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边值问题

指数 边值问题

在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。 物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。許多重要的边值问题屬於Sturm-Liouville問題。這類問題的分析會和微分算子的本徵函數有關。 在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解會隨著初始值連續的變化）。許多偏微分方程領域的理論提出是為要證明科學及工程應用的許多边值问题都是适定問題。 最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，後來是用狄利克雷原理找到相關的解。.

目录

  1. 24 关系: 偏微分方程，微分算子，微分方程，初值問題，算子，約束，绝对零度，狄利克雷原理，狄利克雷边界条件，狄利克雷问题，適定性問題，靜電學，诺伊曼边界条件，调和函数，黑洞，Sturm-Liouville理論，柯西邊界條件，格林函數，椭圆算子，波，波动方程，本徵函數，打靶法，拉普拉斯方程。

  2. 常微分方程
  3. 数学问题
  4. 边界条件

偏微分方程

偏微分方程（partial differential equation，缩写作PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函數及其偏导數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。 偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。.

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微分算子

在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）。 当然有理由不单限制于线性算子；例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。.

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微分方程

微分方程（Differential equation，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题 。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力為速度函數的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。.

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初值問題

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。 以下是一些初值問題的例子：.

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算子

算子（Operator）是从一个向量空间（或模）到另一个向量空间（或模）的映射。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在经典力学中，导数的使用无处不在，而在量子力学中，可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和有界性等的重要性质。.

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約束

約束可以指：.

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绝对零度

絕對零度（absolute zero）是熱力學的最低溫度，是粒子动能低到量子力学最低点时物质的温度。绝对零度是僅存於理論的下限值，其熱力學溫標寫成K，等於攝氏溫標零下273.15度（即−273.15℃）。 物質的溫度取決於其內原子、分子等粒子的動能。根據麥克斯韋-玻爾茲曼分佈，粒子動能越高，物質溫度就越高。理論上，若粒子動能低到量子力學的最低點時，物質即達到絕對零度，不能再低。然而，根據熱力學第二定律，絕對零度永遠無法達到，只可無限逼近。因為任何空間必然存有能量和熱量，也不斷進行相互轉換而不消失。所以絕對零度是不存在的，除非該空間自始即無任何能量熱量。在此一空間，所有物質完全沒有粒子振動，其總體積並且為零。 有關物質接近絕對零度時的行為，可初步觀察。定義如下： 其中h為普朗克常數、m為粒子的質量、k為波茲曼常數、T為絕對溫度。可見熱德布洛伊波長與絕對溫度的平方根成反比，因此當溫度很低的時候，粒子物質波的波長很長，粒子與粒子之間的物質波有很大的重疊，因此量子力學的效應就會變得很明顯。著名的現象之一就是在1995年首次被實驗證實的玻色-愛因斯坦凝聚，當時溫度降至只有1.7×10-7 K。.

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狄利克雷原理

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 \mathbb^n 中的某个区域 \Omega 上的泊松方程 满足边界条件 的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能 最小的几乎处处二次可导，并且在边界 \partial\Omega 上满足 v.

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狄利克雷边界条件

在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件”，指定微分方程的解在边界处的值。求出这样的方程的解的问题被称为狄利克雷问题。.

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狄利克雷问题

数学中，狄利克雷问题（Dirichlet problem）是寻找一个函数，使其为给定区域内一个指定的偏微分方程（PDE）的解，且在边界上取预定值。 对许多偏微分方程，狄利克雷问题都可解，但最初是对拉普拉斯方程提出来的。在这种情形下问题可如下表述： 这个条件称为狄利克雷边界条件。最主要的问题是证明解的存在性，因惟一性可利用证明。.

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適定性問題

數學術語適定性問題來自於哈達瑪所給出的定義。他認為物理現象中的數學模型應該具備下述性質：.

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靜電學

電學是研究「靜止電荷」的特性及規律的一門學科，電學的領域之一。靜電即電荷在靜止時的狀態，沒有電荷流動。而靜止電荷所建立的電場稱為靜電場，是指不隨時間變化的電場，該靜電場對於場中的電荷有作用力。.

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诺伊曼边界条件

在数学中，诺伊曼边界条件（Neumann boundary condition) 也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。 在常微分方程情况下，如 \frac + 3 y.

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调和函数

在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f: U → R（其中U是Rn里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在U上满足方程： \frac + \frac + \cdots + \frac.

