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15 关系: 域扩张,复平面,复数,亚纯函数,理想 (环论),素数,解析延拓,黎曼猜想,黎曼ζ函數,L函數,椭圆曲线,有理数,数域,数学,整数。
- Ζ函數與L函數
- 代数几何
- 伯恩哈德·黎曼
- 数学中未解决的问题
- 猜想
域扩张
域扩张(field extensions)是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象,基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为环扩张。.
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复平面
数学中,复平面(complex plane)是用水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示。它可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面(实平面),一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示,虚部用沿着 y-轴的位移表示。 复平面有时也叫做阿尔冈平面,因为它用于阿尔冈图中。这是以让-罗贝尔·阿尔冈(1768-1822)命名的,尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔(1745-1818)叙述的。阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。 复平面的想法提供了一个复数的几何解释。在加法下,它们像向量一样相加;两个复数的乘法在极坐标下的表示最简单——乘积的长度或模长是两个绝对值或模长的乘积,乘积的角度或辐角是两个角度或辐角的和。特别地,用一个模长为 1 的复数相乘即为一个旋转。.
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复数
#重定向 复数 (数学).
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亚纯函数
在复分析中,一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数,那些孤立点称为该函数的极点。 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比(其分母不恒为0):极点也就是分母的零点。 直观的讲,一个亚纯函数是两个性质很好的(全纯)函数的比。这样的函数本身性质也很“好”,除了分式的分母为零的点,那时函数的值为无穷。 从代数的观点来看,如果D是一个连通集,则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域。这和有理数 \mathbb和整数 \mathbb的关系类似。.
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理想 (环论)
想(Ideal)是一个抽象代数中的概念。.
素数
質--數(Prime number),又称素--数,指在大於1的自然数中,除了1和該数自身外,無法被其他自然数整除的数(也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数)。大於1的自然數若不是質數,則稱之為合數。例如,5是個質數,因為其正因數只有1與5。而6則是個合數,因為除了1與6外,2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位:任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性,1被定義為不是質數,因為在因式分解中可以有任意多個1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解)。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在(欧几里得定理)。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單,但需時較長:設被測試的自然數為n,使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數,確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式(如梅森數)的自然數,人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數(例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數)。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式,但已建構了質數的分佈模式(亦即質數在大數時的統計模式)。19世紀晚期得到證明的質數定理指出:一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位(或n的對數)。 許多有關質數的問題依然未解,如哥德巴赫猜想(每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和)及孿生質數猜想(存在無窮多對相差2的質數)。這些問題促進了數論各個分支的發展,主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中,如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念,主要出現在代數裡,如質元素及質理想。.
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解析延拓
解析延拓是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法,一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。.
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黎曼猜想
黎曼猜想由德国數學家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題(猜想界皇冠)。多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。.
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黎曼ζ函數
黎曼ζ函數ζ(s)的定義如下: 設一複數s,其實數部份> 1而且: \sum_^\infin \frac 它亦可以用积分定义: 在区域上,此无穷级数收敛并为一全纯函数(其中Re表示--的实部,下同)。欧拉在1740考虑过s为正整数的情况,后来切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼认识到:ζ函数可以通过解析开拓来扩展到一个定义在复数域(s, s≠ 1)上的全纯函数ζ(s)。这也是黎曼猜想所研究的函数。 虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和“最纯”的数学领域数论相关,它也出现在应用统计学(参看齊夫定律(Zipf's Law)和(Zipf-Mandelbrot Law))、物理,以及调音的数学理论中。.
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L函數
在當代數論中,L函數是一類重要的複變數函數,蘊含重要的數論、算術代數幾何或表示理論信息,目前仍有大量待解的猜想。L函數是黎曼ζ函數的推廣,最簡單的例子是狄利克雷L函數,狄利克雷藉此研究等差數列中的素數密度。 許多L函數也有p進數版本。 L函數通常以無窮級數表示,有時也稱為L級數;這種級數通常只對虛部夠大的參數 s 方收斂。一如黎曼ζ函數,L級數往往能延拓為整個複數平面上的亞純函數或全純函數,並具備乘積表法及函數方程。.
