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23 关系: 史丹佛哲學百科全書，序数，伯特兰·罗素，全集，公理化集合论，关系，皮亚诺公理，空集，策梅洛-弗兰克尔集合论，等势，等价类，类型论，约翰·冯·诺伊曼，罗素悖论，范畴论，闭包 (数学)，自然演绎，自然数，集合论，朴素集合论，戈特洛布·弗雷格，新基础集合论，无穷公理。
- 无穷集合论基本概念
史丹佛哲學百科全書
史丹佛哲學百科全書（Stanford Encyclopedia of Philosophy，SEP）是一部由史丹佛大學營運的免費線上哲學百科全書，內容主要以經同行評審認可的論文為主。該百科內的每一篇論文均由一位該領域的專家撰寫並維護，作者涵蓋來自世界各地徐術機構的教授。每一位在該百科全書上發表文章的作者均同意將作品的出版權讓與史丹佛大學，但作者仍可保有著作權。.
序数
數學上，序數是自然數的一種擴展，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序结构的無窮集進行分類。.
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伯特兰·罗素
伯特兰·亚瑟·威廉·罗素，第三代羅素伯爵（Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell，），OM，FRS，英国哲学家、数学家和逻辑学家，致力于哲学的大众化、普及化。 在數學哲學上採取弗雷格的邏輯主義立場，認為數學可以化約到邏輯，哲學可以像邏輯一樣形式系統化，主張逻辑原子論。 1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“西歐思想，言論自由最勇敢的君子，卓越的活力，勇氣，智慧與感受性，代表了諾貝爾獎的原意和精神”。 1921年罗素曾於中国讲学，对中国学术界有相当影响。.
全集
数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（若是集合，则为全集）大约是这样一个类，它（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合。.
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公理化集合论
在數學中，公理化集合论是集合論透過建立一階邏輯的嚴謹重整，以解決樸素集合論中出現的悖論。集合論的基礎主要由德國數學家格奧爾格·康托爾在19世紀末建立。.
关系
关系的基本含义为事物之间相互作用、相互影响的状态，特定环境下可以指：.
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皮亚诺公理
亚诺公理（Peano axioms），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。.
空集
集是不含任何元素的集合，數學符號為\empty、\varnothing或\。.
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策梅洛-弗兰克尔集合论
梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory），含选择公理時常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含選擇公理的則簡寫為ZF。.
等势
在数学领域中，两个集合 A 和 B 是等势的(equinumerous)，当它们有相同的势的时候，就是说如果存在一个双射 f: A → B。这通常指示为 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。 例如， 势的研究中经常叫做等势性(equinumerosity)。有时还使用术语 equipotent 或 equipollent。 在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。.
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等价类
在数学中，假設在一个集合X上定義一个等价关系（用 \sim來表示），则X中的某個元素a的等价类就是在X中等价于a的所有元素所形成的子集: 等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在X中的给定等价关系 \sim的所有等价类的集合表示为X/ \sim并叫做X除以\sim的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果X是有限的并且等价类都是等势的，则X/ \sim的序是X的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合X。 对于任何等价关系，都有从X到X/ \sim的一个规范投影映射\pi，给出为\pi(x).
类型论
在最广泛的层面上，类型论是关注把实体分类到叫做类型的搜集中的数学和逻辑分支。在这种意义上，它与类型的形而上学概念有关。现代类型论在部分上是响应罗素悖论而发明的，并在伯特兰·罗素和阿弗烈·诺夫·怀海德的《数学原理》中起到重要作用。 在计算机科学分支中的编程语言理论中，类型论提供了设计分析和研究类型系统的形式基础。实际上，很多计算机科学家使用术语“类型论”来称呼对编程语言的类型语言的形式研究，尽管有些人把它限制于对更加抽象的形式化如有类型lambda演算的研究。.
