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晶体学限制定理

指数 晶体学限制定理

晶体学限制定理的基本形式是基于对晶体的旋转对称性通常被限制为2重，3重，4重，6重的观察后得出的。然而，准晶体中可能存在着其他种类的衍射对称性，例如5重对称；这种晶体是由丹·谢赫特曼于1982年发现的，他也凭此获得了2011年诺贝尔化学奖。 晶体模型是由离散的晶格通过一系列独立有限的平移建立的。因为离散性要求格点间的间距有一个下限值，所以该晶格对于空间中任意一点的旋转对称群必须是有限群。这个理论的重点在于，并不是所有的有限群都能兼容一个离散的晶格；在任何一个维度上，可兼容群的数量都是有限的。.

目录

  1. 25 关系: 变换矩阵，丹·谢赫特曼，平移，哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特，准晶体，国际标准书号，Bibcode，空间群，線性無關，美國數學月刊，群，物理评论快报，DOI，行列式，诺贝尔化学奖，跡，JSTOR，标准正交基，正多边形，有限群，旋转矩阵，晶体，晶体学，晶体学点群，晶体结构。

  2. 代数定理
  3. 晶体学

变换矩阵

变换矩阵是数学线性代数中的一个概念。 在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是一个把Rn映射到Rm的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量，那么 我们把m×n的矩阵A，称为T的变换矩阵。.

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丹·谢赫特曼

丹·谢赫特曼（דן שכטמן，Dan Shechtman， ） ，或译--。 以色列材料科學家。.

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平移

在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。 它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若\mathbf是一個已知的向量，\mathbf是空間中一點，平移T_(\mathbf).

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哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特

哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特（Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter，，英語發音），20世纪的几何学家。他生于伦敦，但大部分时间住在加拿大。 他在多伦多大学工作60年，出版12本书。他的研究最著名是正则多胞体和高维几何。他认识毛里茨·科內利斯·埃舍尔，他的几何图形研究启发了埃舍尔的创作。他也啟发了巴克敏斯特·富勒的一些创作。 他跟随路德维希·维特根斯坦在剑桥大学三一学院学习数学哲学。他完成博士後留在剑桥大学，然後在普林斯顿大学作研究。1936年他往多伦多大学，1948年成为教授。.

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准晶体

準晶体，亦称为“准晶”或“拟晶”，是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶体具有与晶体相似的长程有序的原子排列；但是准晶体不具备晶体的平移对称性。根据晶体局限定理（crystallographic restriction theorem），普通晶体只能具有二次、三次、四次或六次旋转对称性，但是准晶的布拉格衍射图具有其他的对称性，例如五次对称性或者更高的如六次以上的对称性。 数学家在20世纪60年代就发现了这种非周期平铺（aperiodic tilings）图形。但是直到快20年后这种理论上的结构才和准晶的研究联系起来。自然界中非周期图形的发现在结晶学领域造成了典范转移。虽然准晶体在此前就已被观察到并被研究，但由于它们违背了人们之前对于晶体结构的认识，所以直至20世纪80年代在开始受到重视。 获得2011年诺贝尔化学奖的丹·舍特曼是第一个正式报道发现了准晶的人。1984年他和以色列理工学院的同事们在快速冷却的铝锰合金中发现了一种新的金属相，其电子衍射斑具有明显的五次对称性。这篇文章发表于物理评论快报（Physical Review Letters）上。.

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国际标准书号

國際標準書號（International Standard Book Number，缩写为ISBN），是國際通用的圖書或獨立的出版物（定期出版的期刊除外）代碼。出版社可以通過國際標準書號清晰地辨認所有非期刊書籍。一個國際標準書號只有一個或一份相應的出版物與之對應。一本書的每一版或其他的變化，能夠申請到一個新的國際標準書號。新版本如果在原來舊版的基礎上沒有內容上太大的變動，在出版時不會得到新的國際標準書號。當一本書同時有平裝本與精裝本出版時，平裝本的國際標準書號不得用於精裝本，反之亦然。.

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Bibcode

bibcode是许多天文学数据系统用于指定参考文献的标识符。bibcode研发用于SIMBAD和NASA/IPAC河外-星系-數據庫（NED），但目前已经获得更广阔的适用范围，如NASA的天体物理数据系统。, M. Schmitz, G. Helou, P. Dubois, C. LaGue, B. Madore, H. G. Corwin Jr., and S.

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空间群

在数学和物理学中，空间群是空间中（通常是三维空间）一种形态的空间对称群。在三维空间中有219种不同的类型，或230种不同的手性类型。对超过三维的空间中的空间群也有研究，它们有时被称作比贝尔巴赫群，并且是离散的紧群，具有欧氏空间的等距同构。 在晶体学中，空间群也被称为费奥多罗夫群，是对晶体对称型的一种描述。三维空间群的权威参考文献是《国际晶体学表》（）。.

