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44 关系: 定理机器证明，一阶逻辑，乔治·布尔，亚里士多德，伯特兰·罗素，形式系統，形式语言，保罗·寇恩，切消定理，哥德尔完备性定理，哥德尔不完备定理，哲学逻辑，公理化集合论，元数学，勒文海姆-斯科伦定理，算法，編譯器，线性逻辑，组合子逻辑，直觉主义逻辑，相继式演算，證明，计算，计算机科学，证明论，语义学，连续统假设，阿隆佐·邱奇，邏輯的語義，邏輯編程，艾伦·图灵，逻辑，递归可枚举集合，递归论，抽象代数，柯里-霍华德同构，概念文字，模型论，朗伯，戈特弗里德·莱布尼茨，戈特洛布·弗雷格，数学，数学基础，数学原理。
- 數學哲學
- 邏輯
定理机器证明
定理机器证明（Automated theorem proving，簡稱ATP）目前是自动推理（Automated reasoning，簡稱AR）体系中发展最好的部分，它的目的是为使用电子计算机程序来进行数学定理的证明。对于不同的数学逻辑，它能够推论出一个定理是正确的，还是不可证明的，或者错误的。 Category:数学软件.
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一阶逻辑
一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统。 過去一百多年，一階邏輯出現過許多種名稱，包括：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或斷言逻辑（一個較不精確的用詞）。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯有使用量化變數。一個一階邏輯，若具有由一系列量化變數、一個以上有意義的斷言字母及包含了有意義的斷言字母的純公理所組成的特定論域，即是一個一階理論。 一階邏輯和其他高階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言可以有斷言或函數當做引數，且允許斷言量詞或函數量詞的（同時或不同時）存在。在一階邏輯中，斷言通常和集合相關連。在有意義的高階邏輯中，斷言則會被解釋為集合的集合。 存在許多對一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有為真的敘述皆可證）的演繹系統。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。 一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份，因為它是公理系統的標準形式邏輯。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理和包含策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論等，都可以形式化成一階理論。然而，一階定理並沒有能力去完整描述及範疇性地建構如自然數或實數之類無限的概念。這些結構的公理系統可以由如二階邏輯之類更強的邏輯來取得。.
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乔治·布尔
喬治·布爾（George Boole，，英語發音 ），英格兰数学家和哲学家，数理逻辑学先驱。.
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亚里士多德
亞里士多德（Αριστοτέλης，Aristotélēs，），古希腊哲学家，柏拉圖的學生、亚历山大大帝的老師。他的著作包含許多學科，包括了物理學、形而上學、詩歌（包括戲劇）、音乐、生物學、經濟學、動物學、邏輯學、政治、政府、以及倫理學。和柏拉圖、蘇格拉底（柏拉圖的老師）一起被譽為西方哲學的奠基者。亞里士多德的著作是西方哲學的第一個廣泛系統，包含道德、美學、邏輯和科學、政治和形而上学。 亞里士多德关于物理學的思想深刻地塑造了中世紀的學術思想，其影響力延伸到了文藝復興時期，雖然最終被牛頓物理學取代。在動物科學方面，他的一些意見仅在19世纪被确信是準確的。他的学术领域还包括早期关于形式逻辑理论的研究，最终这些研究在19世纪被合并到了现代形式逻辑理论裡。在形而上學方面，亞里士多德的哲學和神學思想在伊斯蘭教和猶太教的傳統上產生了深遠影響，在中世紀，它繼續影響着基督教神學，尤其是天主教教會的學術傳統。他的倫理學，虽然自始至终都具有深刻的影响，后来也随着新兴現代美德倫理的到来获得了新生。今天亞里士多德的哲學仍然活躍在學術研究的各个方面。在經濟學方面，亞里士多德對於經濟活動的分類與看法持續影響到中世紀與重農主義，直到被亞當斯密的古典經濟學派取代為止。雖然亞里士多德寫了許多論文和優雅的對話（西塞羅描述他的文學風格為“金河”），但是大多數人認為他的著作现已失散，只有大約三分之一的原创作品保存了下來。.
