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30 关系: 卡爾·弗里德里希·高斯，实数，密率，小数，丟番圖逼近，佩尔方程，当且仅当，循環連分數，圓周率，分數，單位分數，函数，倒数，Cut-the-Knot，约瑟夫·拉格朗日，無理數，萊昂哈德·歐拉，高斯符號，黄金分割，輾轉相除法，辛钦常数，极限 (数学)，恩格尔展开式，欧几里得，有理数，最大公因數，斐波那契数列，数学，数学常数 (以连分数表示排列)，整数。
卡爾·弗里德里希·高斯
约翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Karl Friedrich Gauß；）， 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，生于布伦瑞克，卒于哥廷根。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一Dunnington, G. Waldo.
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实数
实数，是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、81/7；后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：.
密率
密率即，是圆周率比较精确的一个分数近似值。出自《隋书·律历志上》：“密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”由南北朝数学家祖冲之发现。 密率是π的一个渐近分数（参见连分数），是分母小于16604的所有既约分数中最接近π的一个（参见最佳逼近）。它的小数点后六位皆与π相同，与其仅有0.000009%的差距，即小于。更加精确的分数近似值，则是，也仍然只有小数点后六位数字相同。而要达到7位数字相同，则要才得以实现。.
小数
小数，是實数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数。.
丟番圖逼近
丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。 "丢番图逼近"的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程（或不定方程），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称最佳逼近。具体来说，对于一个实数 \alpha，希望找到一个"最优"的有理数 p/q 作为 \alpha 的近似，使在分母不超过 q 的所有有理数中，p/q 与 \alpha 的距离最小。这里的"距离"可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 |q\alpha-p| 等方式度量。满足此类要求的有理数 p/q 称为实数 \alpha 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。 其后，该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量，以给出尽可能精确的上下界（一般用分母的函数表示）。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 \alpha 的性质密切相关。当 \alpha 分别为有理数、代数数、超越数时，其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想，刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论，并由此具体地构造出了一个超越数（参见刘维尔数），证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见，丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。.
佩尔方程
若一個丢番图方程具有以下的形式： 且n为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程（英文：Pell's equation德文：Pellsche Gleichung）。 若n是完全平方数，则这个方程式只有平凡解(\pm 1, 0)（实际上对任意的n，(\pm 1, 0)都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而這些解可由\sqrt的連分數求出。.
当且仅当
当且仅当（If and only if）（中国大陆又称作当且--仅当，臺灣又称作若且--唯若），在--邏輯中，逻辑算符反互斥或閘（exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型，符号为XNOR或ENOR或\Leftrightarrow。与一般的邏輯或非NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”之意，在英语中的对应标记为iff。“A当且仅当B”其他等价的说法有“当且仅当A則B”；“A是B的充分必要条件（充要條件）”。 一般而言，當我們看到“A当且仅当B”，我們可以知道“如果A成立時，則B一定成立；如果B成立時，則A也一定成立”；“如果A不成立時，則B一定不成立；如果B不成立時，則A也一定不成立”。.
循環連分數
循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數： x.
圓周率
圓周率是一个数学常数，为一个圆的周长和其直径的比率，约等於3.14159。它在18世纪中期之后一般用希腊字母π指代，有时也拼写为“pi”（）。 因为π是一个无理数，所以它不能用分数完全表示出来（即它的小数部分是一个无限不循环小数）。当然，它可以用像\frac般的有理数的近似值表示。π的数字序列被認為是随机分布的，有一种统计上特别的随机性，但至今未能证明。此外，π还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式的根。由於π的超越性质，因此不可能用尺规作图解化圆为方的问题。 几个文明古国在很早就需要计算出π的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时，南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个π的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。在20和21世纪，由于计算机技术的快速发展，借助计算机的计算使得π的精度急速提高。截至2015年，π的十进制精度已高达1013位。当前人类计算π的值的主要原因为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法，因为几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位。 因为π的定义中涉及圆，所以π在三角学和几何学的许多公式，特别是在圆形、椭球形或球形相關公式中广泛应用。由于用於特征值这一特殊作用，它也在一些数学和科学领域（例如数论和统计中计算数据的几何形状）中出现，也在宇宙学，热力学，力学和电磁学中有所出现。π的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍π的书籍，圆周率日（3月14日）和π值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵π值的世界记录已经达到70,000位的精度。.
分數
分數（fraction）是用分式（分數式）表達成 \frac 的数（a, b \in Z, b\neq 0）。在上式之中，b 稱為分母（Denominator）而 a 稱為分子（Numerator），可視為某件事物平均分成 b 份中佔 a 分，讀作「b 分之 a」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 a/b 來表示分數。.
單位分數
-- --，或称--，是分子是1，分母是正整數并寫成分數的有理數，。因此單位分數都是某一個正整數的倒數，1/n。 它們的和 \sum_^n \frac.
函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
倒数
數學上，一个数\displaystyle x的倒数（reciprocal），或稱乘法逆元（multiplicative inverse），是指一個与\displaystyle x相乘的积为1的数，记为\displaystyle \tfrac或\displaystyle x^。在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。注意这个名词只当相应的群中的运算被称为“乘法”后才使用。如果群中的运算被称为“加法”，那么同样的概念称为“加法逆”。乘法逆的具体定义可以参见群的逆元素概念。 汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。用数学记号表示的话： 每个复数（实数）只有一个倒数。一般来说，并不是对所有的代数结构中的乘法运算，每个元素都存在其乘法逆，如对矩阵乘法来说，秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元，而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子，或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。.
