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58 关系: 假言三段论，反例，反證法，可數集，墓碑符号，奇数，存在量化，存在性定理，字母系統，定理，定理机器证明，常微分方程，归纳推理，保羅·哈爾莫斯，命题，冪，全称量化，公理，勾股定理，四色定理，皮亚诺公理，矛盾，科学普及，算法，素数，無理數，無效證明，非形式逻辑，非构造性证明，語言，证明论，谓词逻辑，鴿巢原理，超限归纳法，鸽属，肯定前件，自然语言，良基关系，電腦協助證明，集合论，逻辑，逆否命题，选言三段论，Q.E.D.，排中律，构造性证明，恒等式，李亞普諾夫函數，树 (图论)，歸謬法，...，演绎推理，有理数，无穷，数学，数学家，数学归纳法，数理逻辑，整数。 扩展索引 (8 更多) »
假言三段论
假言三段论又称假言推理。假言推理总是以假言判断为前提来进行推理的。 在逻辑中，假言三段论是服从下列形式的有效的论证: 在逻辑运算符记号中 换句话说，这种论证陈述如果第一个蕴涵第二个，并且第二个蕴涵第三个，则第一个蕴涵第三个。假言三段论的一个例子: 假言三段论有一个好处，它们可以是反事实的(counterfactual): 它们可以是真的，即使前提假设的命题已知是假的。 反事实的前提的可以在有效的假言三段论中使用的例子.
反例
在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。反例在数学、哲学和自然科学中都有重要的应用。举例来说，对一个命题：所有的天鹅都是白色的。这是一个全称命题，声明对于某类事物全体（所有的天鹅），都有某个性质（是白色的）。为了说明这个命题不是真的，只需要举出一个例子，其对象属于这类事物，但不具有命题中声称的性质就可以了。这样的例子称为反例：一只不是白色的天鹅就是这个命题的反例。.
反證法
反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。 反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。.
可數集
在数学上，可数集，或称可列集、可数无穷集合，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 “可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。例子参见两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。 为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，参见.
墓碑符号
墓碑符号（tombstone），在数学中用来表示证明完毕，以取代传统上使用的拉丁文缩写Q.E.D.（意为“证明完毕”）。 该符号在Unicode中的代码为U+220E。此外还有其他一些变体，可以是空心或实心的矩形或正方形。 在AMS-LaTeX中，使用证明环境\begin...
奇数
#重定向 奇偶性 (数学).
存在量化
在谓词逻辑中，存在量化是对一个域的至少一个成员的性质或关系的论断。使用叫做存在量词逻辑算子符号∃来指示存在量化。 它相对于声称某些事物对所有事物都为真的全称量化。.
存在性定理
在数学中，存在性定理是一类以“存在……”开头的定理的总称。有时前面也会加上一些限定，比如说“对于所有的……，存在……”。形式上来说，存在性定理是指在定理的命题叙述中涉及存在量词的定理。实际中，许多存在性定理并不会明确地用到“存在”这个字眼，比如说“正弦函数是连续的。”这个定理中并没有出现“存在”一词，但仍是一个存在性定理。因为“连续性”的定义是一个存在性的定义。 二十世纪初期曾经有过关于纯粹的存在性定理的争论。在数学结构主义的角度上，如果承认此种定理的存在，那么数学的实用性将会降低。而与之相反的观点认为抽象的手段可以达到数值分析所无法达到的目的。.
