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加州大学洛杉矶分校
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加州大學柏克萊分校
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代数几何
代数几何是数学的一个分支。 经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。 代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。 代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。 进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：.
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代数拓扑
代数拓扑（Algebraic topology）是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。.
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剑桥大学
劍橋大學（University of Cambridge；勳銜：Cantab）為一所坐落於英國劍橋市的研究型書院聯邦制大學。劍橋為英語世界中歷史第二悠久的大學，前身是一個於1209年成立的學者協會。這些學者本為牛津大學的一員，但後因與牛津鎮民發生衝突而移居至此。這兩所古老的大學在辦學模式等多方面都非常相似，並經常獲合稱為「牛剑」。 劍橋大學由31所成員書院及6所學術學院組成。雖大學本身為公立性質，但享有高度自治權的書院則屬私立機構。它們有自己的管理架構、收生以及學生活動安排，工作有別於負責教研的大學中央。劍橋大學是多個學術聯盟的成員之一，亦為英國「金三角名校」及劍橋大學醫療夥伴聯盟的一部分，並與產業聚集地的發展息息相關。 除了各學系安排的課堂，劍橋的學生也需出席由書院提供的輔導課程。學校共設八間文藝及科學博物館，並有館藏逾1500萬冊的圖書館系統及全球最古老的大學出版社。除了學習，學生可加入各學會、學團及體育校隊，參與不同的課外活動。劍橋大學校友包括多位著名數學家、科學家、經濟學家、作家、哲學家。共有116位諾貝爾獲獎者、15位英國首相、10位菲爾茲獎得主、6位图灵奖得主曾為此校的師生、校友或研究人員。.
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倫敦數學學會
倫敦數學學會（London Mathematical Society）是英格蘭的主要數學組織。.
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群上同調
在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。.
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群论
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、-zh-hant:體;zh-hans:域-和向量空间等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。 群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。 群论中的重要结果，有限单群分类是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。.
表示论
表示論是數學中抽象代數的一支。旨在將抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設G為群，其在域F（常取複數域F.
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霍奇猜想
霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。.
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拓扑学
在數學裡，拓撲學（topology），或意譯為位相幾何學，是一門研究拓撲空間的學科，主要研究空間內，在連續變化（如拉伸或彎曲，但不包括撕開或黏合）下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲，他在17世紀提出「位置的幾何學」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出，雖然直到20世紀初，拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉，拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域：.
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普林斯顿大学
普林斯顿大学（Princeton University），又译普林斯敦大学，常被直接称为普林斯顿，是一所位於美国新泽西州普林斯顿的私立研究型大学，现为八所常春藤盟校之一。 普林斯顿历史悠久。它成立于1746年，是九所在美国革命前成立的殖民地学院之一，同时也是美国第四古老的高等教育机构。其在1747年移至纽瓦克，最终在1756年搬到了现在的普林斯顿，并于1896年正式改名为“普林斯顿大学”。虽然其旧校名是“新泽西学院”，但它与今天位于邻近的尤因镇（Ewing Township）的“新泽西学院”没有任何关联。此外虽然它最初是长老制的教育机构，但学校从没有跟任何宗教机构有直接的联系，而现在对学生亦无任何宗教上的要求。 普林斯顿现提供各种有关人文、自然科学、社会科学及工程学的本科及研究生课程；它并没有医学院、法学院、神学院及商学院，但能在政治及工程上提供专业课程。大学也与普林斯顿高等研究院及普林斯顿宗教学校有联谊。至今，已经有63位诺贝尔奖得主、17名美国国家科学奖章得主，14名菲尔兹奖得主，13名图灵奖得主，及3名美国国家人文奖章夺得人曾经或现为普林斯顿大学的毕业生或教职员。另外，普林斯顿也是获得最多捐款的学术机构之一。.
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