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伯特兰·罗素
伯特兰·亚瑟·威廉·罗素，第三代羅素伯爵（Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell，），OM，FRS，英国哲学家、数学家和逻辑学家，致力于哲学的大众化、普及化。 在數學哲學上採取弗雷格的邏輯主義立場，認為數學可以化約到邏輯，哲學可以像邏輯一樣形式系統化，主張逻辑原子論。 1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“西歐思想，言論自由最勇敢的君子，卓越的活力，勇氣，智慧與感受性，代表了諾貝爾獎的原意和精神”。 1921年罗素曾於中国讲学，对中国学术界有相当影响。.
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形式系統
在邏輯與數學中，一個形式系統（Formal system）是由兩個部分組成的，一個形式语言加上一個推理規則或轉換規則的集合。一個形式系統也許是純粹抽象地制定出來，只是為了研究其自身。另一方面，也可能是為了描述真實現象或客觀現實的領域而設計的。.
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形式语言
在数学、逻辑和计算机科学中，形式语言（Formal language）是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。 如语言学中语言一样，形式语言一般有两个方面: 语法和语义。专门研究语言的语法的数学和计算机科学分支叫做形式语言理论，它只研究语言的语法而不致力于它的语义。在形式语言理论中，形式语言是一个字母表上的某些有限长字符串的集合。一个形式语言可以包含无限多个字符串。.
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保罗·寇恩
保罗·约瑟夫·寇恩（Paul Joseph Cohen，) ，美国数学家，他证明策梅洛-弗兰克尔公理系统加上选择公理 (ZFC) 不能反驳连续统假设 (CH) 的否命题，而ZF不能反驳选择公理 (AC) 的否命题。这一划时代的工作与哥德尔在1930年代的工作一起，证明了CH和AC分别独立于ZFC和ZF。寇恩在证明中创造了力迫法，如今力迫法已经成为公理集合论的一项基本技术。寇恩凭借连续统假设的独立性证明于1966年获得菲尔兹奖章。.
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切消定理
切消定理是确立相继式演算重要性的主要结果。它最初由格哈德·根岑在他的划时代论文《逻辑演绎研究》对分别形式化直觉逻辑和经典逻辑的系统LJ和LK做的证明。切削定理声称在相继式演算中，拥有利用了切规则的证明的任何判断，也拥有无切证明，就是说，不利用切规则的证明。 相继式是与多个句子有关的逻辑表达式，形式为"A, B, C, \ldots \vdash N, O, P"，它可以被读做"A, B, C, \ldots证明N, O, P"，并且（按Gentzen的注释）应当被理解为等价于真值函数"如果（A & B & C \ldots）那么（N or O or P）"。注意LHS（左手端）是合取（and）而RHS（右手端）是析取（or）。LHS可以有任意多个公式；在LHS为空的时候，RHS是重言式。在LK中，RHS也可以有任意数目的公式--如果没有，则LHS是个矛盾，而在LJ中，RHS只能没有或有一个公式：在右紧缩规则前面，允许RHS有多于一个公式，等价于容许排中律。注意，相继式演算是相当有表达力的框架，已经为直觉逻辑提议了允许RHS有多个公式的相继式演算，而来自Jean-Yves Girard的逻辑LC得到了RHS最多有一个公式的经典逻辑的更加自然的形式化；逻辑和结构规则的相互作用是它的关键。 "切"是在相继式演算的正规陈述中的一个规则，并等价于在其他证明论中的规则变体，给出 和 你可以推出 就是说，在推论关系中"切掉"公式"C"的出现。 切消定理声称（对于一个给定的系统）使用切规则的任何相继式证明也可以不使用这个规则来证明。如果我们认为(D, E, \ldots)是一个定理，则切消简单的声称用来证明这个定理的引理C可以被内嵌（inline）。在这个定理的证明提及引理C的时候，我们可以把它代换为C的证明。因此，切规则是可接纳的。 对于用相继式公式化的系统，分析性证明是不使用切规则的证明。这种证明典型的会很长，当然没有必要这么做。在散文《不要消除切呀!》中，George Boolos展示了可以使用切在一页中完成的推导，而它的分析性证明要耗尽宇宙的寿命来完成。 这个定理有很多丰富的推论。一旦一个系统被证明有切消定理，这个系统通常立即就是一致的。这个系统通常也有子公式性质，这是达成证明论语义的重要性质。切削是证明插值定理的最强力工具。基于归结原理的完成证明查找的可能性，导致Prolog编程语言的本质洞察，依赖于在适当的系统中接纳切规则。.
