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31 关系: 势函数，势能面，博赫纳公式，变分法，实变函数论，容度，中国图书馆分类法 (O1)，庞加莱度量，位势论，微分方程，德拉姆上同调，傅里叶分析，哈纳克定理，狄利克雷问题，鏡像法，菲克定律，調和共軛，調和映射，谢尔顿·阿克斯勒，调和测度，黎曼映射定理，边值问题，舊量子論，赫爾維茨多項式，格林函數，格林恆等式，次调和函数，波列，最大模原理，拉普拉斯算子，拉普拉斯方程。
势函数
势函数可以指：.
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势能面
势能面是物理化学和化学物理中的常见概念，表示某一微观体系的势能和相关参数之间的函数关系，是势能函数的图像，但在通常情况下，势能函数与势能面可以作等同观。常用在量子力学和统计力学中的绝热近似或玻恩-奥本海默近似里，用于对简单化学和物理系统里的化学反应和相互作用进行建模。 体系总势能与原子在空间的排布有关，是原子坐标等参数的函数，可以用一条曲线或一个多维表面表示。狭义的讲，将参数多于一个的势能图像叫做“(超)势能面”，而一维势能函数的图像称为“势能曲线”。势能面的多项式表面形式与它们在势能理论里的应用，有着自然的对应关系，而这种关系牵涉到对这些表面相互之间的调和函数。 例如：Morse势和简谐势阱是量子化学和量子物理中常用的势能曲线。但是这些简单的势能曲线只能用于描述比较简单的化学系统，如氢分子与两氢原子距离之间的关系。对于真实的化学反应，构筑势能面必须考虑反应物和产物分子的所有可能取向，及各取向对应的电子能。 构筑势能面，原则上可以通过量子力学计算得到，也可以通过经验或半经验的方法得到。 Category:计算化学 Category:物理化学.
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博赫纳公式
在微分几何中，博赫纳公式是将黎曼流形 (M, g) 上的调和函数与里奇曲率张量联系在一起的公式。它以美国数学家所罗门·博赫纳的名字命名。.
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变分法
变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为普拉托问题。.
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实变函数论
實分析或實數分析是處理實數及實函數的數學分析。專門實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性，光滑性以及其他相關性質。 實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。.
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容度
在數學中，容度是位勢論裡描述一個集合大小的概念。.
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中国图书馆分类法 (O1)
*O1 数学 ----.
庞加莱度量
数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。 在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。.
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位势论
位勢論是數學的一支，它可以定義為調和函數的研究。.
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微分方程
微分方程（Differential equation，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题 。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力為速度函數的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。.
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德拉姆上同调
数学上，德拉姆上同调（de Rham cohomology）是同时属于代数拓扑和微分拓扑的工具。它能够以一种特别适合计算和用具体的上同调类的方式表达关于光滑流形的基本拓扑信息。它是基于有特定属性的微分形式的存在性的上同调理论。它以不同的确定的意义对偶于奇异同调，以及亚历山大-斯潘尼尔上同调。.
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傅里叶分析
傅里叶分析，是数学的一个分支领域。它研究如何将一个函数或者信号表达为基本波形的叠加。它研究并扩展傅里叶级数和傅里叶变换的概念。基本波形称为调和函数，调和分析因此得名。在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，并在诸多领域得到广泛应用，如信号处理、量子力学、神经科学等。 定义于Rn上的经典傅里叶变换仍然是一个十分活跃的研究领域，特别是在作用于更一般的对象（例如缓增广义函数）上的傅里叶变换。例如，如果在函数或者信号上加上一个分布f，我们可以试图用f的傅里叶变换来表达这些要求。Paley-Wiener定理就是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是紧支撑的一个非零分布，（这包含紧支撑函数），则其傅里叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形式。参看经典调和分析。 在希尔伯特空间，傅里叶级数的研究变得很方便，该空间将调和分析和泛函分析联系起来。.
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哈纳克定理
哈纳克定理（Harnack's principle）是复分析中有关调和函数序列收敛的定理，由哈纳克不等式得到。 假设 u_1(z), u_2(z),...是复平面C的开连通子集G上的调和函数，并且在G中的每一点都有 如果极限 在G上的一点收敛，则在G上处处收敛于调和函数 且收敛在G的任一闭子区域上一致。.
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狄利克雷问题
数学中，狄利克雷问题（Dirichlet problem）是寻找一个函数，使其为给定区域内一个指定的偏微分方程（PDE）的解，且在边界上取预定值。 对许多偏微分方程，狄利克雷问题都可解，但最初是对拉普拉斯方程提出来的。在这种情形下问题可如下表述： 这个条件称为狄利克雷边界条件。最主要的问题是证明解的存在性，因惟一性可利用证明。.
