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27 关系: 压缩映射，大圆，实数，完备空间，不动点，不动点定理，三角不等式，度量空间，弧长，地图，地球，利普希茨連續，唯一量化，紧空间，纬度，经度，经纬度，领土，迭代函数，迭代法，集合，Q.E.D.，柯西序列，极限，映射，斯特凡·巴拿赫，数学归纳法。
压缩映射
度量空间(M,d)上的压缩映射，或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数0 ，使得对于所有M内的x和y，都有： 满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的0 都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp.
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大圆
大圆（great circle）是球面上半径等于球体半径的圆弧。大圆线是连接球面上两点最短的路径所在的曲线。大圆线是球面上半径最大的圆弧，所有的經線都是大圆线，緯線則只有赤道而已。.
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实数
实数，是有理數和無理數的总称，前者如0、-4、81/7；后者如\sqrt、\pi等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：.
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完备空间
完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。.
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不动点
在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数f， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2).
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不动点定理
在数学中，不动点定理是一個結果表示函数F在某種特定情況下，至少有一個不动点存在，即至少有一个点x能令函数F(x).
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三角不等式
三角不等式是數學上的一個不等式，表示從B到A再到C的距離永不少於從B到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。.
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度量空间
在数学中，度量空间是个具有距離函數的集合，該距離函數定義集合內所有元素間之距離。此一距離函數被稱為集合上的度量。 度量空间中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狭义相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。 度量空间还能導出开集與闭集之類的拓扑性质，这导致了对更抽象的拓扑空间之研究。.
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弧长
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。最早研究的曲线弧长是圆弧的长度。为了计算圆周的长度，数学家发明了用直线段近似的方法，并应用到其他的曲线上。微积分出现后，数学家开始用积分的方式计算曲线的弧长，得出了许多特殊曲线的弧长的精确表达式。.
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地图
地图，是根据一定的数学法则，例如墨卡托投影法，将地球或其他星球的自然现象和社会现象通过概括和符号缩绘在平面上的图形。按照統一的設計和要求編制的多幅地圖的彙集被稱作“地圖集”或者“地圖冊”。.
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地球
地球是太阳系中由內及外的第三顆行星，距离太阳约1.5亿公里。地球是人類已知宇宙中唯一存在生命的天体，也是人類居住的星球，共有74.9億人口。地球质量约为5.97×1024公斤，半径约6,371公里，密度是太阳系中最高。地球同时进行自转和公转运动，分别产生了昼夜及四季的变化更替，一太陽日自转一周，一太陽年公转一周。自转轨道面称为赤道面，公转轨道面称为黄道面，两者之间的夹角称为黄赤交角。地球仅擁有一顆自然卫星，即月球。 地球表面有71%的面积被水覆盖，称为海洋或可以成为湖或河流，其余是陆地板块組成的大洲和岛屿，表面分布河流和湖泊等水源。南极的冰盖及北极存有冰。主體包括岩石圈、地幔、熔融态金属的外地核以及固态金属的內地核。擁有由外地核產生的地磁场。外部被氣體包圍，称为大氣層，主要成分為氮、氧、氬。 地球诞生于约45.4亿年前，42億年前開始形成海洋。并在35亿年前的海洋中出现生命，之后逐步涉足地表和大气，并分化为好氧生物和厌氧生物。早期生命迹象产生的具體证据包括格陵兰岛西南部中拥有约37亿年的历史的石墨，以及澳大利亚大陆西部岩石中约41亿年前的 Early edition, published online before print.。此后除去数次生物集群灭绝事件，生物种类不断增多。根据学界测定，地球曾存在过的50亿种物种中，已经绝灭者占约99%，据统计，现今存活的物种大约有1,200至1,400万个，其中有记录证实存活的物种120万个，而余下的86%尚未被正式发现。2016年5月，有科学家认为现今地球上大概共出现过1--种物种，其中人类正式发现的仅占十万分之一。2016年7月，科学家称现存的生物共祖中共存在有355种基因。地球上有约74亿人口，分成了约200个国家和地区，藉由外交、旅游、贸易、传媒或战争相互联系。.