字母系統
字母系統是拼音文字系统当中最小的，数量最少的区别性单位，即字位，如拉丁字母源自拉丁语采用的字母、阿拉伯字母源自阿拉伯语采用的字母。字母系統的特點是字母大致上對應該語言口语中的音位。這部份和音節文字（每一個文字代表一個音節，如日文）和語素文字（每一個字位表示一個语素，如中文）不同。 若按照一定顺序把字母排列起来，就形成了字母表。世界上各种拼音文字所使用的字母都起源于闪米特字母（Semitic alphabet）。 需要注意的是，在汉语中并没有字母这个概念，汉语拼音及注音符号之类的汉字拉丁化体系都只是一套用字母来标音的符号，而不是字母。 所有字母的共同祖先闪米特字母来自于古埃及的象形文字——圣书体。但到底腓尼基字母跟乌加里特字母谁先发明仍未有定论。下面的表格就是圣书体中24个声符及其读音。 在闪米特字母中又以腓尼基字母最为古老。这种字母是辅音字母，全部22个字母都是辅音。随着社会的发展，又演变出许多字母。 下面是一个演变情况的简单说明： 腓尼基字母.
定理
定理（Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些a是x，某些a是y，就不能算是定理）。 猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。 如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。 在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。.
定理机器证明
定理机器证明（Automated theorem proving，簡稱ATP）目前是自动推理（Automated reasoning，簡稱AR）体系中发展最好的部分，它的目的是为使用电子计算机程序来进行数学定理的证明。对于不同的数学逻辑，它能够推论出一个定理是正确的，还是不可证明的，或者错误的。 Category:数学软件.
常微分方程
在数学分析中，常微分方程（ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s 和时间 t 的关系就可以表示为如下常微分方程： 其中 m 是物体的质量，f(s) 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 s，它只以时间 t 为自变量。.
归纳推理
归纳法或归纳推理（Inductive reasoning），有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程。它基于对特殊的代表（token）的有限观察，把性质或关系归结到类型；或基于对反复再现的现象的模式（pattern）的有限观察，公式表达规律。例如，使用归纳法在如下特殊的命题中：.
保羅·哈爾莫斯
保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，），生於匈牙利布達佩斯的美國數學家，主要研究概率論（特別是遍歷理論）、統計學和泛函分析（特別是希爾伯特空間及算子理論）。 使用「iff」來表示「if and only if」（若且唯若）有時認為是哈爾莫斯的功勞，但哈爾莫斯說他只是借用的。使用∎（墓碑符號）來表示證明完畢是由他開始用的，故這個符號有時叫哈爾莫斯。.
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命题
在现代哲学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断（陳述）的语义（實際表達的概念），這個概念是可以被定義並觀察的現象。命题不是指判断（陳述）本身。当相異判断（陳述）具有相同语义的时候，他们表达相同的命题。例如，雪是白的（汉语）和 Snow is white（英语）是相異的判断（陳述），但它们表达的命题是相同的。在同一种语言中，两个相異判断（陳述）也可能表达相同命题。例如，刚才的命题也可以说成冰的小结晶是白的，不過，之所以是相同命题，取決於冰的小结晶可視為雪的有效定義。 通常，命題是指閉判斷，以區別於開判斷，或謂詞。在這種情況下，命題不是真的就是假的。哲學學派邏輯實證主義支援這一命題的概念。 一些哲學家，諸如約翰•希爾勒，認為其他形式的語言或行為也判定命題。是非疑問句是對命題真值的詢問。道路交通標誌不通過語言和文字也表達了命題。使用陳述句也可能給出一個命題而不判定它，例如，在當老師請學生對某個引用發表意見的時候，這個引用就是一個命題（即它有語義）而這個老師並沒有判定它。在上一段中，只給出了命題雪是白的，但沒有判定它。.
冪
幂運算（Exponentiation），又稱指數運算，是一種數學運算，表示為 bn。其中，b 被稱為底數，而 n 被稱為指數，其結果為 b 自乘 n 次。同樣地，把 b^n 看作乘方的结果，稱為「 b 的 n 次幂」或「 b 的 n 次方」。 通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，b^n通常寫成b^n或b**n，也可視為超運算，記為bn，亦可以用高德納箭號表示法，寫成b↑n，讀作“ b 的 n 次方”。 當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“ b 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“ b 的立方”。 bn 的意義亦可視為： 起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（b）自乘指數（n）這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：除 0 外所有數的零次方都是 1 ；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即： 以分數為指數的冪定義為b^.
