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25 关系: 定向，余切丛，微分形式，微分流形，刘维尔定理 (哈密顿力学)，分析力学，哈密顿-雅可比方程，哈密顿力学，哈密顿向量场，凯勒流形，经典力学，相空間，达布定理 (微分几何)，辛同胚，辛向量空间，辛几何，辛矩陣，辛群，闭形式和恰当形式，重言1形式，零向量，殆复流形，泊松括號，测度，数学。
定向
定向，在不同语境中有不同含义，可能指.
余切丛
微分几何中，流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛。余切空间有一个标准的辛形式，从中可以一个余切丛的非退化的体积形式。因此，本身作为一个流形的余切丛总是可定向的。可以在余切丛上定义一组特殊的坐标系；这些被称为正则坐标。因为余切丛可以视为辛流形，任何余切丛上的实函数总是可以解释为一个哈密顿函数；这样余切丛可以理解为哈密顿力学讨论的相空间。.
微分形式
微分形式是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积(wedge product)和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。.
微分流形
光滑流形（），或称-微分流形（）、-可微流形（），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。.
刘维尔定理 (哈密顿力学)
在物理学中，刘维尔定理（Liouville's theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。 它以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名。这也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。.
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分析力学
分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。可以认为1788年拉格朗日发表的奠基之作《分析力学（Mécanique analytique）》是此分支的开始。 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标和变分法，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。 分析力学又分为拉格朗日力学和哈密顿力学。前者以拉格朗日量刻画力学系统，运动方程称为拉格朗日方程，后者以哈密顿量刻画力学系统，运动方程为哈密顿方程。.
哈密顿-雅可比方程
#重定向 哈密頓-雅可比方程式.
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哈密顿力学
哈密顿力学是哈密顿于1833年建立的经典力学的重新表述，它由拉格朗日力学演变而来。拉格朗日力学是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。哈密顿力学与拉格朗日力学不同的是前者可以使用辛空间而不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。 适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。.
哈密顿向量场
在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。 哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出。.
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凯勒流形
在数学中，一个凯勒流形（Kähler manifold）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U(''n'')-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形 、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。 这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集： 若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果複结构是可积的（但辛结构不要求），则为埃尔米特流形。 凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名，在代数几何中占有重要的地位：它们是複代数簇的一个微分几何推广。.
经典力学
经典力学是力学的一个分支。经典力学是以牛顿运动定律为基础，在宏观世界和低速状态下，研究物体运动的基本学科。在物理學裏，经典力学是最早被接受为力學的一个基本綱領。经典力学又分为静力学（描述静止物体）、运动学（描述物体运动）和动力学（描述物体受力作用下的运动）。16世纪，伽利略·伽利莱就已采用科学实验和数学分析的方法研究力学。他为后来的科学家提供了许多豁然开朗的启示。艾萨克·牛顿则是最早使用数学语言描述力学定律的科学家。.
相空間
在數學與物理學中，相空間是一個用以表示出一系統所有可能狀態的空間；系統每個可能的狀態都有一相對應的相空間的點。.
达布定理 (微分几何)
达布定理 是数学领域微分几何中关于微分形式的一个定理，部分地推广了弗罗贝尼乌斯定理。它是包括辛几何在内多个领域的基石。这个定理以让·加斯东·达布 命名，他在解 Pfaff 问题 时建立了这个定理。 这个定理的推论之一是任何两个同维数的辛流形是局部辛同胚的。这就是说，任何 2n-维辛流形能局部的看作带标准辛形式的线性辛空间 Cn。应用于切触几何也有类似的结论。.
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辛同胚
在数学中，一个辛同胚（symplectomorphism）是辛流形范畴中的一个同构。.
辛向量空间
数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足：.
