11 关系: 单射,单元素集合,单调函数,复合函数,始对象和终对象,函子,函数,积 (范畴论),笛卡儿积,预序关系,集合范畴。
单射
在數學裡,單射函數(或稱嵌射函數,國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網、一對一函數,英文稱 injection、injective function或 one-to-one function)為一函數,其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說,函數f被稱為是單射的,當對每一陪域內的y,存在至多一個定義域內的x使得f(x).
单元素集合
数学上,单元素集合是由唯一一个元素组成的集合。例如,集合 是个单元素集合。注意,集合诸如 也是单元素集合,唯一的元素是一个集合(这个集合可能本身不是单元素集合)。 一个集合是单元素集合,当且仅当它的势为1。在自然数的集合论定义中,数字 1 就是定义为单元素集合 。 在公理集合论中,单元素集合的存在性是空集公理和对集公理的结果:前者产生了空集 ,后者应用于对集 和 ,产生了单元素集合 。 若 A 是任意集合,S 是单元素集合,则存在唯一一个从 A 到 S的函数,该函数将所有 A 中的元素映射到 S 的单元素。 在范畴论中,单元素集合上构建的结构通常作为终对象或零对象:.
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单调函数
在数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的,如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的,两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中,我们经常说函数是单调递增和单调递减的,在序理论中偏好术语单调、反单调或序保持、序反转。.
复合函数
在数学领域,两个函数的复合函数指一个将第一个函数作用于参数,然后再将第二个函数作用于所得结果的函数。 具体来说,给定两个函数f: X → Y和g: Y → Z,其中f的陪域等于g的定义域(称为f、g可复合),则其复合函数h.
始对象和终对象
在数学领域,范畴C的对象I称为始对象(或初始对象),若对任何对象X,从I到X的态射唯一,或者说,C(I,X)为单元素集合。终对象(或终止对象、终结对象)是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象,若对任何对象X,从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象,则称其为零对象。.
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函子
在範疇論中,函子是範疇間的一類映射。函子也可以解釋為小範疇範疇內的態射。 函子首先現身於代數拓撲學,其中拓撲空間的連續映射給出相應的代數对象(如基本群、同調群或上同調群)的代數同態。在當代數學中,函子被用來描述各種範疇間的關係。「函子」(英文:Functor)一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。卡爾納普使用「函子」這一詞和函數之間的相關來類比謂詞和性質之間的相關。對卡爾納普而言,不同於當代範疇論的用法,函子是個語言學的詞彙。對範疇論者來說,函子則是個特別類型的函數。.
函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係:輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數,若以3作為此函數的輸入值,所得的輸出值便是9。 為方便起見,一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值,則其輸出值一般寫作f(x),讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
积 (范畴论)
范畴论中,积(或直积)的概念提取了集合的笛卡儿积、群的积、环的积、拓扑空间的积等概念的共性。本质上讲,一组对象的积是到这些对象都有态射的对象中最具代表性的。.
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笛卡儿积
在数学中,两个集合X和Y的笛卡儿积(Cartesian product),又称直积,在集合论中表示为X × Y,是所有可能的有序对組成的集合,其中有序對的第一个对象是X的成员,第二个对象是Y的成员。 舉個實例,如果集合X是13个元素的点数集合,而集合Y是4个元素的花色集合,则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合。 笛卡儿积得名于笛卡儿,因為這概念是由他建立的解析几何引申出來.
预序关系
序关系(简称预序,又称先序,preorder)、在数学中,是一类接近于偏序关系的二元关系,但仅满足自反性和传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。.
集合范畴
在範疇論這個數學領域中,集合範疇(標記為 Set)是一個對象為集合的範疇。集合 A 及 B 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。 集合範疇是許多其他範疇(如其態射為群同態的群範疇)的基礎,這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構,並限制其態射為特定函數而成。.
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預序範疇。