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平方求幂

指数 平方求幂

在数学和程序设计中，平方求冪（exponentiating by squaring）或快速冪是快速计算一个数（或更一般地说，一个半群的元素，如多項式或方阵）的大正整数幂的一般方法。这些算法可以非常通用，例如用在模算數或矩阵幂。对于通常使用加性表示法的半群，如密码学中使用的椭圆曲线，这种方法也称为double-and-add。.

目录

  1. 29 关系: 半群，启发式搜索，多項式，大O符号，密码学，尾调用，交換律，二进制，余数，冪，公开密钥加密，矩阵，环 (代数)，程序设计，編譯器，群，高斯符號，阿贝尔群，蒙哥马利算法，自然数，递归 (计算机科学)，Ruby，椭圆曲线，模算數，汉明重量，方块矩阵，旁路攻击，数，数学。

  2. 指数
  3. 計算機算術
  4. 计算机算术算法

半群

在数学中，半群是闭合于结合性二元运算之下的集合 S 构成的代数结构。 半群的运算经常指示为乘号，也就是 x\cdot y 或简写为 xy 来指示应用半群运算于有序对 (x, y) 的结果。 半群的正式研究开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系。.

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启发式搜索

计算机科学中所謂的heuristic，除了有經驗法則的意思外（見啟發式），它還有另外兩個技術上的意義。.

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多項式

多项式（Polynomial）是代数学中的基础概念，是由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。未知数只有一个的多项式称为一元多项式；例如x^2-3x+4就是一个一元多项式。未知数不止一个的多项式称为多元多项式，例如就是一個三元多项式。 可以写成只由一项构成的多项式也称为单项式。如果一项中不含未知数，则称之为常数项。 多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。.

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大O符号

大O符号（Big O notation），又稱為漸進符號，是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。 大O符号是由德国数论学家在其1892年的著作《解析数论》（Analytische Zahlentheorie）首先引入的。而这个记号则是在另一位德国数论学家的著作中才推广的，因此它有时又称为朗道符号（Landau symbols）。代表“order of...”（……阶）的大O，最初是一个大写希腊字母“Ο”（omicron），现今用的是大写拉丁字母“O”。.

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密码学

密碼學（Cryptography）可分为古典密码学和现代密码学。在西欧語文中，密码学一词源於希臘語kryptós“隱藏的”，和gráphein“書寫”。古典密码学主要关注信息的保密书写和传递，以及与其相对应的破译方法。而现代密码学不只关注信息保密问题，还同时涉及信息完整性验证（消息验证码）、信息发布的不可抵赖性（数字签名）、以及在分布式计算中产生的来源于内部和外部的攻击的所有信息安全问题。古典密码学与现代密码学的重要区别在于，古典密码学的编码和破译通常依赖于设计者和敌手的创造力与技巧，作为一种实用性艺术存在，并没有对于密码学原件的清晰定义。而现代密码学则起源于20世纪末出现的大量相关理论，这些理论使得现代密码学成为了一种可以系统而严格地学习的科学。 密码学是数学和计算机科学的分支，同时其原理大量涉及信息论。著名的密碼學者罗纳德·李维斯特解釋道：「密碼學是關於如何在敵人存在的環境中通訊」，自工程學的角度，這相當于密碼學與純數學的差异。密碼學的发展促進了计算机科学，特別是在於電腦與網路安全所使用的技術，如存取控制與資訊的機密性。密碼學已被應用在日常生活：包括自动柜员机的晶片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務等等。.

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尾调用

在计算机学，尾调用是指一个函数里的最后一个动作是返回一个函数的调用结果的情形，即最后一步新调用的返回值直接被当前函数的返回结果。此时，该尾部调用位置被称为尾位置。尾调用中有一种重要而特殊的情形叫做尾递归。经过适当处理，尾递归形式的函数的运行效率可以被极大地优化。尾调用原则上都可以通过简化函数调用栈的结构而获得性能优化（称为“尾调用消除”），但是优化尾调用是否方便可行取决于运行环境对此类优化的支持程度如何。.