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椭圆曲线
在數學上,橢圓曲線(Elliptic curve,縮寫為EC)為一代數曲線,被下列式子所定義 其是無奇點的;亦即,其圖形沒有尖點或自相交。 若y^2.
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有理数
数学上,可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数,例如3/8,0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数,如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别,分數是一种表示比值的记法,如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q,Q+,或\mathbb。定义如下: 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
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数域
数域是近世代数学中常见的概念,指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域\mathbb的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称,但两者的定义有细微的差别。.
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数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科,从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用,由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念,為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善,早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見,而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始,數學的發展便持續不斷地小幅進展,至16世紀的文藝復興時期,因为新的科學發現和數學革新兩者的交互,致使數學的加速发展,直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日,數學使用在不同的領域中,包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並導致全新學科的發展,例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學,就是數學本身的实质性內容,而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始,但其过程中也發現許多應用之处。.
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整数
整数,是序列中所有的数的统称,包括负整数、零(0)与正整数。和自然數一樣,整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體Z或\mathbb,源于德语单词Zahlen(意为“数”)的首字母。 在代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。.
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另见
Ζ函數與L函數
- L函數
- 克劳森函数
- 勒奇超越函数
- 多重对数函数
- 巴塞尔问题
- 广义黎曼猜想
- 志村簇
- 斯蒂尔吉斯常数
- 朗蘭茲綱領
- 欧德里兹科-肖恩哈格算法
- 欧拉乘积
- 狄利克雷η函数
- 狄利克雷L函數
- 狄利克雷定理
- 狄利克雷特徵
- 狄利克雷级数
- 證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式
- 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
- 赫尔维茨ζ函数
- 阿培里常数
- 除數函數
- 黎曼ξ函數
- 黎曼ζ函數
- 黎曼-西格尔公式
- 黎曼猜想
代数几何
- A无穷代数
- 一般位置
- 中山引理
- 代数几何
- 代数簇
- 代數幾何與解析幾何
- 優環
- 凝聚層
- 凯勒流形
- 卡拉比–丘流形
- 吴消元法
- 周環
- 奇點解消
- 射影平面
- 希爾伯特第十五問題
- 平坦模
- 广义黎曼猜想
- 德林費爾德模
- 志村簇
- 方向餘弦
- 有理映射
- 格拉斯曼流形
- 正則局部環
- 永田環
- 法丛
- 消去法
- 準素分解
- 科恩-麥考利環
- 結合代數
- 解析空間
- 諾特正規化引理
- 賦值
- 超曲面
- 鏈環
- 镜像对称 (弦理论)
- 隐函数
- 雅可比猜想
- 霍奇猜想
- 餘維數
- 齊次多項式
伯恩哈德·黎曼
- 伪黎曼流形
- 伯恩哈德·黎曼
- 可去奇点
- 广义黎曼猜想
- 柯西-黎曼方程
- 格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理
- 黎曼ξ函數
- 黎曼ζ函數
- 黎曼-勒贝格定理
- 黎曼-斯蒂尔杰斯积分
- 黎曼-罗赫定理
- 黎曼-西格尔公式
- 黎曼几何
- 黎曼和
- 黎曼映射定理
- 黎曼曲率張量
- 黎曼曲面
- 黎曼猜想
- 黎曼环形山
- 黎曼球面
- 黎曼积分
- 黎曼级数定理
数学中未解决的问题
- P/NP问题
- 不变子空间问题
- 佩尔数
- 准完全数
- 千禧年大獎難題
- 卢卡斯数
- 四胞胎素数
- 回文素数
- 希尔伯特的23个问题
- 希洛西七面體
- 幻方
- 广义黎曼猜想
- 斯梅尔问题
- 未解决的数学问题
- 楊-米爾斯存在性與質量間隙
- 納維-斯托克斯存在性與光滑性
- 纽曼-尚克斯-威廉士素数
- 表兄弟素数
- 阿达马矩阵