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線性無關

在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線--性無關或線--性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。.

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美國數學月刊

《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly），是班傑明·芬克爾在1894年創辦的數學期刊。現時它由美國數學協會發行，每年十期。 《美國數學月刊》的對象從大學生至專業數學家亦有。其文章要適合大眾口味，淺白易明。因此，它和一般數學研究期刊的角色不同。 该杂志自1997年以来，内容也刊在美国数学协会在线网站。 美国数学协会的莱斯特·R·福特奖（杰出文章作者奖）每年在“美国数学月刊”发布。.

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群

在數學中，群是由一個集合以及一個二元運算所組成的，符合下述四个性质（称为“群公理”）的代數結構。这四个性质是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。 群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的组成的中心原理。 群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的如此描述物体的對稱特征：它是保持物體不變的變換的集合。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。 群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式（群的表示）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。.

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物理评论快报

物理评论快报（Physical Review Letters ，有时缩写为PRL），也译作物理报导期刊、物理評論快訊，是一本声誉卓著的物理学期刊，自1958年起开始由美国物理学会出版。该刊是从物理评论延伸出来的刊物。 物理评论快报限定于短篇的文章，也称为报导（Letters）或快报、快訊，一篇文章最多只有4到5页长而已。.

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DOI

數位物件識別碼（Digital Object Identifier，簡稱DOI）也称數位物件識別號、--、数字对象唯一标识符等，是一套識別數位資源的機制，涵括的對象有影片、報告或書籍等等。它既有一套為資源命名的機制，也有一套將識別號解析為具體位址的協定。 發展DOI的動機在于補充統一資源標誌符之不足，因為一方面URI指涉的URL經常變動，另一方面，URI 表達的其實是資源所在地（即網址），而非數位資源本身的資訊。DOI 能克服這兩個問題。 一個 DOI識別號經過解析後，可以連至一個或更多的資料。但識別號本身與解析後導向的資料並不相干，也可能發生無法取得全部資料，只能得到相關出版品資訊的情形。DOI的解析協定見諸RFC 3652，RFC 3651描述命名機制，RFC 3650则描述其架構。DOI透過Handle系統解析識別號，但實際應用上大多是透過網站解析；例如访问網址 https://doi.org/10.1000/182 ，就能看到對應識別號 10.1000/182 的文档信息。.

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行列式

行列式（Determinant）是数学中的一個函數，将一个n \times n的矩陣A映射到一個純量，记作\det(A)或|A|。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现线性自同态和向量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。.

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诺贝尔化学奖

诺贝尔化学奖（Nobelpriset i kemi）是诺贝尔奖的奖项之一，由瑞典皇家科学院從1901年开始负责颁发。每年于12月10日，即阿尔弗雷德·诺贝尔逝世周年纪念日颁发。 根據诺贝尔的遺囑，化学奖是为了表彰「在化學領域作出最重要發現或發明的人」。.

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跡

在线性代数中，一個n \times n的矩陣\mathbf的跡（或跡數），是指\mathbf的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，一般記作\operatorname(\mathbf)或\operatorname(\mathbf)： 其中\mathbf_代表矩陣的第i行j列上的元素的值。一個矩陣的跡是其特徵值的總和（按代數重數計算）。 跡的英文為trace，是來自德文中的Spur這個單字（與英文中的Spoor是同源詞），在數學中，通常簡寫為「Sp」或「tr」。.

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JSTOR

JSTOR（Journal STORage、期刊存储，创立于1995年）是一个收集学术期刊的在线系统。它提供了对发表在数百本知名学术期刊上的文章的电子版全文搜索。 这些学术期刊最早可以追溯到1665年。JSTOR设在纽约，是由安得鲁梅伦基金会（Andrew W.

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标准正交基

在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"（Orthonormal basis）。 无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。 注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个具有正交基的巴拿赫空间，就是一个希尔伯特空间。.

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正多边形

正多边形是所有角都相等、并且所有边都相等的简单多边形，简单多边形是指在任何位置都不与自身相交的多边形。 所有具有同样边数的正多边形都是相似多边形。.

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有限群

在數學裡，有限群是有著有限多個元素的群。有限群理論中的某些部份在20世紀有著很深的研究，尤其是在局部分析和可解群與冪零群的理論中。期望有個完整的理論是太過火了：其複雜性會隨著群變得越大時而變得壓倒性地巨大。 較少壓倒性地，但仍然很有趣的是在有限域上的一些較小一般線性群。群論學家曾寫過：「有限群的典型例子為GL(n,q)－在q個元素的域上的n維一般線性群。學生在學此領域時，若以其他的例子來做介紹，則可能會被完全地誤導。（Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 10 (1984) 121）此類型最小的群GL(2,3)的討論，見。 有限群和對稱有直接地關接，當其被限制在有限個轉變時。 其證明為，連續對稱，如李群中的，也會導致有限群，如外爾群。在此一方面，有限群和其性質將能夠用在如理論物理問題的重要地方，即使其用途在一開始並不顯著。 每一質數階的有限群都是循環群。.