约翰·冯·诺伊曼
约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann，，，），原名诺依曼·雅诺士·拉约士（Neumann János Lajos，），出生於匈牙利的美國籍猶太人数学家，现代電子計算機与博弈论的重要创始人，在泛函分析、遍历理论、几何学、拓扑学和数值分析等众多数学领域及計算機學、量子力學和经济学中都有重大貢獻。 冯·诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯·诺伊曼一生中发表了大约150篇论文，其中有60篇纯数学论文，20篇物理学以及60篇应用数学论文。他最后的作品是一个在医院未完成的手稿，后来以书名《》发布，表现了他生命最后时光的兴趣方向。 “诺依曼”和“诺伊曼”2种同音不同字的德音汉语译名写法都比较常见。另外也有资料采用其英音汉语译名“冯纽曼”。.
罗素悖论
罗素悖论（Russell's paradox），也称为理发师悖论，是英國哲學家罗素於1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。罗素悖论当时的提出，造成了第三次数学危机。.
范畴论
疇論是數學的一門學科，以抽象的方法來處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化成範疇，並且使用範疇論，令在這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論可以比沒有使用範疇還會更容易敘述及證明。 範疇最容易理解的一個例子為集合範疇，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。 範疇最簡單的例子之一為广群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用于對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。 範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。.
闭包 (数学)
数学中，若对某个集合的成员进行一種运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在這个运算下闭合。 例如，实数在减法下闭合，但自然数不行：自然数 3 和 7 的减法 3 − 7 的结果不是自然数。 类似的，一个集合被称为在某些运算的搜集下闭合，如果它在每个运算之下都闭合。 一个集合在某个运算或某些运算的搜集下闭合被称为满足闭包性质。闭包性质经常作为公理，通常叫做闭包公理。现代集合论通常这样定义：运算为在集合间的映射。所以向一个结构增加闭包性質作为公理是多余的，尽管它对于子集是否闭合的问题仍有意义。 当一个集合 S 在某个运算下不闭合的时候，我们通常可以找到包含 S 的最小的闭合集合。这个最小闭合集合被称为 S 的（关于这个运算的）闭包。例如，若把自然数集看作实数集的子集，它在减法下的闭包就是整数集。一个重要的例子是拓扑闭包。闭包的概念推广为伽罗瓦连接，进一步为。 注意集合 S 必须是闭合集合的子集，這樣才能定义闭包算子。在前面的例子中，实数在减法下闭合是重要的，减法不总是在自然数的定义域中有定义的。 闭包这个词的两种用法不应混淆。前者用来提及闭合的性质，而后者提及包含不闭合集合的最小闭合集合。简要的说，一个集合的闭包满足闭包性质。.
自然演绎
在数理逻辑中，自然演绎是证明论中尝试提供象“自然”发生一样的逻辑推理形式模型的一种方式。這種方式對比於使用公理的公理系統。.
自然数
数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一，可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots)，亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。.
集合论
集合論（Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。.
朴素集合论
在纯数学中，朴素集合论是是探討数学基础時，用到的幾個集合論中的一個，朴素集合论主要是將用一般語言的形式處理集合問題，依赖於把集合作为叫做这个集合的“元素”或 “成员”的搜集（collection），未有形式化的理解。和用公理定義而產生的公理化集合论不同。 而公理化集合论只使用明确定义的公理列表，還有從中证明的关于集合和成员关系的種種事实，公理起源自对对象的搜集和它们的成员的理解，但为了各种目的而被謹慎地构建，例如是避免已知的各種悖论，例如理发师悖论－一個理髮師他只為（而且一定要為）城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子，那理髮師該為自己刮鬍子嗎？ 集合在数学中是极其重要的；事實上，採用现代的形式化定義，多種数学对象（数、关系、函数等等）都可以用集合来構建。.
戈特洛布·弗雷格
弗里德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格（德语：Friedrich Ludwig Gottlob Frege，；），著名德国数学家、逻辑学家和哲学家。是数理逻辑和分析哲学的奠基人。.
新基础集合论
在数理逻辑中，新基础集合論（NF）是公理化集合論的一種，由蒯因构想出來作为对《数学原理》中类型论的简化。蒯因1937年於《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名稱的由來）。請注意，此条目大多是在談论NFU，這是Jensen於1969年所提出，並由Holmes於1998年闡述的一重要变体。.
无穷公理
在公理化集合论和使用它的逻辑、数学和计算机科学中，无穷公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。.