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哥德尔完备性定理
哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语形之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。 更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论T和在这个理论中的任何句子S，有一个S的自T的形式演绎，当且仅当S被T的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。 完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。.
哥德尔不完备定理
在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。简单地说，第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。.
哲学逻辑
哲学逻辑是对逻辑更特定于哲学的方面的研究。这个术语相对于数理逻辑，因为数理逻辑开发于19世纪晚期，已经包含了传统上一般由逻辑学处理的大多数主题。它关心的是尽可能的以最基础的方式刻画如推论、理性思维、真理和思维内容这样的概念，并尝试使用现代形式逻辑建模它们。 它要谈论的概念包括引用、论断、同一、真理、否定、量化、存在性、必然性、定义和蕴涵。 哲学逻辑並不关心与思维、情感、想象和类似事物相关的心理过程。它只关心那些有能力为真和假的实体 — 思维、句子、命题，並把這些概念應用在心灵哲学和语言哲学上。弗雷格被认为是现代哲学逻辑的缔造者。.
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公理化集合论
在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。.
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元数学
元數學（Metamathematics），又譯為超數學，使用數學技術來研究數學本身的一門學科。一般来说，元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查德悖论。 比如说，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。 许多关于数学基础与数学哲学的论说都涉及元数学的概念，它们往往不能被当作我们通常所说的“问题”来处理。元数学的基本假设是：数学的内容可以由一个形式系统获得，比如一个序理论或一个公理化集合论。 元数学与数理逻辑休戚相关，因而这两者的发展也大同小异。元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大卫·希尔伯特首先引进了带有正则性的“元数学”（metamathematics with regularity）这一说法（见希尔伯特计划）。这也就是现在所说的证明论。另一个重要的现代分支是模型论。这一领域的其他重要人物有：伯特兰·罗素，斯科尔姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克莱尼，蒯因，贝纳瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。.
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勒文海姆-斯科伦定理
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算法
-- 算法（algorithm），在數學（算學）和電腦科學之中，為任何良定义的具體計算步驟的一个序列，常用於計算、和自動推理。精確而言，算法是一個表示爲有限長列表的。算法應包含清晰定義的指令用於計算函數。 算法中的指令描述的是一個計算，當其時能從一個初始狀態和初始輸入（可能爲空）開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化算法在内的一些算法，包含了一些隨機輸入。 形式化算法的概念部分源自尝试解决希尔伯特提出的判定问题，並在其后尝试定义或者中成形。这些尝试包括库尔特·哥德尔、雅克·埃尔布朗和斯蒂芬·科尔·克莱尼分别于1930年、1934年和1935年提出的遞歸函數，阿隆佐·邱奇於1936年提出的λ演算，1936年的Formulation 1和艾倫·圖靈1937年提出的圖靈機。即使在當前，依然常有直覺想法難以定義爲形式化算法的情況。.