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旋转矩阵

旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果并保持了手性的矩阵。旋转矩阵不包括点反演，点反演可以改变手性，也就是把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。.

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晶体

晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体。 晶体的分布非常广泛，自然界的固体物质中，绝大多数是晶体。气体、液体和非晶物质在一定的合适条件下也可以转变成晶体。 晶体内部原子或分子排列的三维空间周期性结构，是晶体最基本的、最本质的特征，并使晶体具有下面的通性：.

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晶体学

晶体学，又称结晶学，是一门以确定固体中原子（或离子）排列方式为目的的实验科学。“晶体学”（crystallography）一词原先仅指对各种晶体性质的研究，但随着人们对物质在微观尺度上认识的加深，其词义已大大扩充。 在X射线衍射晶体学提出之前（介绍见下文），人们对晶体的研究主要集中于晶体的点阵几何上，包括测量各晶面相对于理论参考坐标系（晶体坐标轴）的夹角，以及建立晶体点阵的对称关系等等。夹角的测量用测角仪完成。每个晶面在三维空间中的位置用它们在一个立体球面坐标“网”上的投影点（一般称为投影“极”）表示。坐标网的又根据不同取法分为Wolff网和Lambert网。将一个晶体的各个晶面对应的极点在坐标网上画出，并标出晶面相应的密勒指数，最终便可确定晶体的对称性关系。 现代晶体学研究主要通过分析晶体对各种电磁波束或粒子束的衍射图像来进行。辐射源除了最常用的X射线外，还包括电子束和中子束（根据德布罗意理论，这些基本粒子都具有波动性，参见条目波粒二象性），可以表现出和光波类似的性质）。晶体学家直接用辐射源的名字命名各种标定方法，如X射线衍射（常用英文缩写XRD），中子衍射和电子衍射。 以上三种辐射源与晶体学试样的作用方式有很大区别：X射线主要被原子（或离子）的最外层价电子所散射；电子由于带负电，会与包括原子核和核外电子在内的整个空间电荷分布场发生相互作用；中子不带电且质量较大，主要在与原子核发生碰撞时（碰撞的概率非常低）受到来自原子核的作用力；与此同时，由于中子自身的自旋磁矩不为零，它还会与原子（或离子）磁场相互作用。这三种不同的作用方式适应晶体学中不同方面的研究。.

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晶体学点群

在晶体学中，晶体学点群是对称操作（例如旋转、反映）的集合。这些操作以固定的中心向其他方向移动能使晶体复原，因此称为对称操作。对于一种真正的晶体（不是准晶体），点群对应的操作必须能够保持晶体的三维平移对称性。经过它的点群中任何操作之后，晶体的宏观性质依然和操作前完全相同。在晶体的分类中，每一种点群也称为晶类。 这样看来似乎有无穷多种三维点群。然而，根据晶体局限定理可知，无穷多族的普通点群可以概括成32种晶体学点群。这32种点群与1830年约翰·弗里德里希·克里斯蒂安·赫塞尔提出的32种晶体形态学（外部）对称性是等价的，而他是从观察晶体外形得出的此结论。 晶体的点群和其他要素一起从结构上决定了晶体的物理性质具有各向异性，包括光学性质，例如某种晶体是否有双折射性质，或者它是否表现出普克尔斯效应。.

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晶体结构

晶体结构是指晶体的周期性结构。固体材料可以分为晶体、准晶体和非晶体三大类，其中，晶体内部原子的排列具有周期性，外部具有规则外形，比如钻石（图）。 Hauy最早提出晶体的規則外型是因为晶體内部原子分子呈規則排列，比如鑽石所具有的完美外形和優良光学性質就可以歸結為其内部原子的規則排列。20世紀初期，勞厄發明X射線衍射法，從此人們可以使用X射线來研究晶體内部的原子排列，其研究结果進而證實了Hauy的判斷。 晶體内部原子排列的具体形式一般稱之为晶格，不同的晶体内部原子排列稱為具有不同的晶格結構。各種晶格結構又可以歸納為七大晶系，各種晶系分别与十四種空間格（稱作布拉维晶格）相對應，在宏观上又可以归结为三十二种空间点群，在微观上可进一步细分为230个空间群。 对于晶体结构的研究是研究固体材料的宏观性质及各种微观过程的基础。專門研究分子結晶結構的科學稱為晶體學，經常應用在化學、生物化學與分子生物學。.

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另见

代数定理

晶体学