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39 关系: 力迫，偏序关系，句子，可靠性定理，可數集，复数，实数，个体，一阶逻辑，一致性 (邏輯)，平方根，二元关系，库尔特·哥德尔，代数，代数几何，哥德尔完备性定理，哥德尔不完备定理，全集，公理，关系，关系语义，元数，勒文海姆-斯科伦定理，紧致性定理，结构 (数理逻辑)，真理的语义理论，飽和模型，高阶逻辑，论域，证明论，谓词变量，超实数，运算，集合论，递归论，T-模式，泛函谓词，有理数，数学。
力迫
在数学学科集合论中，力迫是 保罗·寇恩（Paul J. Cohen）发明的一种技术，用来证明与策梅洛-弗兰克尔公理有关的一致性和独立性结果。它在1962年首次被用来证明连续统假设和选择公理对策梅洛-弗兰克尔集合论的独立性。实际上在寇恩正式引入力迫法前，它已经被广泛地应用于递归论中。寇恩的力迫法最初是建立在分歧分层（ramified hierarchy）上，难于理解。1960年代通过索罗维（Solovay）与斯科特（Scott）等人的努力力迫法被相当程度的重做和简化。 力迫法大致是一种扩张模型的方法。给定一个模型M以及模型内一个偏序(P,\leq)，通过构造通集（generic）G\subseteq P来实现模型的扩张。因为通集不在M内，所以这是一个真正的扩张。记为M。它有以下性质：.
偏序关系
偏序集合（Partially ordered set，简写poset）是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。 这个理論將排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。.
句子
句子或称语句，指构成语言的基本单位，句子带有语调，大部分语言的句子带有限定动词，按照一定的语法规则组织，具有完整的意义。 按照语言的语法规则，每个句子至少包含主语、谓语和宾语等构成句子的成分（句子成分）。分类上，句子既可按照结构分，也可以按照使用目的分类。句子的停顿、句子与句子则用标点符号连接。.
可靠性定理
可靠性定理（或健全性）是数理逻辑的最基本结果。它们有关于某个形式逻辑语言与这个语言的形式演绎系统的特定语义理论。可靠性定理有两种主要变体：弱可靠性的和强可靠性的。“强”与“弱”的意义在于，强可靠性考虑句子的任意集合，而与弱可靠性有关的句子的空集是这种集合之一。大多数但不是全部演绎系统，强可靠性和弱可靠性都成立。.
可數集
在数学上，可数集，或称可列集、可数无穷集合，是与自然数集的某个子集具有相同基數（等势）的集合。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 “可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。例子参见两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。 为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，参见.
复数
#重定向 复数 (数学).
实数
实数，是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、81/7；后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：.
个体
個體（individual），一般指一個人或是一個群體中的特定主體，指人時也稱個人。個體性（individuality，或selfhood），又稱個性，則是指能夠成為一個個體的特性或是狀態。 在生物學中，每一隻動物、一棵植物、甚至一個能以單細胞生存的生命形式都可稱為單一個體。 統計學、形而上學中，個體又被視為“单独存在的”。 Category:形上學.
一阶逻辑
一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统。 過去一百多年，一階邏輯出現過許多種名稱，包括：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或斷言逻辑（一個較不精確的用詞）。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯有使用量化變數。一個一階邏輯，若具有由一系列量化變數、一個以上有意義的斷言字母及包含了有意義的斷言字母的純公理所組成的特定論域，即是一個一階理論。 一階邏輯和其他高階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言可以有斷言或函數當做引數，且允許斷言量詞或函數量詞的（同時或不同時）存在。在一階邏輯中，斷言通常和集合相關連。在有意義的高階邏輯中，斷言則會被解釋為集合的集合。 存在許多對一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有為真的敘述皆可證）的演繹系統。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。 一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份，因為它是公理系統的標準形式邏輯。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理和包含策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論等，都可以形式化成一階理論。然而，一階定理並沒有能力去完整描述及範疇性地建構如自然數或實數之類無限的概念。這些結構的公理系統可以由如二階邏輯之類更強的邏輯來取得。.
一致性 (邏輯)
邏輯上，一致性（consistency）、相容性、或自洽性，是指一個形式系統中不蘊涵矛盾。 所謂的矛盾有二種解讀方式：.
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平方根
在數學中，一個數x的平方根y指的是滿足y^2.
二元关系
数学上，二元关系（Binary relation，或简称关系）用於讨论两种物件的连系。诸如算术中的「大於」及「等於」、几何学中的「相似」或集合论中的「为……之元素」、「为……之子集」。.