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編譯器
编译器（compiler），是一種電腦程式，它會將用某種程式語言寫成的原始碼（原始語言），轉換成另一種程式語言（目標語言）。 它主要的目的是將便于人编写、阅读、维护的高级计算机语言所寫作的原始碼程式，翻译为计算机能解读、运行的低阶机器语言的程序，也就是執行檔。编译器将原始程序（source program）作为输入，翻译产生使用目标语言（target language）的等价程序。源代码一般为高阶语言（High-level language），如Pascal、C、C++、C# 、Java等，而目标语言则是汇编语言或目标机器的目标代码（Object code），有时也称作机器代码（Machine code）。 一个现代编译器的主要工作流程如下： 源代码（source code）→ 预处理器（preprocessor）→ 编译器（compiler）→ 汇编程序（assembler）→ 目标代码（object code）→ 链接器（Linker）→ 執行檔（executables）， 最後打包好的檔案就可以給電腦去判讀執行了。.
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线性逻辑
在数理逻辑中，线性逻辑是拒绝“弱化”和“收缩”的结构规则的一种亚结构逻辑。对此解释是“假设是资源”:在证明中所有假设必须被消费“精确一次”。这区别于平常的逻辑比如经典逻辑或直觉逻辑，那里统治判断是“真理”，它可以按需要被自由的使用多次。例如，从命题A和A ⇒ B能按如下步骤得出结果A ∧ B.
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组合子逻辑
组合子逻辑是Moses Schönfinkel和哈斯凱爾·加里介入的一种符号系统，用来消除数理逻辑中对变量的需要。它最近在计算机科学中被用做计算的理论模型和设计函数式编程语言的基础。它所基于的组合子是只使用函数应用或早先定义的组合子来定义从它们的参数得出的结果的高阶函数。.
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直觉主义逻辑
觉主义逻辑或构造性逻辑是最初由阿蘭德·海廷开发的为鲁伊兹·布劳威尔的数学直觉主义计划提供形式基础的符号逻辑。这个系统保持跨越生成导出命题的变换的证实性而不是真理性。从实用的观点，也有使用直觉逻辑的强烈动机，因为它有存在性质，这使它还适合其他形式的数学构造主义。.
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相继式演算
在证明论和数理逻辑中，相继式演算（又译矢列演算、矢列式演算）是众所周知的一阶逻辑（和作为它的特殊情况的命题逻辑）的演绎系统。这个系统也叫做LK系统，用以区别于后来建立的有时也叫做相继式演算的类似风格的各种其他系统。另一个给这种系统的术语是Gentzen系统。 相继式演算LK由Gerhard Gentzen介入为研究自然演绎的工具。它已经变成构造逻辑推导的非常有用的演算。它的名字得来自德语的Logischer Kalkül，意思是"逻辑演算"。相继式演算是关于这个主题的很多研究所选择的方法。.
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證明
在數學上，證明是在一個特定的公理系統中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推導出某些命題的過程。比起证据，数学证明一般依靠演绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。這樣推導出來的命題也叫做該系統中的定理。 數學證明建立在逻辑之上，但通常會包含若干程度的自然語言，因此可能會產生一些含糊的部分。實際上，用文字形式寫成的數學證明，在大多數情況都可以視為非形式邏輯的應用。在證明論的範疇內，則考慮那些用純形式化的语言写出的證明。這個区别导致了对過往到現在的數學实践、和的大部分检验。數學哲學就關注語言和邏輯在數學證明中的角色，和作為語言的數學。.
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计算
計算（Calculation）是一種將「單一或多個的輸入值」轉換為「單一或多個的結果」的一種思考過程。 計算的定義有許多種使用方式，有相當精確的定義，例如使用各種算法進行的「算术」，也有較為抽象的定義，例如在一場競爭中「策略的計算」或是「計算」兩人之間關係的成功機率。 將7乘以8（7x8）就是一種簡單的算術。 利用布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）來算出財務評估中的公平價格（fair price）就是一種複雜的算術。 從投票意向計算評估出的選舉結果（民意調查）也包含了某種算術，但是提供的結果是「各種可能性的範圍」而不是單一的正確答案。.
