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佩尔数

指数 佩尔数

佩尔数是一个自古以来就知道的整数数列,由递推关系定义,与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长,增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算術平方根的近似值以及三角平方数的定义中,也出现在一些组合数学的问题中。.

29 关系: 丟番圖逼近三角平方數三角形數平方数佩尔方程勾股定理勾股数矩阵素数美國數學月刊白银比遞迴關係式行列式连分数斐波那契数列0112141691982292的算術平方根34567082

丟番圖逼近

丢番图分析是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数,亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达,且一律要求分子为整数,分母为正整数,通常要求是既约分数。 "丢番图逼近"的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题,而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程(或不定方程),故而得名。事实上,丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳(有理)丢番图逼近,简称最佳逼近。具体来说,对于一个实数 \alpha,希望找到一个"最优"的有理数 p/q 作为 \alpha 的近似,使在分母不超过 q 的所有有理数中,p/q 与 \alpha 的距离最小。这里的"距离"可以是欧氏距离,即两数之差的绝对值;也可以用 |q\alpha-p| 等方式度量。满足此类要求的有理数 p/q 称为实数 \alpha 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题,已于18世纪随着连分数理论的发展得到基本解决。 其后,该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量,以给出尽可能精确的上下界(一般用分母的函数表示)。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 \alpha 的性质密切相关。当 \alpha 分别为有理数、代数数、超越数时,其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想,刘维尔在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论,并由此具体地构造出了一个超越数(参见刘维尔数),证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见,丢番图逼近与数论的另一分支——超越数论紧密相关。 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题,该领域还包括多个实数的联立逼近,非齐次逼近,实数的代数数逼近,一致分布(均匀分布)等方面。甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究。.

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三角平方數

三角平方數是既是三角形數,又是平方數的數。三角平方數有無限個,可以由以下公式求得: 找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成佩爾方程。每個平方數的形式為 m^2,三角形數的則為 \frac。於是求n, m使得: 設k.

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三角形數

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形數。比如10个点可以组成一个等边三角形,因此10是一个三角形數: 一开始的18个三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253…… 一个三角数乘以九再加一仍是一个三角数。 三角數的個位數字不可能是2、4、7、9,數字根不可能是2、4、5、7、8。 三角数的二倍的平方根取整,是这个三角数的序数。.

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平方数

数学上,平方数,或称完全平方数,是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。例如,9.

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佩尔方程

若一個丢番图方程具有以下的形式: 且n为正整数,则称此二元二次不定方程为佩尔方程(英文:Pell's equation德文:Pellsche Gleichung)。 若n是完全平方数,则这个方程式只有平凡解(\pm 1, 0)(实际上对任意的n,(\pm 1, 0)都是解)。对于其余情况,拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而這些解可由\sqrt的連分數求出。.

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勾股定理

氏定理(Pythagorean theorem)(希腊语:Πυθαγόρειο θεώρημα)又称商高定理、畢達哥拉斯定理、--、百牛定理,是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。 据《周髀算經》中记述,公元前一千多年周公与商高论数的对话中,商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素,其一,“以为句广三,股修四,径隅五”。其二,“既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三,高为四的直角三角形,弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和,确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。 此外,《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”。 赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦”。 古埃及在公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数,而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(12709,13500,18541)。 有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理,但驴桥定理就是等邊對等角,是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理。.

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勾股数

勾股数,又名商高數或毕氏三元数(Pythagorean triple),是由三个正整数组成的数组;能符合勾股定理(毕式定理)「a^2+b^2.

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矩阵

數學上,一個的矩陣是一个由--(row)--(column)元素排列成的矩形阵列。矩陣--的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2--3--的矩阵: 大小相同(行数列数都相同)的矩阵之间可以相互加减,具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘,当且仅当第一个矩阵的--数等于第二个矩阵的--数。矩阵的乘法满足结合律和分配律,但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵,加上常数项,则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换,即是诸如.

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素数

質--數(Prime number),又称素--数,指在大於1的自然数中,除了1和該数自身外,無法被其他自然数整除的数(也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数)。大於1的自然數若不是質數,則稱之為合數。例如,5是個質數,因為其正因數只有1與5。而6則是個合數,因為除了1與6外,2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位:任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性,1被定義為不是質數,因為在因式分解中可以有任意多個1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解)。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在(欧几里得定理)。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單,但需時較長:設被測試的自然數為n,使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數,確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式(如梅森數)的自然數,人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數(例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數)。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式,但已建構了質數的分佈模式(亦即質數在大數時的統計模式)。19世紀晚期得到證明的質數定理指出:一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位(或n的對數)。 許多有關質數的問題依然未解,如哥德巴赫猜想(每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和)及孿生質數猜想(存在無窮多對相差2的質數)。這些問題促進了數論各個分支的發展,主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中,如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念,主要出現在代數裡,如質元素及質理想。.

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美國數學月刊

《美國數學月刊》(American Mathematical Monthly),是班傑明·芬克爾在1894年創辦的數學期刊。現時它由美國數學協會發行,每年十期。 《美國數學月刊》的對象從大學生至專業數學家亦有。其文章要適合大眾口味,淺白易明。因此,它和一般數學研究期刊的角色不同。 该杂志自1997年以来,内容也刊在美国数学协会在线网站。 美国数学协会的莱斯特·R·福特奖(杰出文章作者奖)每年在“美国数学月刊”发布。.

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白银比

#重定向 白銀比例.

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遞迴關係式

在數學上,递推关系(recurrence relation),也就是差分方程(difference equation),是一種递推地定義一個序列的方程式:序列的每一項目是定義為前一項的函數。 像戶口調查映射(logistic map)即為递推关系 某些簡單定義的遞迴關係式可能會表現出非常複雜的(混沌的)性質,他們屬於數學中的非線性分析領域。 所謂解一個遞迴關係式,也就是求其解析解,即關於n的非遞迴函數。.

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行列式

行列式(Determinant)是数学中的一個函數,将一个n \times n的矩陣A映射到一個純量,记作\det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在n 维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。.

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连分数

在数学中,连分数或繁分数即如下表达式: 这里的a_0是某个整数,而所有其他的数a_n都是正整数,可依樣定义出更长的表达式。如果部分分子(partial numerator)和部分分母(partial denominator)允许假定任意的值,在某些上下文中可以包含函数,则最終的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式與广义连分数相區別的时候,可稱它為简单或正规连分数,或称为是规范形式的。.

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斐波那契数列

--(意大利语:Successione di Fibonacci),又譯為費波拿契數列、費波那西數列、費氏數列、黃金分割數列。 在數學上,費波那契數列是以遞歸的方法來定義:.

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0

0(〇/零)是-1与1之间的整数。0既不是正数也不是负数。0是偶数。在数论中,0不属于自然数;在集合论和计算机科学中,0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数結構中都有著單位元這個很重要的性質。.

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1

1(一/壹)是0与2之间的自然数,是最小的正奇數.

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12

12(十二)是11与13之间的自然数。.

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14

14(十四)是13与15之间的自然数。.

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169

169是168與170之間的自然數。.

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198

198是197與199之間的自然數。.

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2

2(二)是1与3之间的自然数,2是唯一的偶數質數 (又稱偶素數)。.

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29

29是28与30之间的自然数。.

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2的算術平方根

2的算術平方根,俗称“根号2”,记作\sqrt,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“\sqrt不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。 \sqrt其最初65位.

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34

34是33与35之间的自然数。.

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5

5(五)是4与6之间的自然数,是第3個質數。.

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6

6(六)是5与7之间的自然数。.

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70

70是69与71之间的自然数。.

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82

82是81与83之间的自然数。.

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