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26 关系: 基本群，单射，单射、双射与满射，单元素集合，单纯集合，可表函子，双射，始对象和终对象，密着拓扑，不交并，單態射，函数，具體範疇，笛卡儿闭范畴，等势，等变映射，範疇 (數學)，表示论，预序范畴，范畴论，自同态，N-範疇，正规态射，拓撲空間範疇，拓扑群，拉回 (范畴论)。
基本群
在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。帶點拓撲空間的基本群是所有從該點出發的環路的同倫等價類，群運算由環路的銜接給出。 基本群能用以研究兩個空間是否同胚，也能分類一個連通空間的覆疊空間（至多差一個同構）。 基本群的推廣之一是同倫群。.
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单射
在數學裡，單射函數（或稱嵌射函數，國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網、一對一函數，英文稱 injection、injective function或 one-to-one function）為一函數，其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說，函數f被稱為是單射的，當對每一陪域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x).
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单射、双射与满射
在数学定义中，单射、满射和双射是指根据其定义域和陪域的关联方式所区分的三类函数。.
单元素集合
数学上，单元素集合是由唯一一个元素组成的集合。例如，集合 是个单元素集合。注意，集合诸如 也是单元素集合，唯一的元素是一个集合（这个集合可能本身不是单元素集合）。 一个集合是单元素集合，当且仅当它的势为1。在自然数的集合论定义中，数字 1 就是定义为单元素集合 。 在公理集合论中，单元素集合的存在性是空集公理和对集公理的结果：前者产生了空集 ，后者应用于对集 和 ，产生了单元素集合 。 若 A 是任意集合，S 是单元素集合，则存在唯一一个从 A 到 S的函数，该函数将所有 A 中的元素映射到 S 的单元素。 在范畴论中，单元素集合上构建的结构通常作为终对象或零对象：.
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单纯集合
数学裡，单纯集合（simplical set）是范畴同伦论中一个构造，这是“良态”拓扑空间的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自组合拓扑学特别是单纯复形。.
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可表函子
可表函子是在数学中范畴论里的概念，指从任意范畴到集合范畴的一种特殊函子。这种函子将抽象的范畴表达成人们熟知的结构（即集合与函数），从而使得对集合范畴的了解可以尽可能应用到其它环境中。 从另外一个角度看，范畴的可表函子是随范畴而生的。因此，可表函子理论可以视作偏序集合理论中的上闭集合以及群论中的凱萊定理的极大的推广。.
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双射
數學中，一個由集合X映射至集合Y的函數，若對每一在Y內的y，存在唯一一個在X內的x与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，f為雙射的若其為兩集合間的一一對應，亦即同時為單射和滿射。 例如，由整數集合\Z至\Z的函數\operatorname，其將每一個整數x連結至整數\operatorname(x).
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始对象和终对象
在数学领域，范畴C的对象I称为始对象（或初始对象），若对任何对象X，从I到X的态射唯一，或者说，C(I,X)为单元素集合。终对象（或终止对象、终结对象）是始对象的对偶概念。范畴C的对象T称为终对象，若对任何对象X，从X到T的态射唯一。若某对象即是始对象又是终对象，则称其为零对象。.
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密着拓扑
在拓扑学中，带有密着拓扑（trivial topology）的拓扑空间是其中仅有的开集是空集和整个空间的空间。这种空间有时叫做不可分空间（indiscrete space），它的拓扑有时叫做不可分拓扑。在直觉上，这有着所有点都被“粘着在一起”而通过拓扑方式不可区分的推论。.
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不交并
在集合論，一組集合的不交并指的是一種修改過的并集運算，除了普通的并集，還標記了元素的來源。不交并還有另一個意義，指的是兩兩不交的集合的并集。.
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單態射
在範疇論裡，一個態射被稱之為單態射，則該態射為一具左消去律的態射。亦即，給定一單態射，則對所有的態射，均能使得 單態射是單射函數（或稱為一對一函數）在範畤論裡的延伸。單態射的對偶概念為滿態射，後者為滿射函數的延伸。一態射於範疇C 裡為單態射，則該態射於對偶範疇Cop 裡為滿態射。.
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函数
函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).
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具體範疇
在數學裡，具體範疇一般被認為是這樣的一種範疇，其物件為結構性的集合，態射為結構保持的函數，而態射複合則為函數複合。其形式定義並不和此直觀完全吻合。 集合與函數的範疇'''Set''' 當然為一具體範疇，因為每個集合都可以被認為戴有一個「當然結構」。更重要的例子還包括了拓樸空間和連續函數的範疇'''Top'''與群和同態的範疇'''Grp'''。.