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计算机科学
计算机科学用于解决信息与计算的理论基础，以及实现和应用它们的实用技术。 计算机科学（computer science，有时缩写为CS）是系统性研究信息与计算的理论基础以及它们在计算机系统中如何与应用的实用技术的学科。 它通常被形容为对那些创造、描述以及转换信息的算法处理的系统研究。计算机科学包含很多分支领域；有些强调特定结果的计算，比如计算机图形学；而有些是探討计算问题的性质，比如计算复杂性理论；还有一些领域專注于怎样实现计算，比如程式語言理論是研究描述计算的方法，而程式设计是应用特定的程式語言解决特定的计算问题，人机交互则是專注于怎样使计算机和计算变得有用、好用，以及随时随地为人所用。 有时公众会误以为计算机科学就是解决计算机问题的事业（比如信息技术），或者只是与使用计算机的经验有关，如玩游戏、上网或者文字处理。其实计算机科学所关注的，不仅仅是去理解实现类似游戏、浏览器这些软件的程序的性质，更要通过现有的知识创造新的程序或者改进已有的程序。 尽管计算机科学（computer science）的名字里包含计算机这几个字，但实际上计算机科学相当数量的领域都不涉及计算机本身的研究。因此，一些新的名字被提议出来。某些重点大学的院系倾向于术语计算科学（computing science），以精确强调两者之间的不同。丹麦科学家Peter Naur建议使用术语"datalogy"，以反映这一事实，即科学学科是围绕着数据和数据处理，而不一定要涉及计算机。第一个使用这个术语的科学机构是哥本哈根大学Datalogy学院，该学院成立于1969年，Peter Naur便是第一任教授。这个术语主要被用于北欧国家。同时，在计算技术发展初期，《ACM通讯》建议了一些针对计算领域从业人员的术语：turingineer，turologist，flow-charts-man，applied meta-mathematician及applied epistemologist。 三个月后在同样的期刊上，comptologist被提出，第二年又变成了hypologist。 术语computics也曾经被提议过。在欧洲大陆，起源于信息（information）和数学或者自动（automatic）的名字比起源于计算机或者计算（computation）更常见，如informatique（法语），Informatik（德语），informatika（斯拉夫语族）。 著名计算机科学家Edsger Dijkstra曾经指出：“计算机科学并不只是关于计算机，就像天文学并不只是关于望远镜一样。”（"Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes."）设计、部署计算机和计算机系统通常被认为是非计算机科学学科的领域。例如，研究计算机硬件被看作是计算机工程的一部分，而对于商业计算机系统的研究和部署被称为信息技术或者信息系统。然而，现如今也越来越多地融合了各类计算机相关学科的思想。计算机科学研究也经常与其它学科交叉，比如心理学，认知科学，语言学，数学，物理学，统计学和经济学。 计算机科学被认为比其它科学学科与数学的联系更加密切，一些观察者说计算就是一门数学科学。 早期计算机科学受数学研究成果的影响很大，如Kurt Gödel和Alan Turing，这两个领域在某些学科，例如数理逻辑、范畴论、域理论和代数，也不断有有益的思想交流。.
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证明论
证明论是数理逻辑的一个分支，它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的数据结构来表达，例如链表，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是语义学的模型论形相反。和模型论，公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为数学基础的四大支柱之一。 证明论也可视为哲学逻辑的分支，其主要兴趣在于证明论语义学的思想，该思想依赖于结构证明论的技术型想法才可行。.
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语义学
语义学（Semantics，La sémantique），也作「语意学」，是一个涉及到语言学、逻辑学、计算机科学、自然语言处理、认知科学、心理学等诸多领域的一个术语。虽然各个学科之间对语义学的研究有一定的共同性，但是具体的研究方法和内容大相径庭。语义学的研究对象是自然语言的意义，这里的自然语言可以是词汇，句子，篇章等等不同级别的语言单位。但是各个领域里对语言的意义的研究目的不同：.