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交換律

交換律(Commutative property)是被普遍使用的一個數學名詞，意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在，且沒有給定其一特定的名稱，直到19世紀，數學家開始形式化數學理論之後，交換律才被聲明。.

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二进制

在數學和數字電路中，二進制（binary）數是指用二進制記數系統，即以2為基數的記數系統表示的數字。這一系統中，通常用兩個不同的符號0（代表零）和1（代表一）來表示。以2為基數代表系統是二進位制的。數字電子電路中，邏輯門的實現直接應用了二進制，因此現代的計算機和依赖計算機的設備裡都用到二進制。每個數字稱為一個位元（二進制位）或比特（Bit，Binary digit的縮寫）。.

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余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“餘留下的量”。当余数为零时，被称为整除。.

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冪

幂運算（Exponentiation），又稱指數運算，是一種數學運算，表示為 bn。其中，b 被稱為底數，而 n 被稱為指數，其結果為 b 自乘 n 次。同樣地，把 b^n 看作乘方的结果，稱為「 b 的 n 次幂」或「 b 的 n 次方」。 通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，b^n通常寫成b^n或b**n，也可視為超運算，記為bn，亦可以用高德納箭號表示法，寫成b↑n，讀作“ b 的 n 次方”。 當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“ b 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“ b 的立方”。 bn 的意義亦可視為： 起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（b）自乘指數（n）這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：除 0 外所有數的零次方都是 1 ；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即： 以分數為指數的冪定義為b^.

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公开密钥加密

公开密钥加密（Public-key cryptography），也称为非对称加密（asymmetric cryptography），是密碼學的一種演算法，它需要兩個密钥，一個是公開密鑰，另一個是私有密鑰；一個用作加密的時候，另一個則用作解密。使用其中一個密钥把明文加密后所得的密文，只能用相對應的另一個密钥才能解密得到原本的明文；甚至連最初用來加密的密鑰也不能用作解密。由於加密和解密需要兩個不同的密鑰，故被稱為非對稱加密；不同於加密和解密都使用同一個密鑰的對稱加密。雖然兩個密鑰在数学上相关，但如果知道了其中一个，并不能憑此计算出另外一个；因此其中一个可以公开，称为公钥，任意向外發佈；不公开的密钥为私钥，必須由用戶自行嚴格秘密保管，絕不透過任何途徑向任何人提供，也不會透露給要通訊的另一方，即使他被信任。 基於公開密鑰加密的特性，它還提供數位簽章的功能，使電子文件可以得到如同在紙本文件上親筆簽署的效果。 公開金鑰基礎建設透過信任数字证书认证机构的根证书、及其使用公开密钥加密作數位簽章核發的公開金鑰認證，形成信任鏈架構，已在TLS實作並在万维网的HTTP以HTTPS、在电子邮件的SMTP以STARTTLS引入。 另一方面，信任網絡則採用去中心化的概念，取代了依賴數字證書認證機構的公鑰基礎設施，因為每一張電子證書在信任鏈中最終只由一個根證書授權信任，信任網絡的公鑰則可以累積多個用戶的信任。PGP就是其中一個例子。.

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矩阵

數學上，一個的矩陣是一个由--（row）--（column）元素排列成的矩形阵列。矩陣--的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2--3--的矩阵： 大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的--数等于第二个矩阵的--数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如.

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环 (代数)

环（Ring）是由集合R和定义于其上的两种二元运算（记作+和·，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。 环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。.

