿封閉曲線 的線積分與以  為邊界的平面區域  上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。.

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欧几里得空间

欧几里得几何是在约公元前300年,由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n维欧几里得空间(甚至简称 n 维空间)或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备), 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象,它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间,例如球面非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.

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流体力学

流體力學(Fluid mechanics)是力學的一門分支,是研究流體(包含氣體、液體及等離子體)現象以及相關力學行為的科學。流體力學可以按照研究對象的運動方式分為流體靜力學和流體動力學,前者研究處於靜止狀態的流體,後者研究力對於流體運動的影響。流體力學按照應用範圍,分為:空氣力學及水力學等等。 流體力學是連續介質力學的一門分支,是以宏觀的角度來考慮系統特性,而不是微觀的考慮系統中每一個粒子的特性。流体力学(尤甚是流體動力學)是一個活躍的研究領域,其中有許多尚未解決或部分解決的問題。流體動力學所應用的數學系統非常複雜,最佳的處理方式是利用電腦進行數值分析。有一個現代的學科稱為計算流體力學,就是用數值分析的方式求解流體力學問題。是一個將流體流場視覺化並進行分析的實驗方式,也利用了流體高度可見化的特點。 理論流體力學的基本方程是纳维-斯托克斯方程,簡稱N-S方程,纳维-斯托克斯方程由一些微分方程組成,通常只有透過給予特定的邊界條件與使用數值計算的方式才可求解。纳维-斯托克斯方程中包含速度\vec.

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斯托克斯定理

斯托克斯定理(英文:Stokes' theorem)是微分几何中关于微分形式的积分的定理,因為維數跟空間的不同而有不同的表現形式,它的一般形式包含了向量分析的几个定理,以斯托克斯爵士命名。.

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斯托克斯公式

#重定向 斯托克斯定理.

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散度

散度或稱發散度,是向量分析中的一个向量算子,将向量空间上的一个向量场(矢量场)对应到一个标量场上。散度描述的是向量场里一个点是汇聚点还是发源点,形象地说,就是这包含这一点的一个微小体元中的向量是“向外”居多还是“向内”居多。举例来说,考虑空间中的静电场,其空间里的电场强度是一个矢量场。正电荷附近,电场线“向外”发射,所以正电荷处的散度为正值,电荷越大,散度越大。负电荷附近,电场线“向内”,所以负电荷处的散度为负值,电荷越大,散度越小。向量函數的散度為一個純量,而纯量的散度是向量函数。.

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曲面

在数学(拓扑学)中,一个曲面(surface)是一个二维流形。三维空间中的例子有三维实心物体的边界。流体的表面,例如雨滴或肥皂泡是一种理想化的曲面。关于雪花的表面,它有很多精细的结构,超越了这个简单的数学定义。关于实际的曲面的资料,请参看表面张力,表面化学,曲面能量。.

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