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连续统假设
在數學中，連續統假設（Kontinuumshypothese；Continuum hypothesis，簡稱CH）是一個猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一題，由康托尔提出，關於無窮集的可能大小。其為： 康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設，就是说，在无限集中，比自然数集基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而連續統就是實數集的一個舊稱。 更加形式地说，自然数集的基数为\aleph_0（讀作「阿列夫零」）。而连续统假设的观点认为实数集的基数为\aleph_1（讀作「阿列夫壹」）。于是，康托尔定义了绝对无限。 等價地，整數集的基数是\aleph_0而實數的基数是2^，連續統假設指出不存在一個集合S使得 \aleph_0 假設選擇公理是對的，那就會有一個最小的基數\aleph_1大於\aleph_0，而連續統假設也就等價於以下的等式： 連續統假設有個更廣義的形式，叫作廣義連續統假設（GCH），其命題為： 庫爾特·哥德尔在1940年用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性（無法以ZFC證明為誤），保羅·柯恩在1963年用力迫法证明了连续统假设不能由ZFC推导。也就是说连续统假设獨立於ZFC。.
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阿隆佐·邱奇
阿隆佐·邱奇（Alonzo Church，）是美国数学家，1936年发表可计算函数的第一份精确定义，对算法理论的系统发展做出巨大贡献。邱奇在普林斯顿大学受教并工作四十年，曾任数学与哲学教授。1967年迁往加利福尼亚大学洛杉矶分校。 解决算法问题包括构造一个能解决某一指定集及其他相关集的算法，如果该算法无法构建，则表明该问题是不可解的。证明此种问题不可解性的定理是算法理论中的一大突破，邱奇的算法即为该类算法的首例。邱奇证明了基本几何问题的算法不可解性。同时证明了一阶逻辑中真命题全集的解法问题是不可解的。.
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邏輯的語義
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邏輯編程
邏輯編程（逻辑程--序设计）是種編程典範，它設定答案須符合的規則來解決問題，而非設定步驟來解決問題。過程是 不同的方法，可以看Inductive logic programming。 邏輯編程的要點是將正規的邏輯風格帶入電腦程式設計之中。數學家和哲學家發現邏輯是有效的理論分析工具。很多問題可以自然地表示成一個理論。說需要解答一個問題，通常與解答一個新的假設是否跟現在的理論無衝突等價。邏輯提供了一個證明問題是真還是假的方法。建立證明的方法是人所皆知的，故邏輯是解答問題的可靠方法。邏輯編程系統則自動化了這個程序。人工智能在邏輯編程的發展中發揮了重要的影響。 猴子和香蕉問題是邏輯編程社群的著名問題。電腦須自行找出令猴子接觸香蕉的可行方法，取代程式設計師指定猴子接觸香蕉的路徑和方法。 邏輯編程建立了描述一個問題裏的世界的邏輯模型。邏輯編程的目標是對它的模型建立新的陳述。世界上知識不斷澎漲。傳統來說，我們會將一個問題陳述成單一的假設。邏輯編程的程式透過證明這個假設在模型裏是否為真來解決問題。 一些經常用到邏輯編程工具的範疇：.
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艾伦·图灵
艾伦·麦席森·图灵，OBE，FRS（Alan Mathison Turing，又译阿兰·图灵，Turing也常翻譯成--林或者杜林，）是英国計算機科學家、数学家、邏輯學家、密码分析学家和理论生物学家，他被视为计算机科学與人工智慧之父。 在第二次世界大战期间，图灵曾在“政府密码学校”（GC&CS，今政府通信总部）工作。政府密码学校位于布萊切利園，是英国顶级机密情报机构。图灵在这里从事密码破译工作，有一段时间，他领导了（Hut 8）小组，负责德国海军密码分析。 期间他设计了一些加速破译德国密码的技术，包括改进波兰战前研制的机器，一种可以找到恩尼格玛密码机设置的机电机器。 图灵在破译截获的编码信息方面发挥了关键作用，使盟军能够在包括大西洋战役在内的许多重要交战中击败纳粹，并因此帮助赢得了战争。 图灵对于人工智能的发展有诸多贡献，例如图灵曾写过一篇名为《》的论文，提問「机器会思考吗？」（Can Machines Think?），作為一种用于判定机器是否具有智能的测试方法，即图灵测试。至今，每年都有试验的比赛。此外，图灵提出的著名的图灵机模型为现代计算机的逻辑工作方式奠定了基础。 图灵是著名的男同性恋者，并因为其性倾向而遭到当时的英国政府迫害，职业生涯尽毁。他亦患有花粉过敏症。 图灵还是一位世界级的长跑运动员。他的马拉松最好成绩是2小時46分03秒（手動計時），比1948年奥林匹克运动会金牌成绩慢11分钟。1948年的一次跨国赛跑比赛中，他跑赢了同年奥运会银牌得主。.