Cut-the-Knot
Cut-the-knot是由Alexander Bogomolny维护的一个教育网站，专注于通俗地介绍各类数学话题。该网站已经获得20多个来自科学和教育出版方面的奖项，，包括科学美国人“网站奖”（2003年），大不列颠百科全书“互联网向导奖”（Internet Guide Award），和科学“网络观察奖”（NetWatch award）。它的名字源于亚历山大大帝解戈尔迪的结（Gordian knot）的传说。 Cut-the-knot宣称"Judging Mathematics by its pragmatic value is like judging symphonia by the weight of its score"，将该网站描述为"a resource that would help learn, if not math itself, then, at least, ways to appreciate its beauty." 该网站为老师、学生和家长以及为了教育、鼓励兴趣、刺激好奇心任何对数学感兴趣的人设计。许多数学理念做成了applet程序演示。.
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约瑟夫·拉格朗日
约瑟夫·拉格朗日伯爵（Joseph Lagrange，），法国籍意大利裔数学家和天文学家。拉格朗日曾为普鲁士的腓特烈大帝在柏林工作了20年，被腓特烈大帝称做「欧洲最伟大的数学家」，后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世。拉格朗日一生才华横溢，在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献。他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。 拉格朗日是18世纪一位十分重要的科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献，但他主要是数学家。他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用，使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学（天体力学）更深入发展。在他的时代，分析学等分支刚刚起步，欠缺严密性和标准形式，但这不足以妨碍他取得大量的成果。.
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無理數
無理數是指除有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。 非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明\sqrt無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。 無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。.
萊昂哈德·歐拉
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，台灣舊譯尤拉，）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄国和普鲁士度过。 欧拉在数学的多个领域，包括微积分和图论都做出过重大发现。他引进的许多数学术语和书写格式，例如函数的记法"f(x)"，一直沿用至今。此外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出的贡献。 欧拉是18世纪杰出的数学家，同时也是有史以来最伟大的数学家之一。他也是一位多产作者，其学术著作約有60-80冊。法国数学家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。.
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高斯符號
斯符號是一个数学符号，形式为方括号，表示不大於（等于或小于）数x的最大整數，即x-1＜≤x。 高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《算术研究》。 运算示例：.
黄金分割
#重定向 黄金分割率.
輾轉相除法
在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（）；因为，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如。这个重要的結論叫做貝祖定理。 辗转相除法最早出现在欧几里得的《几何原本》中（大约公元前300年），所以它是现行的算法中歷史最悠久的。这个算法原先只用来处理自然数和几何长度（相當於正實數），但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的數學對象，如高斯整数和一元多项式。由此，引申出欧几里得整环等等的一些现代抽象代数概念。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。 辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。它还被用来解丢番图方程，比如寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域中元素的逆。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。 辗转相除法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。拉梅于1844年证明了这点，同時這也標誌著计算复杂性理论的開端。.
辛钦常数
在數論領域中，苏联數學家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）證明對於幾乎所有實數x，其連分數表示式的係數ai的幾何平均數之極限存在，且與x數值無關，此數值稱為辛钦常數（Khinchin's constant）。 以下是x的連分數表示式 針對任意實數x，以下的等式幾乎總是為真 K_0 其中 K_0為辛钦常數 \prod_^\infty ^ \approx 2.6854520010\dots.
极限 (数学)
极限是现代数学特别是分析学中的基础概念之一。极限可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势。极限也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。作为微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念都是通过极限来定义的。 “函数的极限”这个概念可以更一般地推广到网中，而“序列的极限”则与范畴论中的极限和有向极限的概念密切相关。.
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恩格尔展开式
Engel展開式是一個正整數數列\，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和： 有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。.
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欧几里得
欧几里得（Ευκλειδης，前325年—前265年），有时被称为亚历山大里亚的欧几里得，以便区别于墨伽拉的欧几里得，希腊化时代的数学家，被稱為「几何學之父」。他活躍於托勒密一世時期的亚历山大里亚，也是亚历山太学派的成员。他在著作《几何原本》中提出五大公設，成為欧洲数学的基础。歐幾里得也寫過一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。歐幾里得幾何被广泛的认为是數學領域的經典之作。.
有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
最大公因數
数学中，兩個或多個整數的最大公因數（greatest common factor，hcf）指能够整除这些整数的最大正整数（这些整数不能都为零）。例如8和12的最大公因数为4。最大公因数也称最大公约数（greatest common divisor，gcd）。 整数序列a的最大公因数可以記為(a_1, a_2, \dots, a_n)或\gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)。 求兩個整數最大公因數主要的方法：.
斐波那契数列
--（意大利语：Successione di Fibonacci），又譯為費波拿契數列、費波那西數列、費氏數列、黃金分割數列。 在數學上，費波那契數列是以遞歸的方法來定義：.
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数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
数学常数 (以连分数表示排列)
這是以連分數表示排列的數學常數列表。 (無理數的常數有無限長的連分數：其最後面項為...。).
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整数
整数，是序列中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體Z或\mathbb，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。.