库尔特·哥德尔
库尔特·弗雷德里希·哥德尔（Kurt Friedrich Gödel，），出生於奧匈帝國的數學家、邏輯學家和哲學家，维也纳学派（维也纳小组）的成员。其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。.
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代数
代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、關係、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。 初等代数一般在中學時讲授，介紹代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解變數的概念和如何建立多项式并找出它们的根。 代数的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、环、域、模、線性空間等。并且,代数是几何的总称，代数是还可以用任何字母代替的。 e.g.2-4+6-8+10-12+…-96+98-100+102.
代数几何
代数几何是数学的一个分支。 经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。 代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。 进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：.
哥德尔完备性定理
哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。 上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验（比如通过计算机或手工）。 如果一个公式在这个公式的语言的所有模型中都为真，它就被称为“逻辑上有效”的。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。 在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语形之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。 更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它声称对于任何一阶理论T和在这个理论中的任何句子S，有一个S的自T的形式演绎，当且仅当S被T的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。 完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中有着等价的可证明性。.
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哥德尔不完备定理
在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。简单地说，第一条定理指出： 这是形式逻辑中的定理，容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上并不是。具体实例见对哥德尔定理的误解 把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了第二条定理。该定理指出： 这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特提出，像实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性都可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。.
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全集
数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（若是集合，则为全集）大约是这样一个类，它（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合。.
公理
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關係毕竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如「a+b.
关系
关系的基本含义为事物之间相互作用、相互影响的状态，特定环境下可以指：.
关系语义
Kripke 语义(也叫做关系语义或框架语义，并经常混淆于可能世界语义)是模态逻辑系统的形式语义，于 1950 年代晚期和 1960 年代早期由索尔·阿伦·克里普克建立。它后来为另一个非经典逻辑，最重要的直觉逻辑所接受。Kripke 语义的发现是非经典逻辑开发中重大突破，因为这种逻辑的模型论在 Kripke 之前实际上是不存在的。.
元数
在邏輯、數學及電腦科學裡，函數或運算的元數是指所需的參數或運算元的數量。關係的元數則是指其對應之笛卡兒積的維度。 元數主要用在下面類型的函數之中：f: V → S，其中的V ⊂ Sn，且S是某個集合。此類函數通常稱為在S上的「運算」，且稱n是這個運算的元數。.
勒文海姆-斯科伦定理
#重定向 勒文海姆–斯科伦定理.
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紧致性定理
紧致性定理是符号逻辑和模型论中的基本事实，它断言一阶句子的（可能无限的）集合是可满足的（就是说有一个模型），当且仅当它的所有有限子集是可满足的。 命题演算的紧致性定理是吉洪诺夫定理（它声称紧致空间的积是紧致的）应用于紧致Stone空间的结果。.
结构 (数理逻辑)
在数学学科模型论中，语言 \mathcal 的结构 \mathfrak(也叫做 '\mathcal-结构'，并通常写为哥特体大写)是一个有序对，它的第一个成员是论域或全集 \mathit \ (对应于可能带有定义在其上的关系和函数的集合，并通常写为相应于结构名字的罗马体大写)，它的第二个成员是一个释义 \mathcal，就是 \mathcal 的一个偏函数，它完全定义在 \mathcal 的非逻辑符号之上，使得 \mathcal 的常量符号对应于 \mathit \ 上的元素，如果有的话；\mathcal 的函数符号对应于 \mathit \ 上的函数，如果有的话；而 \mathcal 的关系符号对应于 \mathit \ 上的关系；如果有的话。.
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真理的语义理论
真理的语义理论声称对某个命题是真的的任何断言，可以只作为形式上的需要而做出来，不管表达命题自身用了什么语言。 真理的语义概念，以不同的方式同符合和紧缩的概念有关，是由波兰逻辑学家Alfred Tarski在1930年代出版的著作引发的。Tarski在《On the Concept of Truth in Formal Languages》中尝试公式化一种新的真理的理论来解决说谎者悖论。在其中他做出了很多数学发现，最著名的是Tarski不可定义性定理，它类似于哥德尔不完全定理。粗略的说，它声称一个给定语言的句子的真理概念不能在这个语言内被一致性的定义出来。.
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飽和模型
在模型論中，飽和模型可以大致描述為一個實現夠小的型的模型。.