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逻辑
邏輯（λογική；Logik；logique；logic；意大利语、西班牙语、葡萄牙语: logica），又稱理則、論理、推理、推論，是对有效推論的哲學研究。邏輯被使用在大部份的智能活動中，但主要在哲學、心理、学习、推论统计学、脑科学、數學、語義學、 法律和電腦科學等領域內被視為一門學科。邏輯討論邏輯論證會呈現的一般形式，哪種形式是有效的，以及其中的謬論。 邏輯通常可分為三個部份：歸納推理、溯因推理和演繹推理。 在哲學裡，邏輯被應用在大多數的主要領域之中：形上學/宇宙論、本體論、知識論及倫理學。 在數學裡，邏輯是指形式逻辑和数理邏輯，形式逻辑是研究某個形式語言的有效推論。主要是演繹推理。 在辯證法中也會學習到邏輯。数理邏輯是研究抽象邏輯关系和数学基本的问题。 在心理、脑科学、語義學、 法律裡，是研究人类思想推理的处理。 在学习、推论统计学裡，是研究最大可能的结论。主要是歸納推理、溯因推理。 在電腦科學裡， 是研究各种方法的性质，可能性，和实现在机器上。主要是歸納推理、溯因推理，也有在歸納推理的研究。 从古文明开始（如古印度、中國和古希臘）都有對邏輯進行研究。在西方，亞里斯多德將邏輯建立成一門正式的學科，並在哲學中給予它一個基本的位置。.
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递归可枚举集合
递归可枚举集合（Recursively enumerable set）是可计算性理论或更狭义的递归论中的一个概念。可数集合S被称为是递归可枚举、计算可枚举的、半可判定的或可证明的，如果.
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递归论
递归论或可计算性理论，是一个数理逻辑分支。它起源于可计算函数和图灵度的研究。它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。在这些领域中，这门理论同证明论和能行描述集合论（effective descriptive set theory）有所重叠。 数理逻辑中的可计算性理论家经常研究相对可计算性、可归约性概念和程度结构的理论。相对于计算机科学家，他们研究次递归层次，可行的计算和公用于可计算性理论研究的形式语言。在这两个社区之间有着相当大的知识和方法上的重叠，而没有明显的界限。.
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抽象代数
抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、-zh-hans:域;zh-hant:體-、模、向量空间、格與域代数。「抽象代數」一詞出現於20世紀初，作為與其他代數領域相區別之學科。 代數結構與其相關之同態，構成數學範疇。範疇論是用來分析與比較不同代數結構的強大形式工具。 泛代數是一門與抽象代數有關之學科，研究將各類代數視為整體所會有的性質與理論。例如，泛代數研究群的整體理論，而不會研究特定的群。.
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柯里-霍华德同构
柯里-霍華德对应是在计算机程序和数学证明之间的紧密联系；这种对应也叫做柯里-霍華德同构、公式为类型对应或命题为类型对应。这是对形式逻辑系统和公式计算（computational calculus）之间符号的相似性的推广。它被认为是由美国数学家哈斯凯尔·加里和逻辑学家William Alvin Howard独立发现的。.