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程序设计

电脑程序设计（Computer programming），或稱程式設計（programming），是给出解决特定问题程序的过程，軟體開發過程中的重要步驟。程序设计往往以某种程序设计语言为工具，给出这种语言下的程序。程序设计过程应包括分析、设计、编碼、测试、除错等不同阶段。 在计算机技术发展的早期，軟體開發主要就是程序设计。但随着技术的发展，软件系统越来越复杂，逐渐分化出许多专用的软件系统，如操作系统、数据库系统、应用服务器，而且这些专用的软件系统愈来愈成为普遍的系統環境的一部分。这种情况下軟體開發的内容越来越丰富，不再只是纯粹的程序设计，还包括数据库设计、用户界面设计、通信协议设计和复杂的系统配置过程。 专业的程序设计人员被称为程序员。某种意思上，程序设计的出现甚至早于电子计算机的出现。英国著名诗人拜伦的女儿愛達·勒芙蕾絲曾设计了巴贝奇分析机上計算伯努利數的一个程序。她甚至还建立了循环和子程序的概念。由于她在程序设计上的突破性創新，愛達·勒芙蕾絲被称为世界上第一位程序员。 任何设计工作都是在各种条件限制和相互矛盾的需求之间寻求一种平衡。這種觀點反映在程式設計上，就是硬體儲存空間與程式執行時間的限制。 空間方面，在计算机技术发展的早期，由于机器资源比较昂贵，如何縮小儲存空間往往是设计关心的首要重點；而随着硬件技术的飞速发展，電腦上資料儲存媒體的價格降低，空間不再是考慮的第一要點，一些較耗時的運算也漸漸發展出以空間換取時間的模式。 時間方面，在早期，如何加強程式效率、縮短程式執行時間是程式設計師的共同目標；而在硬體效能進步、效率差距縮小，软件规模與複雜度卻日益增加的現在，程序的结构、可维护性、重複使用性、彈性等因素更顯得重要。在多人合作的程式設計專案裡，程式設計師們會加上各種註解以協助其他參與者理解程式碼，，但卻因能達到較好的溝通並提高程式碼的可維護性，而成為目前的主流。 然而，隨著智慧型手機等攜帶裝置的興起，執行時間的縮短與儲存空間的有效運用再次成為焦點，形成與主機伺服器類型應用程式不同的重點考慮方向。.

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編譯器

编译器（compiler），是一種電腦程式，它會將用某種程式語言寫成的原始碼（原始語言），轉換成另一種程式語言（目標語言）。 它主要的目的是將便于人编写、阅读、维护的高级计算机语言所寫作的原始碼程式，翻译为计算机能解读、运行的低阶机器语言的程序，也就是執行檔。编译器将原始程序（source program）作为输入，翻译产生使用目标语言（target language）的等价程序。源代码一般为高阶语言（High-level language），如Pascal、C、C++、C# 、Java等，而目标语言则是汇编语言或目标机器的目标代码（Object code），有时也称作机器代码（Machine code）。 一个现代编译器的主要工作流程如下： 源代码（source code）→ 预处理器（preprocessor）→ 编译器（compiler）→ 汇编程序（assembler）→ 目标代码（object code）→ 链接器（Linker）→ 執行檔（executables）， 最後打包好的檔案就可以給電腦去判讀執行了。.

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群

在數學中，群是由一個集合以及一個二元運算所組成的，符合下述四个性质（称为“群公理”）的代數結構。这四个性质是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。 群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的组成的中心原理。 群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的如此描述物体的對稱特征：它是保持物體不變的變換的集合。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。 群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式（群的表示）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。.

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高斯符號

斯符號是一个数学符号，形式为方括号，表示不大於（等于或小于）数x的最大整數，即x-1＜≤x。 高斯符號首次出現是在高斯的數學巨著《算术研究》。 运算示例：.

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阿贝尔群

阿貝爾群（Abelian group）也稱爲交換群（commutative group）或可交換群，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經被徹底地研究了。無限阿貝爾群理論則是目前正在研究的領域。.