全称量化
在谓词逻辑中，全称量化是尝试形式化某个事物（逻辑谓词）对于所有事物或所有有关的事物都为真的概念。结果的陈述是全称量化后的陈述，我们在谓词上有了全称量化。在符号逻辑中，全称量词（典型的"∀"）是用来指示全称量化的符号。.
公理
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b.
勾股定理
氏定理（Pythagorean theorem）（希腊语:Πυθαγόρειο θεώρημα）又称商高定理、畢達哥拉斯定理、--、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。 据《周髀算經》中记述，公元前一千多年周公与商高论数的对话中，商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素，其一，“以为句广三，股修四，径隅五”。其二，“既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三，高为四的直角三角形，弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。 此外，《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”。 赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦”。 古埃及在公元前2600年的纸莎草就有（3,4,5）这一组勾股数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（12709，13500，18541）。 有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。.
四色定理
四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上劃出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个无外飞地的地图都可以用不多於四种颜色来染色，而且不會有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的圆形中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是邻接区域。 “是否只用四种颜色就能为所有地图染色”的问题最早是由一位英国制图员在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 1976年，数学家凱尼斯·阿佩爾和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到一个完全的证明，四色问题也终于成为四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。.
皮亚诺公理
亚诺公理（Peano axioms），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。.
矛盾
粗略的说，矛盾（Contradiction）是在两个或更多陈述、想法或行动之间的不一致，存在差别。 汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事： 白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他誇讚自己賣的盾牌說：“我的盾牌堅固無比，什麼東西都無法刺穿它。”又誇讚自己賣的矛說：“我的矛鋒利無比，什麼東西都可以刺穿。”有人問他說：“用你的矛来試著刺你的盾，將會如何？”那人一句話都無法回答。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同时存在的。 注意在口语和辩证法中，矛盾有着同形式逻辑中完全不同的意义，口语中的矛盾强调矛盾双方的斗争性。.
科学普及
科學普及，简称科普，又稱大眾科學、流行科學（popular science）或者普及科學，是指利用各種傳媒以淺顯的方式向普通大眾普及科學技術知識，倡導科學方法、傳播科學思想、弘揚科學精神的活動。相比於集中於出版最新科研成果，讓科學作品的內容更為廣泛。科學作品多數由科學家以及傳媒從業員編撰，透過不同媒介展示，常見的如書本、紀錄片、雜誌文章和網頁。.
算法
-- 算法（algorithm），在數學（算學）和電腦科學之中，為任何良定义的具體計算步驟的一个序列，常用於計算、和自動推理。精確而言，算法是一個表示爲有限長列表的。算法應包含清晰定義的指令用於計算函數。 算法中的指令描述的是一個計算，當其時能從一個初始狀態和初始輸入（可能爲空）開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化算法在内的一些算法，包含了一些隨機輸入。 形式化算法的概念部分源自尝试解决希尔伯特提出的判定问题，並在其后尝试定义或者中成形。这些尝试包括库尔特·哥德尔、雅克·埃尔布朗和斯蒂芬·科尔·克莱尼分别于1930年、1934年和1935年提出的遞歸函數，阿隆佐·邱奇於1936年提出的λ演算，1936年的Formulation 1和艾倫·圖靈1937年提出的圖靈機。即使在當前，依然常有直覺想法難以定義爲形式化算法的情況。.
素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
無理數
無理數是指除有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。 非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明\sqrt無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。 無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。.
無效證明
在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤－通常是經過設計的－卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被使用顯示嚴謹在數學中的重要性。 大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形。此一錯誤為採一非單射的函數f，以觀察對某些x和y，會有f(x).