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笛卡儿闭范畴
在范畴论中，如果任何积的态射都可通过其某个因子的态射来自然确定，那么称该范畴具有笛卡儿闭性。此类范畴在数理逻辑和程序设计理论中尤为重要。.
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等势
在数学领域中，两个集合 A 和 B 是等势的(equinumerous)，当它们有相同的势的时候，就是说如果存在一个双射 f: A → B。这通常指示为 两个有限集是等势的，当且仅当它们的元素个数相等。 例如， 势的研究中经常叫做等势性(equinumerosity)。有时还使用术语 equipotent 或 equipollent。 在集合范畴中，带有函数作为态射的所有集合的范畴，在两个集合之间的同构正好是一个双射，而两个集合正好是等势的，如果它们在这个范畴中是同构的。.
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等变映射
在数学中，一个等变映射（equivariant map）是两个集合之间与群作用交换的一个函数。具体地，设 G 是一个群，X 与 Y 是两个关联的 ''G''-集合。一个函数 f: X → Y 称为等变，如果 对所有 g ∈ G 与 x ∈ X 成立。注意如果其中一个或两个作用是右作用，则等变条件必须适当地修改： 等变映射是 G-集合范畴（对一个取定的 G）中的同态。从而它们也称为 G-映射或 G-同态。G-集合的同构就是等变双射。 等变条件也能理解为下面的交换图表。注意 g\cdot 表示映射取元素 z 得到 g\cdot z。.
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範疇 (數學)
在範疇論中，範疇此一概念代表著一堆數學實體和存在於這些實體間的關係。對範疇的研究允許其公式化抽象結構及保有結構的數學運算等概念。實際上，範疇在現代數學的每個分支之中都會出現，而且是統合這些領域的核心概念。有關範疇自身的研究被稱做是範疇論。.
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表示论
表示論是數學中抽象代數的一支。旨在將抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設G為群，其在域F（常取複數域F.
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预序范畴
在数学领域，预序范畴（记为Ord）指以全体预序集为对象、其上的全体单调函数为态射的范畴。由于任意单调函数的复合还是单调函数，故其满足构成范畴的前提条件。 Ord的单态射为单射单调函数。 Ord的始对象是空集（空集为预序集），终对象为任意单元素预序集。Ord无零对象。 Ord上的积为笛卡儿积和其上的积序所构成的预序集。 存在从Ord到Set上的遗忘函子。把预序集映射为该集合，把单调函数映射为函数。该遗忘函子为一忠实函子，故Ord为具体范畴。 U.
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范畴论
疇論是數學的一門學科，以抽象的方法來處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化成範疇，並且使用範疇論，令在這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論可以比沒有使用範疇還會更容易敘述及證明。 範疇最容易理解的一個例子為集合範疇，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。 範疇最簡單的例子之一為广群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用于對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。 範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。.
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自同态
在数学中，自同态是从一个数学对象到它本身的态射（或同态）。例如，向量空间V的自同态是线性映射ƒ: V → V，而群G的自同态则是群同态ƒ: G → G，等等。一般地，我们可以讨论任何范畴中的自同态，在集合范畴中，自同态就是从集合S到它本身的函数。 在任何范畴中，X的任何两个自同态的复合也是X的自同态。于是可以推出，X的所有自同态的集合形成了一个幺半群，记为End(X)（或EndC(X)，以强调范畴C）。 X的可逆自同态称为自同构。所有自同构的集合是End(X)的一个子群，称为X的自同构群，记为Aut(X)。在以下的图中，箭头表示蕴含： |- | align.
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N-範疇
在數學中，n-範疇是範疇在高階情形的推廣。（小）n-範疇組成的範疇 n-Cat 以下述方式遞迴定義：.
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正规态射
在範疇論中，正规態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正规態射的範疇稱為正规範疇。.
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拓撲空間範疇
在數學裡，拓撲空間範疇（通常標記為Top）是一個範疇，其物件為拓撲空間，態射為連續函數。拓撲空間範疇符合範疇的公理，因為兩個連續函數的複合函數依然是連續的。研究拓撲空間範疇及運用範疇論的技術來研究拓撲空間的性質之類的學科稱為「範疇拓撲學（categorical topology）」。 注意，有些作者會將Top這個標記用來指物件為拓撲流形，態射為連續函數的範疇。.
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拓扑群
在數學中，拓撲群是群 G 和與之一起的 G 上的拓撲，使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。.
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拉回 (范畴论)
在范畴论中，一个数学分支，拉回（也称为纤维积或笛卡尔方块）是由具有公共上域的两个态射f: X → Z与g: Y → Z组成的图表的极限。拉回经常写作.