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蒙哥马利算法

在算术运算，蒙哥马利算法(Montgomery reduction)是一种快速大数（通常是几百個二進位）模乘算法， 由彼得·蒙哥马利在1985年提出。 蒙哥马利算法利用了以下這個被稱為「蒙哥马利约分」的步驟來簡化模乘的算法：.

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自然数

数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一，可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots)，亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。.

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递归 (计算机科学)

遞迴（recursion）在電腦科學中是指一種通過重複將問題分解為同類的子問題而解決問題的方法。 遞迴式方法可以被用於解決很多的電腦科學問題，因此它是電腦科學中十分重要的一個概念。 絕大多數程式語言支援函式的自呼叫，在這些語言中函式可以通過呼叫自身來進行遞迴。計算理論可以證明遞迴的作用可以完全取代迴圈，因此在很多函數程式語言（如Scheme）中習慣用遞迴來實現迴圈。 電腦科學家尼克勞斯·維爾特如此描述遞迴：.

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Ruby

Ruby 是一种面向对象、命令式、函数式、动态的通用编程语言。在20世纪90年代中期由日本電腦科學家松本行弘（Matz）设计并开发。 遵守BSD许可证和Ruby License。它的灵感与特性来自于Perl、Smalltalk、Eiffel、Ada以及Lisp语言。由Ruby语言本身还发展出了JRuby（Java平台）、IronRuby（.NET平台）等其他平台的Ruby语言替代品。.

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椭圆曲线

在數學上，橢圓曲線（Elliptic curve，縮寫為EC）為一代數曲線，被下列式子所定義 其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。 若y^2.

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模算數

模算數（modular arithmetic）是一個整数的算术系統，其中數字超過一定值後（稱為模）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。 模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小時數超過十二後會再回到一，為模12的模算數系統。依照上述的定義，12和12本身同餘，也和0同餘，因此12:00的時間也可以稱為是0:00，因為模12時，12和0同餘。.

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汉明重量

汉明重量是一串符号中非零符号的个数。因此它等同于同样长度的全零符号串的汉明距离。在最为常见的数据位符号串中，它是1的个数。.

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方块矩阵

方塊矩陣，或简称方阵，是行數及列數皆相同的矩陣。由n \times n\,矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，构成環。除了n.

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旁路攻击

在密碼學中，旁道攻击又称侧信道攻擊、边信道攻击（Side-channel attack）是一種攻擊方式，它基於從密碼系統的物理實現中獲取的信息而非暴力破解法或是算法中的理論性弱點（較之密码分析）。例如：時間信息、功率消耗、電磁泄露或甚是聲音可以提供額外的信息來源，這可被利用于進一步對系統的破解。某些側信道攻擊還要求攻擊者有關於密碼系統内部操作的技術性信息，不過，其他諸如差分電力分析的方法在黑盒攻擊中效果明顯。許多卓有成效的側信道攻擊基於由Paul Kocher開拓的統計學方法。 需要注意的是，如果破解密码学系统使用的信息是通过与其使用人的合法交流获取的，这通常不被认为是旁路攻击，而是社会工程学攻击。.

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数

數是一個用作計數、標記或用作量度的抽象概念，是比同质或同属性事物的等级的简单符号记录形式（或称度量）。代表數的一系列符號，包括數字、運算符號等統稱為記數系統。在日常生活中，數通常出現在在標記（如公路、電話和門牌號碼）、序列的指標（序列號）和代碼（ISBN）上。在數學裡，數的定義延伸至包含如如分數、負數、無理數、超越數及複數等抽象化的概念。 起初人們只覺得某部分的數是數，後來隨著需要，逐步將數的概念擴大；例如畢達哥拉斯認為，數必須能用整數和整數的比表達的，後來發現无理数無法這樣表達，引起第一次數學危機，但人們漸漸接受無理數的存在，令數的概念得到擴展。 數的算術運算（如加減乘除）在抽象代數這一數學分支內被廣義化成抽象數字系統，如群、環和體等。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.

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另见

指数

計算機算術

计算机算术算法