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利普希茨連續
在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Lipschitz continuity）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比通常連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。 在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。.
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唯一量化
在谓词逻辑和依赖于它的技术领域中，唯一量化或唯一存在量化，尝试形式化对于“精确”的一个事物，或对于精确的特定类型的一个事物为真的某个事物的概念。唯一量化的一般化是。 例如: 符号化写为: 符号 ∃! 叫做“唯一量词”或“唯一存在量词”。它通常读做“有一个且只有一个”，“存在唯一一个” (存在着这个符号的在文法上和如何阅读上的多个变体)。.
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紧空间
在数学中，如果欧几里得空间Rn的子集是闭合的并且是有界的，那么称它是--的。例如，在R中，闭合单位区间是紧致的，但整数集合Z不是（它不是有界的），半开区间.
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纬度
纬度（φ）是一个地理坐标，用以确定一点在地球表面上的南北位置。纬度是一个角度，其范围从赤道的0度到南北极的90度。纬度相同的连线或其平行线，是一个与赤道平行的大圆。纬度通常与经度一起使用以确定地表上某点的精确位置。在定义经纬度的时候，做了两个抽象假设。第一，以大地水准面来代替地球的物理表面，大地水准面是一个假想的由地球上静止平衡的海平面延伸到陆地内部而形成的闭合曲面。第二，用一个数学上简单的参考表面来作为大地水准面的近似。最简单的参考表面为球面，但是用旋转椭球面来模拟大地水准面要更为准确些。经纬度在这个参考表面上的定义将在下文中详细说明，经度相同和纬度相同的点的连线共同构成了这个参考表面上的经纬网。地球真实表面上一点的纬度和其在参考表面上的对应点一致，过地球真实表面上一点作参考表面的法线，该法线与参考表面的交点即为真实表面上那一点的对应点。纬度，经度和遵循某种规范的高度共同组成了 ISO 19111 标准中所定义的地理坐标系统。 由于有不同的参考椭球面，地表上一点的纬度特征也就并不唯一。ISO标准中关于这一点的描述为：如果坐标参考系统没有完全定义，那么坐标(主要指经度和纬度)顶多是模糊不清的，至少也是毫无意义的。这对于精确的应用非常重要，比如GPS，但是，在一般的使用中，并不需要很高的精度，通常也就不提及参考椭球面。 在英文文本中，纬度通常使用小写希腊字母phi (φ)来表示。它以度、分、秒或者小数形式的度来计量，再附上N或S来表示北纬或南纬。 无论是为了使用经纬仪还是为了确定GPS卫星的轨道，纬度的测量都要求人们对地球重力场有充分的了解。研究地球的轮廓及其重力场的学科是大地测量学，这些内容将不会在此文中讨论。通过简单的名称变换，这篇文章里涉及到的地球坐标系统也可以扩展运用到月球，行星和其它天体上。 纬度数值在0至30度之间的地区称为低纬度地区；纬度数值在30至60度之间的地区称为中纬度地区；纬度数值在60至90度之间的地区称为高纬度地区。 赤道、南回归线、北回归线、南极圈和北极圈是特殊的纬线。.