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鏡像法
鏡像法（又称镜像电荷法）是一種解析靜電學問題的基本工具。對於靜電學問題，鏡像法將原本問題的某些元素改換為假想電荷，同時保證仍然滿足定解問題原有的的邊界條件（請參閱狄利克雷邊界條件或諾伊曼邊界條件）。 例如，給定一個由一片無限平面導體和一個點電荷構成的物理系統，這無限平面導體可以被視為一片鏡子，在鏡子裡面的鏡像電荷與鏡子外面的點電荷，所形成的新系統，可以使得導體平面上的電場垂直于導體，與原本系統等價。藉此方法，我們可以將問題簡化，很容易地計算出導體外的電勢、導體的表面感應電荷密度、總感應電荷等等。 镜像法的有效性是的必然结果，该定理指出如果指定了在体积 V 的整个区域内的电荷密度和 V 的所有边界上的电位值，区域 V 内的电位唯一确定。另外，应用此结果到高斯定理的微分形式就能表明，在由导体包围的包含电荷密度为 ρ 的体积 V 中，如果每个导体所带电荷已经给出，那么电场是唯一确定的。拥有电势或电场的信息以及相应边界条件，只要在指定区域的电荷分布满足泊松方程并设定正确的边界值，我们就可以把我们考虑的电荷分布换为更容易分析的结构。.
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菲克定律
菲克定律描述擴散作用，可以使用這條定律來求得擴散係數，D。定律由阿道夫·菲克於1855年推導出來。.
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調和共軛
在數學中，調和共軛（Harmonic conjugate）是針對函數的概念。定義在開集\Omega\subset\R^2中的函數u(x,\,y)，另一個函數v(x,\,y)為其共軛函數的充份必要條件是u(x,\,y)和v(x,\,y)需要是全純函數 f(z)（z.
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調和映射
數學上，在黎曼流形M和N之間的一個（光滑）映射，稱為調和映射，如果這個映射是狄利克雷能量泛函 的一個臨界點。 試想像M是橡膠做的，N是大理石做的，形狀由其度量決定，而映射φ:M→N給出把橡膠「貼附」在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡膠的張力產生的彈性位能。用這個比喻，φ稱為調和映射，如果把橡膠「鬆開」，但仍限制要處處與大理石接觸時，那麼橡膠已經在平衡的位置，所以不會「縮回」到另一個形狀。 從完備黎曼流形到非正截面曲率的完備黎曼流形存在調和映射，這個結果是證出。.
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谢尔顿·阿克斯勒
谢尔顿·杰·阿克斯勒(Sheldon Jay Axler，)是一名美国数学家和数学教育家，主要研究方向为泛函分析与复变函数论之间的联系。他现任旧金山州立大学科学与工程学院主任，著有知名教材《线性代数应该这样学》(Linear Algebra Done Right)。 阿克斯勒生于美国费城。1967年，他就读于佛罗里达州迈阿密的帕尔梅托高中(Palmetto High School)。1971年，他以最高殊荣获得了普林斯顿大学的数学学士学位。1975年，他在当纳德·萨拉森(Donald Sarason)指导下获得了加州大学柏克莱分校数学博士学位，论文题为《L∞的子代数》("Subalgebras of L∞")。他的博士后工作是在麻省理工学院担任。 他在密歇根州立大学执教多年，并评上了终身教授。1991年，密歇根州立大学授予他“杰出教员奖”(Distinguished Faculty Award)。1997年，阿克斯勒前往旧金山州立大学工作，并于2002年担任该校数学系主任(Chair of the Mathematics Department)。他也是《美国数学月刊》的助理编辑和《》的主编。2012年，他入选美国数学学会会员。1996年，美国数学协会为表彰他写的小作品《Down with Determinants!》授予他。 阿克斯勒原于1995年所著的《线性代数正确搞法/线性代数应该这样学》(Linear Algebra Done Right)现已成为一本享誉世界的名著，被全球超过120所大学当作课本使用。书中抛弃了以行列式为主的传统讲法，而是直接紧扣线性代数中最核心的算子理论。而且该书风格现代，讲解注重语言通俗与形象化，内容与线性泛函分析的理论直接接轨。后来布朗大学教授赛日·特瑞尔(Sergei Treil)也针锋相对地写了一本《线性代数错误搞法》(Linear Algebra Done Wrong)，并免费提供下载。特瑞尔写的是以行列式知识为主的传统风格线性代数教材。但他在前言中称自己的书也有独到之处。比如他认为“基底”比“线性相关”的概念更为重要，于是比一般教材更早地引入了基与线性变换的概念。.