非形式逻辑
非形式逻辑是对自然语言论证的研究，典型特征是不如形式逻辑善于分析。非形式逻辑的焦点在于分析错误的论证来辨别逻辑谬论，和辨别与分类类似的推理策略等活动。用自然语言分析论证的活动和在形式逻辑系统中表现它们被称为哲学分析，而且有时被当作非形式逻辑的一部分。 报纸的评论文章提供了对非形式逻辑的示例性教科书样的例子(参见 Walton reference)，这些文章通常是简短的并且经常是荒谬的。无论如何，非形式逻辑还用于推理有关人类和社会科学的事件。事实上，多数从已知事实到未知事实的推理使用自然语言，即使组合上数学或统计，可以被当作非形式逻辑的应用，只要它不依赖于额外的经验性论据。 Category:邏輯 L.
非构造性证明
非构造性证明是「表述存在性的命题或定理」的一种证明方式：证明的过程中，不举例而只证明语句是否正确。非构造性证明很多时候依赖于排中律。数学结构主义数学不允许非构造性证明。.
語言
语言，广义而言，是用於沟通的一套方式，有其符号与处理规则，一般称为文法。符号通常称为文字，会以视觉、声音或者触觉方式来进行传递。 語言用來傳遞已知或未知事物的含義。 “語言”一詞可以更廣義的理解為已知或未知世界的基礎構成系統。 嚴格來說，語言是指人類溝通所使用的語言——自然語言。在一個先進的社會中一般人都必須透過學習才能獲得語言能力。語言的目的是交流觀念、意見、思想等。 語言學就是從人類研究語言分類與規則而發展出來的。研究語言的專家被稱呼為語言學家。 當人發現了某些動物如海豚能夠以某種方式溝通，就誕生了動物語言的概念。 20世紀由於電腦誕生，人需要給電腦指令。這種對機器的「單向溝通」就成電腦語言。.
证明论
证明论是数理逻辑的一个分支，它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的数据结构来表达，例如链表，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是语义学的模型论形相反。和模型论，公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为数学基础的四大支柱之一。 证明论也可视为哲学逻辑的分支，其主要兴趣在于证明论语义学的思想，该思想依赖于结构证明论的技术型想法才可行。.
谓词逻辑
在数理逻辑中，谓词逻辑（Predicate logic）是符号形式系统的通用术语，比如一阶逻辑，二阶逻辑，多类逻辑或无穷逻辑等等。.
鴿巢原理
鴿巢原理，又名狄利克雷抽屜原理、鴿籠原理。 其中一種簡單的表述法為：.
超限归纳法
超限归纳法（transfinite induction）是数学归纳法向（大）良序集合比如基数或序数的集合的扩展。.
鸽属
鸽属（學名：Columba），是鸠鸽科的一屬，俗称鸽子；包括各種中型和大型的鴿子，其中有我們今天常見的鴿子，即原鴿。 鸽属中包括以下各种鸽子：.
肯定前件
在逻辑中，肯定前件（拉丁语：Modus ponens）是有效的、简单的论证形式（常缩写为MP）.
自然语言
自然语言（Natural language）通常是指一种自然地随文化演化的语言。英语、汉语、法語、西班牙語、日语为自然语言的例子，而世界语则为人工语言，即是一种由人特意为某些特定目的而创造的语言。 不过，有时所有人类使用的语言（包括上述自然地随文化演化的语言，以及人工语言）都会被视为“自然”语言，以相对于如编程语言等为计算机而设的“人造”语言。这一种用法可见于自然语言处理一词中。自然语言是人类交流和思维的主要工具。.