概念文字
《概念文字》是1879年出版的戈特洛布·弗雷格写的一本关于逻辑学的书。书名《Begriffsschrift》通常翻译成《Concept Writing》或《Concept Notation》；书的完整标题把它标识为《模仿算术的纯思维的形式语言》。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对“演算推论器”的渴望。 弗雷格定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。“概念文字”是书和其中定义的演算二者的名字。.
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模型论
数学上，模型论(Model theory)是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。 比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和（或）函数，例如。若我们在该语言中问"∃ y (y × y.
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朗伯
#重定向 约翰·海因里希·朗伯.
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戈特弗里德·莱布尼茨
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 或 ；Godefroi Guillaume Leibnitz，，），德意志哲学家、数学家，歷史上少見的通才，獲誉为十七世纪的亚里士多德。他本人是律師，經常往返於各大城鎮；他許多的公式都是在顛簸的馬車上完成的，他也自稱具有男爵的貴族身份。 莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发明了微积分，而且他所使用的微積分的数学符号被更廣泛的使用，萊布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。莱布尼茨还对二进制的发展做出了贡献。 在哲学上，莱布尼茨的乐观主义最为著名；他认为，“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个”。他和笛卡尔、巴鲁赫·斯宾诺莎被认为是十七世纪三位最伟大的理性主义哲学家。莱布尼茨在哲学方面的工作在预见了现代逻辑学和分析哲学诞生的同时，也显然深受经院哲学传统的影响，更多地应用第一性原理或先验定义，而不是实验证据来推导以得到结论。 莱布尼茨对物理学和技术的发展也做出了重大贡献，并且提出了一些后来涉及广泛——包括生物学、医学、地质学、概率论、心理学、语言学和信息科学——的概念。莱布尼茨在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学诸多方向都留下了著作。 莱布尼茨对如此繁多的学科方向的贡献分散在各种学术期刊、成千上万封信件、和未发表的手稿中，其中約四成為拉丁文、約三成為法文、約一成五為德文。截至2010年，莱布尼茨的所有作品还没有收集完全。 2007年，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆暨下薩克森州州立圖書舘的莱布尼茨手稿藏品被收入联合国教科文组织编写的世界记忆项目。 由於莱布尼茨曾在汉诺威生活和工作了近四十年，并且在汉诺威去世，为了纪念他和他的学术成就，2006年7月1日，也就是萊布尼茨360周年诞辰之际，汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。.
戈特洛布·弗雷格
弗里德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格（德语：Friedrich Ludwig Gottlob Frege，；），著名德国数学家、逻辑学家和哲学家。是数理逻辑和分析哲学的奠基人。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
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数学基础
数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为真? 目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上，幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下，所謂数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。 这个形式化的方法不能解释一些问题：为什么我们應沿用现行的公理而不是別的，为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的，为什么"真"数学命题（例如，算術領域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。 上述的形式化真实性也可能完全没有意义：有可能所有命题，包括自相矛盾的命题，都可以从集合论公理导出。而且，作为歌德尔第二不完备定理的一个结果，我们永远無法排除這種可能性。 在數學實在論（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下，自然定律和数学定律有類似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？ 一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注，並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个，把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，.
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数学原理
《数学原理》（Principia Mathematica）是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍，书籍共分三卷，分别出版于1910年，1912年，1913年。 它通常缩写為PM (Principia Mathematica)，企图表述所有数学真理在一组数理逻辑內的公理和推理规则下，原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目對於数学史和哲学史都是非常重要的，然而在1931年，哥德尔不完备性定理证明對於数学原理或其他任何類似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到; 也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则來建立的数学系統，若非不一致，便是不完備 (即存在一些数学真理不能由此系統推导出來)。 数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作,但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合（罗素悖论）。数学原理排除无限制创建任意的集合來试图避免这个问题,它以不同“类型”的集合來取代一般的集合,一组特定类型的集合只能包含套較低的类型。然而在当代数学,會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系,來避免如罗素的笨拙方式,。 现代图书馆它排在二十世纪英文非小说书籍中的第23名。.
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另见
數學哲學
邏輯
- 不成文規定
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- 自指
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