调和测度
數學中，調和測度是調和函數理論中出現的一個概念。给定了一个解析函数的模在一个区域 D 边界上的界，能用调和测度去估计函数在区域内部的模。在一个非常相关的领域，一个伊藤扩散 X 的调和测度描绘了 X 撞击 D 边界的分布。.
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黎曼映射定理
在數學中，黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，此定理分類了\mathbb的單連通開子集。.
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边值问题
在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。 物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。許多重要的边值问题屬於Sturm-Liouville問題。這類問題的分析會和微分算子的本徵函數有關。 在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解會隨著初始值連續的變化）。許多偏微分方程領域的理論提出是為要證明科學及工程應用的許多边值问题都是适定問題。 最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，後來是用狄利克雷原理找到相關的解。.
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舊量子論
舊量子論是一些比現代量子力學還早期，出現於1900年至1925年之間的量子理論。雖然並不很完整或一致，這些啟發式理論是對於經典力學所做的最初始的量子修正。舊量子論最亮麗輝煌的貢獻無疑應屬波耳模型。自從夫朗和斐於1814年發現了太陽光譜的譜線之後，經過近百年的努力，物理學家仍舊無法找到一個合理的解釋。而波耳的模型居然能以簡單的算術公式，準確地計算出氫原子的譜線。這驚人的結果給予了科學家無比的鼓勵和振奮，他們的確是朝著正確的方向前進。很多年輕有為的物理學家，都開始研究量子方面的物理。因為，可以得到很多珍貴的結果。 直到今天，舊量子論仍舊有聲有色地存在著。它已經轉變成一種半古典近似方法，稱為WKB近似。許多物理學家時常會使用WKB近似來解析一些極困難的量子問題。在1970年代和1980年代，物理學家Martin Gutzwiller發現了怎樣半經典地解析混沌理論之後，這研究領域又變得非常熱門。（參閱量子混沌理論 (quantum chaos)）。.
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赫爾維茨多項式
赫爾維茨多項式（Hurwitz polynomial）得名自德國數學家阿道夫·赫維茲，是一種特殊的多項式，其係數為正值，而且其根解都在複數平面的左半邊或是在虛軸上，也就是根的實部均為負數或是零。有時此一用語會將多項式根的實部限制為只允許負值，也就是解不能在虛軸上（赫爾維茨穩定多項式）。 若以下二個條件皆成立，複變數s 的多項式P(s)為赫尔维茨多項式： 赫爾維茨多項式在中非常重要，其表示穩定線性非時變系統的特徵多項式。多項式是否赫爾維茨多項式可以直接求解方程式，或是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据求得。.
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格林函數
在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种，有时并不符合数学上的定义。 格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。.
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格林恆等式
格林恆等式（Green's identities）乃是向量分析的一組共三條恆等式，以發現格林定理的英國數學家喬治·格林命名。.
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次调和函数
次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。 次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。 若將以上的「不大於」改為「不小於」，就可以定義過調和函數（Superharmonic）。過調和函數其實就是次调和函数的加法逆元，因此有關次调和函数的性質都可以轉換為過调和函数的對應性質。 Category:位势论 Category:复分析.
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波列
在一維空間裡，波列（wavetrain）是一種延伸與移動於空間的波動，在任意時刻，可以用周期函數來描述。諧波是用調和函數來描述的無限延伸波列。普通光源是由很多微小的原子組成，這些原子重複地被激發至能量較高的激發態，然後躍遷至能量較低的穩定態；在這持續大約10-8秒的過程中，會發射出有限延伸光波列，只含有有限個光波振盪。普通光源所發射出的光波是由很多有限波列組成，這光波的相干性最多不超過10-8秒。.
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最大模原理
在复分析中，最大模原理说明如果单变量复变函数 f 是一个全纯函数，那么它的模 |f| 的局部最大值不可能在其定义域的内部取到。 换句话来说，全纯函数 f 要么是常数函数，要么对于任意的在其定义域之内的 z0，都存在一个足够靠近它的点 z，使得 f 在后者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)0| 更大。.
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拉普拉斯算子
在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 \Delta 、 \nabla^2 或 \nabla \cdot \nabla 。 這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f.
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拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学、熱力學和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电場、引力場和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。.
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