良基关系
在数学中，类 X 上的一个二元关系 R 被称为是良基的，当且仅当所有 X 的非空子集都有一个 R-极小元；就是说，对 X 的每一个非空子集 S，存在一个 S 中的元素 m 使得对于所有 S 中的 s，二元组 (s,m) 都不在 R 中。 等价的说，假定某种选择公理，一个二元关系称为是良基的，当且仅当它不包含可数的无穷降链，也就是说不存在 X 的元素的无穷序列 x0, x1, x2,...使得对所有的自然数 n 有着 xn+1 R xn。 在序理论中，一个偏序关系称为是良基的，当且仅当它对应的严格偏序是良基的。如果这个序还是全序，那么此时称这个序为良序。 在集合论中，一个集合 x 称为是一个良基集合，如果集成员关系在 x 的传递闭包上是良基的。策梅洛-弗兰克尔集合论中的正则公理，就是断言所有的集合都是良基的。.
電腦協助證明
電腦協助證明是一種部份或全部內容以電腦協助之數學證明。.
集合论
集合論（Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。.
逻辑
邏輯（λογική；Logik；logique；logic；意大利语、西班牙语、葡萄牙语: logica），又稱理則、論理、推理、推論，是对有效推論的哲學研究。邏輯被使用在大部份的智能活動中，但主要在哲學、心理、学习、推论统计学、脑科学、數學、語義學、 法律和電腦科學等領域內被視為一門學科。邏輯討論邏輯論證會呈現的一般形式，哪種形式是有效的，以及其中的謬論。 邏輯通常可分為三個部份：歸納推理、溯因推理和演繹推理。 在哲學裡，邏輯被應用在大多數的主要領域之中：形上學/宇宙論、本體論、知識論及倫理學。 在數學裡，邏輯是指形式逻辑和数理邏輯，形式逻辑是研究某個形式語言的有效推論。主要是演繹推理。 在辯證法中也會學習到邏輯。数理邏輯是研究抽象邏輯关系和数学基本的问题。 在心理、脑科学、語義學、 法律裡，是研究人类思想推理的处理。 在学习、推论统计学裡，是研究最大可能的结论。主要是歸納推理、溯因推理。 在電腦科學裡， 是研究各种方法的性质，可能性，和实现在机器上。主要是歸納推理、溯因推理，也有在歸納推理的研究。 从古文明开始（如古印度、中國和古希臘）都有對邏輯進行研究。在西方，亞里斯多德將邏輯建立成一門正式的學科，並在哲學中給予它一個基本的位置。.
逆否命题
#重定向 換質換位律.
选言三段论
选言三段论(Disjuctive Syllogism)，也叫做析取三段论或拒取式（modus tollendo ponens，字面意思：通过否定来肯定）是有效的简单的论证形式： 在逻辑运算符记号中： 这里的\vdash表示逻辑断言。 粗略的，我们可以说一个或另一个是真；接着我们可以说一个不是真；那么我们可以推导出另一个必须是真。这种推理叫做"选言三段论"，就是说，首先它是三段论--三个步骤的论证--其次它包含一个析取式，它简单的意味着一个"或"陈述。"要么P要么Q"是一个析取式；P和Q叫做这个陈述的离析项（disjunct）。 一个例子： 另一个例子：.
Q.E.D.
#重定向 證明完畢.
排中律
在逻辑中，排中律（tertium non datur）声称对于任何命题 P，(P ∨ ¬P) 为真。 符号 '¬' 读作“非”，∨ 读作“或”，∧ 读作“与”。 例如，如果 P 是 则包含式析取 为真。 这不完全同于二值原理，它陈述的是 P 必须要么是真要么是假。它也不同于无矛盾律，它陈述的是 ¬(P ∧ ¬P) 是真。排中律只是说 (P ∨ ¬P) 整体是真。不提及 P 自身可以采用什么真值。在任何情况下，任何二值逻辑的语义都将为 P 和 ¬P 指派对立的真值(就是说，如果 P 是真，则 ¬P 是假)，所以在二值逻辑中排中律会等价于二值原理。但是，对于非二值逻辑或多值逻辑就不能这么说。 特定的逻辑系统可能通过允许多于两个真值(比如：真、假、中；真、假、非真非假、亦真亦假)而拒绝二值原理，但接受排中律。在这种逻辑中，(P ∨ ¬P) 可以为真，而 P 和 ¬P 不被分别指派为对立的真值。 一些逻辑不接受排中律，最著名的是直觉逻辑。文章《二值和有关规律》中详细地讨论了这个问题。 排中律可能被误用，导致排中律的逻辑谬论，这也叫做假两难推理。.