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经度
经度是一种用于确定地球表面上不同点东西位置的地理坐标。经度是一种角度量，通常用度来表示，并被记作希腊字母λ(lande)。子午线穿过南极和北极并把相同经度的点连起来。按照惯例，本初子午线是经过伦敦格林威治皇家天文台的子午线，是0度经线所在地。其他位置的经度是通过测量其从本初子午线向东或向西经过的角度得到的，经度的範圍为从本初子午线0° 向东至180°E 和向西至180° W。具体来说，某位置的经度是一个通过本初子午线的平面和一个通过南极、北极和该位置的平面所组成的二面角。(这就组成了一个右手坐标系，其z轴(右手拇指)从地球中心指向北极方向，其x轴(右手食指)从地球中心指向本初子午线与赤道的交点。) 如果地球是一个均质球体，那么一点的经度就等于过该点的南北铅垂面和格林尼治子午面之间夹角的角度。地球上任何地方的南北铅垂面都会包含地球的自转轴。但是地球并不是均质的，而是有很多山脉，在山脉的重力影响下，铅垂面就会偏离地球的自转轴。即便如此，南北铅垂面仍然会和格林尼治子午面相交于某个角度，该角度被称为天文经度，通过天文观测来确定。地图和GPS设备上显示的经度是格林尼治子午面与过该点的一个非严格铅垂面之间夹角的角度，该非严格铅垂面垂直于一个近似于大地水准面的椭球体表面，而不是直接垂直于大地水准面本身。 作为起点，过去其它国家或人也使用过其它的子午线做起点，比如罗马、哥本哈根、耶路撒冷、圣彼德堡、比萨、巴黎和费城等。在1884年的国际本初子午线大会上格林维治的子午线被正式定为经度的起点。東經180°即西經180°，約等同於國際日期變更線，國際日期變更線的兩邊，日期相差一日。 经度的每一度被分为60角分，每一分被分为60秒。一个经度因此一般看上去是这样的：东经23° 27′ 30"或西经23° 27′ 30"。更精确的经度位置中秒被表示为分的小数，比如：东经23° 27.500′，但也有使用度和它的小数的：东经23.45833°。有时西经被写做负数：-23.45833°。偶尔也有人把东经写为负数，但这相当不常规。 一个经度和一个纬度一起确定地球上一个地点的精确位置。纬度的每个度的距離大约相当于111km，但经度的每个度的距离从0km到111km不等。它的距离随纬度的不同而变化，沿同一緯度約等于111km乘纬度的余弦。不过这个距离还不是相隔一经度的两点之间最短的距离，最短的距离是连接这两点之间的大圆的弧的距离，它比上面所计算出来的距离要小一些。 一个地点的经度一般与它于协调世界时之间的时差相应：每天有24小时，而一个圆圈有360度，因此地球每小时自转15度。因此假如一个人的地方时比协调世界时早3小时的话，那么他在东经45度左右。不过由于时区的分划也有政治因素在里面，因此一个人所在的时区不一定与上面的计算相符。但通过对地方时的测量一个人可以算得出他所在的地点的经度。为了计算这个数据，他需要一个指示协调世界时的钟和需要观察对太阳经过子午圈的时间。由于地球在一个椭圆轨道上绕太阳旋转，这个计算和观察比上面叙述的还要复杂些。.
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经纬度
經緯度是經度與緯度的合稱組成一個座標系統。又称为地理座標系統，它是一種利用三度空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標系統，能夠標示地球上的任何一個位置。.
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领土
领土，亦稱疆域，是指主权国家所管辖的地区範圍，通常包括一个该国国界（邊境）内的陆地（即领陆）、內水（包括河流、湖泊、内海），以及它们的底床、底土和上空（领空），有时亦会包括领海。 領土與國家存亡有密切關係，因為領土是国家的一部份，形成國家的必要條件，國家行使主權的地域及顯示出國家獨有的主權的方式。.
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迭代函数
在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。.
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迭代法
迭代法（Iterative Method），在计算数学中，迭代是通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的数学过程，为实现这一过程所使用的方法统称。 跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题，例如通过开方解决方程x^2.
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集合
集合可以指：.
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Q.E.D.
#重定向 證明完畢.
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柯西序列
在数学中，一个柯西列或柯西数列是指这样一个数列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。 柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间中柯西列才有意义。在更一般的一致空间中，可以定义更为抽象的柯西滤子和柯西网。 一个重要性质是，在完备空间中，所有的柯西数列都有极限且极限在这空间里，这就让人们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利用柯西列的判别法则证明该数列的极限是存在的。柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。.
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极限
极限可以指：.
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映射
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。 在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。.
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斯特凡·巴拿赫
斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach，），波兰数学家。.
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数学归纳法
数学归纳法（Mathematical Induction、MI、ID）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。.
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