辛几何
辛几何（Symplectic geometry），也叫辛拓扑（Symplectic topology），是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形，亦即带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。 辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量(称为度量张量)的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况，辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理的一个结果，表明每一对辛流形是局部同构的。另一个和黎曼几何的区别是不是所有的微分流形可以接受一个辛形式；有一些特定的拓扑限制。首先，流形必须是偶数维的。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。 每个凯勒流形也是一个辛流形。直到1970年代，辛专家们还不确信是否有任何紧非Kähler辛流形存在，但从那以后又很多例子被构造出来(第一个由William Thurston给出)；特别的，Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现，这和凯勒的情形完全不同。 可以说大部分辛流形都是非凯勒的;所以没有和辛形式相容的可积複结构。但是 Mikhail Gromov给出了一个重要的发现，就是辛流形可以接受很多相容的殆複结构，所以它们满足複流形的所有假设，"除了"坐标变换函数必须是全纯的这一条。 以几乎複结构相容的映射到辛流形的黎曼曲面称为伪全纯曲线，格罗莫夫证明了该类曲线的紧致性定理；这个结构导致了辛拓扑一个很大的子学科的发展。从格罗莫夫的理论产生的结果包括关于球到柱的辛嵌入的格罗莫夫非压缩定理，和关于哈密顿流的不动点的个数的阿尔诺德的一个猜想的证明。这是由从Andreas Floer开始的几个研究者(逐步推广到更一般的情形)所证明的，Floer用格罗莫夫的方法引入了现在称为Floer同调的概念。 伪全纯曲线也是辛不变量的一个来源，这种不变量称为Gromov-Witten不变量，原则上可以用来区分两个不同的辛流形。.
辛矩陣
在數學中，辛矩阵是指一個2n \times 2n的矩阵M（通常佈於實數或複數域上），使之滿足 其中M^T表M的轉置矩陣，而\Omega是一個固定的可逆斜對稱矩陣；這類矩陣在適當的變化後皆能表為 \begin 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end 或 \begin0 & 1\\ -1 & 0\end & & 0 \\ 0 & & \begin0 & 1 \\ -1 & 0\end \end 兩者的差異僅在於基的置換，其中I_n是n \times n 單位矩陣。此外，\Omega 行列式值等於一，且其逆矩陣等於-\Omega。.
辛群
在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。.
闭形式和恰当形式
在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 α 是微分算子 d 的核，即 dα.
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重言1形式
在数学中，重言 1-形式（Tautological one-form）是流形 Q 的余切丛 T^Q 上一个特殊的 1-形式。这个形式的外导数定义了一个辛形式给出了 T^Q 的辛流形结构。重言 1-形式在哈密顿力学与拉格朗日力学的形式化中起着重要的作用。重言 1-形式有时也称为刘维尔 1-形式，典范 1-形式，或者辛势能。一个类似的对象是切丛上的典范向量场。 在典范坐标中，重言 1-形式由下式给出： 在差一个全微分（恰当形式）的意义下，相空间中的任何“保持”典范 1-形式结构的坐标系，可以称之为典范坐标；不同典范坐标之间的变换称为典范变换。 典范辛形式由 给出。.
零向量
在线性代数及相关数学领域中，零向量（也称退化向量）即欧几里得空间里的中所有元素都为 0 的向量 (0, 0, …, 0)。零向量的表式法於印刷体会打成稍微斜一点的粗黑体數字\mathit 或粗黑體大寫英文字母\boldsymbol，手写的為避免與數字0混淆，因此會在數字0上面加上一个向右的(半)箭头表示这是一个零向量，如：\vec、\overset。 在一般的向量空間中，零向量是唯一確定的向量。它是向量加法的單位元素。 Category:向量 Category:零.
殆复流形
数学中，一个殆複流形（almost complex manifold）是在每个切空间上带有一个光滑线性複结构的光滑流形。此结构的存在性是一个流形成为複流形的必要条件，但非充分条件。即每个複流形是一个殆複流形，反之则不然。殆複结构在辛几何中有重要应用。 此概念由埃雷斯曼与霍普夫于1940年代引入。.
泊松括號
在數學及经典力學中，泊松括號是哈密顿力學中重要的運算，在哈密頓表述的動力系統中時間演化的定義起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。.
测度
数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。 测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。.
数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