高阶逻辑
在数学中，高阶逻辑在很多方面有别于一阶逻辑。 其一是变量类型出现在量化中；粗略的说，一阶逻辑中禁止量化谓词。允许这么做的系统请参见二阶逻辑。 高阶逻辑区别于一阶逻辑的其他方式是在构造中允许下层的类型论。高阶谓词是接受其他谓词作为参数的谓词。一般的，阶为n的高阶谓词接受一个或多个（n − 1）阶的谓词作为参数，这里的n > 1。对高阶函数类似的评述也成立。 高阶逻辑更加富有表达力，但是它们的性质，特别是有关模型论的，使它们对很多应用不能表现良好。作为哥德尔的结论，经典高阶逻辑不容许（递归的公理化的）可靠的和完备的证明演算；这个缺陷可以通过使用Henkin模型来修补。 高阶逻辑的一个实例是构造演算。.
论域
在形式科學裡，論域（或稱做論述全集），是指在某些系統化的論述裡的一些令人感興趣的變數之上，由其中的實體所組成的集合。論域通常被視為預備知識，所以不需要每一次都指出相關變數的範圍來。 例如，在一階邏輯的解釋中，論域是指由量詞能指涉到的個體所組成的集合。在一個解釋裡，論域可以是實數的集合；在另一個解釋裡，則可能是自然數的集合。若沒有指定任何論域，則如∀x (x2 ≠ 2) 之類命題的真偽是不確定的。若論域是實數的集合，此命題即是假的，因為有x.
证明论
证明论是数理逻辑的一个分支，它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的数据结构来表达，例如链表，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是语义学的模型论形相反。和模型论，公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为数学基础的四大支柱之一。 证明论也可视为哲学逻辑的分支，其主要兴趣在于证明论语义学的思想，该思想依赖于结构证明论的技术型想法才可行。.
谓词变量
在一阶逻辑中，谓词变量是表示(在项之间的)一个关系的谓词字母，这个关系还没有被特殊的指派任何特定的关系(或意义(内涵))。在一阶逻辑(FOL)中它们可以被更合适的到叫做"元变量"。在高阶逻辑中谓词变量对应于"命题变量"，它可以表示同一个逻辑中的合式公式，而这种变量可以被通过(至少)二阶量词的方式来量化。 在元变量意义上，谓词变量可以用来定义公理模式。谓词变量应当区别于谓词常量，它可以被表示为要么通过不同的(排他的)谓词字母集合，要么通过在其论域中实际上有自己特殊的意义的符号: 比如.
超实数
請注意，以下幾個概念的外來詞都曾被翻譯為超實數：.
运算
数学上，运算（Operation）是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。例如，算术中的加法6+3.
集合论
集合論（Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。.
递归论
递归论或可计算性理论，是一个数理逻辑分支。它起源于可计算函数和图灵度的研究。它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。在这些领域中，这门理论同证明论和能行描述集合论（effective descriptive set theory）有所重叠。 数理逻辑中的可计算性理论家经常研究相对可计算性、可归约性概念和程度结构的理论。相对于计算机科学家，他们研究次递归层次，可行的计算和公用于可计算性理论研究的形式语言。在这两个社区之间有着相当大的知识和方法上的重叠，而没有明显的界限。.
T-模式
T-模式（也叫做约定T）是位于 Alfred Tarski 的真理的语义理论的任何实现的核心位置的归纳定义，表达了真理在逻辑运算符上的交换性。 T-模式经常用自然语言表达，但它们很容易接纳多类谓词逻辑或模态逻辑的形式化；比如叫做 T-理论的公式化。T-理论构成了哲学逻辑中很多基础工作的基础，它们被应用于分析哲学中很多重要争论。它们也是在模型论背后的基础直觉；或者说模型论实现了它们。.
泛函谓词
在形式逻辑和相关的数学分支中，泛函谓词或函数符号是应用于一个对象项而生成另一个对象项的逻辑符号。泛函谓词有时也叫做映射，但是这个术语还有其他意义。在模型中，函数符号被建模为函数。 特别是，在形式语言中的符号 F 是函数符号，如果给定任何表示在语言中的一个对象的符号 x，F(x) 也是表示这个语言中一个对象的符号。在有类型逻辑中，F 是带有域类型 T 和陪域类型 U 的函数符号，如果给定表示类型 T 的一个对象的任何符号 x，F(x) 也是表示类型 U 的对象的符号。你可以类似的定义多于一个变量的函数符号，类比于多于一个变量的函数；零 个变量的函数符号简单的是一个常量符号。 现在考虑这个形式语言的模型，它带有类型 T 和 U 被建模为集合 和 ，而类型 T 的每个符号 X 被建模为 中的元素 。则 F 可以被建模为集合 它简单的是带有域 和陪域 的一个函数。.
有理数
数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
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模型理论。
