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加倍空間
數學上，一個帶有度量d的度量空間X稱為加倍空間，若存在常數M > 0，使得對X中任何點x和任何r > 0，中心為x，半徑為r的球B(x, r).
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小波分析
小波分析（wavelet analysis）或小波轉換（wavelet transform）是指用有限長或快速衰減的、稱為「母小波」（mother wavelet）的振盪波形來表示信號。該波形被縮放和平移以匹配輸入的信號。 「小波」（wavelet）一詞由Morlet和Grossman在1980年代早期提出。他們用的是法語詞ondelette，意思就是「小波」。後來在英語裡，「onde」被改為「wave」而成了wavelet。 小波變換分成兩個大類：離散小波變換（DWT） 和連續小波轉換（CWT）。兩者的主要區別在於，連續變換在所有可能的縮放和平移上操作，而離散變換採用所有縮放和平移值的特定子集。 小波理論和幾個其他課題相關。所有小波變換可以視為時域頻域表示的形式，所以和調和分析相關。所有實際有用的「離散小波變換」使用包含有限脈衝響應濾波器的濾波器段（filter band）。構成CWT的小波受海森堡的測不準原理制約，或者說，離散小波基可以在測不準原理的其他形式的情境中考慮。.
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分析 (消歧义)
分析是将复杂的话题或事物逐渐拆分的过程。 分析还可以指：.
王漢宗
王漢宗是台灣中原大學應用數學系的副教授，專長於泛函分析、調和分析、影像處理。他廣為人所認知，是因為他把研究天蠶字型的部份成果開放出來，成為開源的「王漢宗自由字型」。.
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群
在數學中，群是由一個集合以及一個二元運算所組成的，符合下述四个性质（称为“群公理”）的代數結構。这四个性质是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。 群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的组成的中心原理。 群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的如此描述物体的對稱特征：它是保持物體不變的變換的集合。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。 群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式（群的表示）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。.
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特徵標理論
在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的特徵標（character）是指一個將群的每個元素連結至表示空間這個域內的每個元素之函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。 特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。.
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調和分析
調和分析（Harmonic analysis）也稱為諧波分析，是數學中的一個分枝，是由基本波的叠加來表示其他函数或是信號，並且研究及擴展傅里叶级数及傅里叶变换（也是傅里叶分析的擴展）。自十九世紀以來，調和分析已用在許多的領域中，像是信號處理、量子力學、及神经科学。 Rn以下的經典傅里叶变换目前仍然是一個正在研究的領域，特別是將傅里叶变换應用在一些較廣義的概念下，例如缓增广义函数（tempered distribution）。例如若在某一分佈f上加上一些條件，也會試圖將此條件轉換到f的傅里叶变换上。即為此例。培力-威納定理指出若f是一個緊支撐下的非零分布（這裡包括緊支撐下的函數），則其傅里叶变换一定不會是緊支撐。這是調和分析下不确定性原理的一個基本形式。 調和分析中的調和（harmonic，或稱為諧波）起源自古希臘文harmonikos，意思是「有音樂上的技巧」。在物理的特徵值問題中，開始用harmonic一詞表示某些特定的波，其頻率是其他波頻率的整數倍，就像泛音列的頻率是第一泛音的整數倍一様，後來這個詞也漸漸擴展，超過原來的意思。 傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式來進行研究，因此調和分析和泛函分析也有一些關係。.
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諾伯特·維納
諾伯特·維納（Norbert Wiener，），生於美國密蘇里州哥倫比亞，美国應用數學家，在電子工程方面貢獻良多。他是隨機過程和噪声信号处理的先驅，又提出「控制論」一詞。.
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高斯和
在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為 其中 R 為有限交換環，\psi: (R,+) \to \mathbb^1 為同態，\chi: (R^\times,*) \to \mathbb^1 亦為同態，對於 r \notin R^\times，可定義 \chi(r).
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讓·布爾甘
讓·布爾甘（Jean Bourgain，），生於奧斯滕德，比利時數學家。他在1994年獲菲爾茲獎，表揚他研究巴拿赫空間、調和分析和遍歷理論的成果。他曾於伊利諾伊大學厄巴納-香檳分校任教，現於普林斯頓高等研究院。 他於1977年在荷語布魯塞爾自由大學取得博士學位。 2000年，他將掛谷問題與算術組合學拉上關係。 2009年他獲選為瑞典皇家科學院的外籍院士。2010年他獲得邵逸夫獎數學科學獎。 2012年他获得克拉福德奖数学奖。.
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賦值向量環
在數論中，賦值向量環或阿代爾環（法文：adèle，英譯多用原文）是由一個域 F 的所有完備化構成的拓撲環 \mathbb_F，原域 F 可以對角方式嵌入其中。 在現代代數數論中，賦值向量環是處理整體問題的基本語言。 法文原文 adèle 是 idèle additif 的縮寫，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常見的女性名字。.
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龐特里亞金對偶性
在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：.
量子力學的數學表述
量子力学的数学表述是对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪初发展起来的旧量子论的数学形式不同，它使用了一些抽象的代数结构，如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的算子。这些结构中有许多源于泛函分析。这一纯粹数学研究领域的发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要。简而言之，物理可观察量的值，如能量和动量的值不再作为相空间上的函数值，而是作为本征值，或者更为精确地来说是希尔伯特空间中线性算子的谱值。 这一表述体系一直沿用至今。该体系的核心为“量子态”和“可观察量”这两个概念。对于原子尺度的系统来说，这两个概念与之前用来描述物理现实的模型大相径庭。虽然数学上允许对许多量的计算结果进行实验测量，但是实际上，在对于符合一定条件的两个物理量同时进行精确测量时，却存在一个理论性限制——不确定性原理。这一原理由维尔纳·海森堡通过思想实验首次阐明，且在该体系中以可观察量的不可交换性进行表述。 在量子力学作为一支独立理论形成之前，物理学中用到的数学理论主要是以微积分为源头、后来又添以微分几何与偏微分方程的数学分析。统计力学中还用到概率论。几何直观在这两个理论中扮演重要角色。相对论中的许多概念和方法也是基于几何理论。量子物理学中对于实验现象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年间开始逐步形成。其中具有代表性的思想为波粒二象性。但在量子理论形成之前的10至15年中，物理学家仍然在经典物理学的框架内思考量子理论，所基于的数学结构也是完全相同的。其中具有代表性的例子是玻尔-索末菲量子化条件。这一原理完全建构于经典框架中的相空间。.