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黑洞

黑洞（英文：black hole）是根據廣義相對論所推論、在宇宙空間中存在的一種質量相當大的天體和星體（並非是一般認知的「洞」概念）。黑洞是由質量足够大的恒星在核聚变反应的燃料耗盡後，發生引力坍缩而形成。黑洞的質量是如此之大，它产生的引力场是如此之强，以致于大量可測物质和辐射都无法逃逸，就連传播速度極快的光子也逃逸不出來。由于类似热力学上完全不反射光线的黑体，故名黑洞。在黑洞的周圍，是一個無法偵測的事件視界，標誌著無法返回的臨界點，而在黑洞中心有一個密度趨近於無限的奇異點。 當恆星內部氫元素全部核融合完畢時，因燃料用完無法抵抗自身重力而開始向內塌陷，但隨著壓力越來越高，內部的重元素會重新開始燃燒導致瞬間膨脹，這時恆星的體積將暴增至原先的數十倍至百倍，這便是紅巨星，質量更大的恆星則會發生超新星爆炸，無論是紅巨星或是超新星，都會將外部物質全部吹飛，直到連重元素也燒完時，重力又會使得恆星繼續向內塌陷，最後形成一顆與月球差不多大小的白矮星，質量稍大的恆星則會形成中子星，會放出規律的電磁波，至於質量更大的恆星則會繼續塌陷，強大的重力使周圍的空間產生扭曲，最後形成一個密度每立方公分約一億噸的天體:「黑洞」。直至目前為止，所發現質量最小的黑洞大約有3.8倍太陽質量。 黑洞無法直接觀測，但可以藉由間接方式得知其存在與質量，並且觀測到它對其他事物的影響。藉由物體被吸入之前因高熱而放出紫外線和X射線的「邊緣訊息」，可以獲取黑洞的存在的訊息。推測出黑洞的存在也可藉由間接觀測恆星或星際雲氣團繞行黑洞軌跡，來取得位置以及質量。 黑洞是天文物理史上，最引人注目的題材之一，在科幻小說、電影甚至報章媒體經常可見將黑洞作為素材。迄今，黑洞的存在已得到天文學界和物理學界的绝大多數研究者所認同，並且天文界不時提出於宇宙中觀測到已存在的黑洞。 根據英國物理學者史蒂芬·霍金於2014年1月26日的論據：愛因斯坦的重力方程式的兩種奇點的解，分別是黑洞跟白洞。不過理論上黑洞應該是一種「有進沒出」的天體，而白洞則只能出而不能進。然而黑洞卻有粒子的輻射，所以不再適合稱其名為黑洞，而應該改其名為「灰洞」，先前認為黑洞可以毀滅資訊情報的看法，是他「最大的失誤」。.

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Sturm-Liouville理論

#重定向 施图姆-刘维尔理论.

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柯西邊界條件

柯西邊界條件是強加在常微分方程或偏微分方程的邊界條件，而邊界條件則是其方程的解都要符合在邊界的給定條件。一組柯西邊界條件通常包含在邊界的函數值及導數，這相當於給定狄利克雷邊界條件和諾伊曼邊界條件。柯西邊界條件的名字是紀念19世紀的著名數學家-柯西。.

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格林函數

在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种，有时并不符合数学上的定义。 格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。.

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椭圆算子

椭圆算子是数学偏微分方程理论中的一类微分算子，它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子，这意味着算子没有实的特征方向。 椭圆算子是典型的位势论，并且它们频繁地出现在静电学和连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数（如果算子的系数是光滑的）。方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。.

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波

波或波动是扰动或物理信息在空间上传播的一种物理現象，扰动的形式任意，傳遞路徑上的其他介質也作同一形式振動。波的传播速度总是有限的。除了电磁波、引力波（又稱「重力波」）能够在真空中传播外，大部分波如机械波只能在介质中传播。波速與介質的彈性與慣性有關，但與波源的性質無關。.

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波动方程

波动方程或稱波方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 1746年，达朗贝尔发现了一维波动方程，欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。Speiser, David.

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本徵函數

在数学中，函数空间上定义的线性算子 A 的本征函数（Eigenfunction，又稱--）就是对该空间中任意一个非零函数 f 进行变换仍然是函数 f 或者其标量倍数的函数。更加精确的描述就是 \mathcal A f.

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打靶法

打靶法（Shooting method）是数值分析中在求解边界值问题時，将解归约为求解數個初值问题的方法。下面的讨论在打靶法的解释中有详细注释。 对于一个二阶常微分方程的边界值问题，该方法表述如下： 令 为边界值问题。 令 y(t1; a) 代表下列初值问题的一个解 定义函数F(a)为y(t1; a)和给定边界值y1的差 若边界值问题有解，则F有一个根，而这个根就是y'(t0)的给出边界问题解y(t)的取值。 上述問題的求解可以采用通常的求根方法，例如二分法或者牛顿法。.

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拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。.

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另见

常微分方程

数学问题

边界条件

亦称为 边界值问题。