构造性证明
在数学中，构造性证明是证明方法的一种，通过直接或间接构造出具有命题所要求的性质的实例来完成证明。与构造性证明相对的概念是非构造性证明（有时也称为存在性证明或纯粹存在性证明）。后者只证明满足命题要求的物体存在，而不提供具体的实例或构造这样的实例的方法。 Category:证明 Category:数学推理 Category:数理逻辑.
恒等式
数学上，恒等式是指等式中无论其变量如何取值，等号两边永远相等的數學式。恒等式中的等号可以用恒等号（≡）表示。.
李亞普諾夫函數
李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數。其名稱來自俄罗斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李亞普諾夫函數在穩定性理論及控制理論中相當重要。 若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性，此函數稱為李亞普諾夫候選函數（Lyapunov-candidate-function）。不過目前還找不到一般性的方式可建構（或找到）一個系統的李亞普諾夫候選函數，而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。在動態系統中，有時會利用守恆律來建構李亞普諾夫候選函數。 針對自治系統的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時，此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件，不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣，通常會用試誤法（trial and error）來尋找李亞普諾夫函數。.
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树 (图论)
在图论中，树（Tree）是一種無向圖（undirected graph），其中任意两个顶点间存在唯一一條路径。或者说，只要没有回路的连通图就是树。森林是指互相不交并树的集合。树图广泛应用于计算机科学的数据结构中，比如二叉查找树，堆，Trie树以及数据压缩中的霍夫曼树等等。.
歸謬法
歸謬法（Reductio ad absurdum）是一種論證方式，首先假設某命題成立，然後推理出矛盾、不符已知事實、或荒謬難以接受的結果，從而下結論說某命題不成立。 歸謬法與反證法相似，差別在於反證法只限於推理出邏輯上矛盾的結果。.
演绎推理
演绎推理（Deductive Reasoning）在传统的亚里士多德逻辑中是「结论，可从叫做‘前提’的已知事实，‘必然地’得出的推理」。如果前提为真，则结论必然为真。这区别于溯因推理和归纳推理：它们的前提可以预测出高概率的结论，但是不确保结论为真。 “演绎推理”还可以定义为结论在普遍性上不大于前提的推理，或「结论在确定性上，同前提一样」的推理。.
有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
无穷
無窮或無限，來自於拉丁文的「infinitas」，即「沒有邊界」的意思。其數學符號為∞。它在科學、神學、哲學、數學和日常生活中有著不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。 在神學方面，根據書面記載無窮這個符號最早被用於某些秘密宗教，通常代表人類中的神性，而書寫此符號時兩圓的不對等代表人神間的差距，例如神學家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的無限能量是運用在無約束上，而不是運用在無限量上。在哲學方面，無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面，無窮又作為無限，很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。 在數學方面，無窮與下述的主題或概念相關：數學的極限、阿列夫數、集合論中的類、、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中，無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念，而不是一個數。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
数学家
数学家是指一群對數學有深入了解的的人士，將其知識運用於其工作上（特別是解決數學問題）。數學家專注於數、數據、邏輯、集合、結構、空間、變化。 專注於解決純數學（基础数学）領域以外的問題的數學家稱為應用數學家，他們運用他們的特殊數學知識與專業的方法解決許多在科學領域的顯著問題。因為專注於廣泛領域的問題、理論系統、定點結構。應用數學家經常研究與制定數學模型.
数学归纳法
数学归纳法（Mathematical Induction、MI、ID）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。.
数理逻辑
数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。.
整数
整数，是序列中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體Z或\mathbb，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。.
