目录
27 关系: 向量空间的维数，外代数，奇函數與偶函數，子空間，子空间 (线性代数)，子流形，不变子空间，不变子空间问题，哈恩－巴拿赫定理，商空间 (线性代数)，線性泛函，线性代数基本定理，线性生成空间，特征值和特征向量，节丛，行空间与列空间，餘維數，辛向量空间，迷向二次型，舒尔分解，零空间，李代數，核 (线性算子)，格拉斯曼流形，正交，正交补，旋轉群。
向量空间的维数
数学中, 向量空间 V 的维数是 V 的基底的势或基数.
外代数
外代数（Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念赫爾曼·格拉斯曼。 数学上，给定向量空间V的外代數，是特定有单位的结合代数，其包含了V为其中一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ•(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本性質是它在V上交錯的，也就是： 这表示 注意这三个性质只对 V 中向量成立，不是对代数Λ(V)中所有向量成立。 外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。Λ(V)的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。 形式为v1∧v2∧…∧vk的元素，其中v1,…,vk在V中，称为k-向量。所有k-向量生成的Λ(V)的子空间称为V的k-阶外幂，记为Λk(V)。外代数可以写作每个k阶幂的直和： 该外积有一个重要性质，就是k-向量和l-向量的积是一个k+l-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由k给出。这些k-向量有几何上的解释：2-向量u∧v代表以u和v为边的带方向的平行四边形，而3-向量u∧v∧w代表带方向的平行六面体，其边为u, v, 和w。 外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。.
查看 线性子空间和外代数
奇函數與偶函數
在數學裡，偶函數和奇函數是滿足著相對於加法逆元之特定對稱關係的函數。這在數學分析的許多領域中都很重要，特別是在冪級數和傅立葉級數的理論裡。其命名是因為冪函數的冪的奇偶性滿足下列條件：若n為一偶數，則函數xn是偶函數，若n為一奇數，則為奇函數。.
子空間
子空間有多個意義，出現在不同領域。.
查看 线性子空间和子空間
子空间 (线性代数)
#重定向 线性子空间.
子流形
数学上，流形M的子流形是子集S，且本身也有流形的结构，并且内含映射S → M满足特定属性。根据具体所需的属性，有各种不同类型的子流形。不同作者经常采用不同的定义。.
查看 线性子空间和子流形
不变子空间
数学上，一个从某个线性空间 V 到自身的线性变换 的不变子空间是V的一个子空间W使得T(W)包含于W。T的一个不变子空间也称为是 T－不变的。 若W为T－不变，我们限制T到W上得到一个新的线性变换 不变子空间的存在使得对于T的研究变得更为简单。 当然 V 本身，和子空间，是每个线性算子T: V \rightarrow V的平凡不变子空间。对于特定的线性算子，可能没有非平凡的不变子空间；譬如考虑二维实向量空间的旋转。 另一个例子是：令\textbf为T的一个特征向量，也即T\textbf.
查看 线性子空间和不变子空间
不变子空间问题
数学领域泛函分析中，最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题，有时被乐观地称为不变子空间猜想。这个问题就是如下命题是否成立： 该命题对于所有2维以上有限维复向量空间是成立的：一个线性算子（矩阵）的特征值是其特征多项式的零点；根据代数基本定理，这个多项式存在零点；一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间。该命题也很容易成立如果W不必是闭的：取任意H中非零向量x并考虑H的由线性张成的子空间W.
哈恩－巴拿赫定理
在泛函分析中，哈恩-巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。.
商空间 (线性代数)
在线性代数中，一个向量空间V被一个子空间N的商是将N“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间（quotient space），记作V/N（读作 V模N）。.
線性泛函
在線性代數中，線性泛函是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 \mathbbR^n ，若向量空間的向量以列向量表示；線性泛函則會以行向量表示，在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地，如果 V 是域 k 上的向量空間，線性泛函 f 是一个从 V 到 k 的函数，它有以下的线性特性： 所有從 V 到 k 的線性泛函集合, 記為 \operatorname_k(V,k), 本身即為一向量空間，稱為 V 的 (代數)對偶空間。.
查看 线性子空间和線性泛函
线性代数基本定理
线性代数基本定理是秩为r的m×n 矩阵A的奇异值分解: 对于矩阵A \in \mathbf^ (A 有m列及n行)产生了四个基本线性子空间: 子空间名字 定义 包含于 维数 基 列空间, 值域或像 \mathrm(A) 或\mathrm (A) \mathbf^m r (秩) \mathbf的前r列 零空间 or 核 \mathrm(A) 或\mathrm (A) \mathbf^n n - r 零化度(nullity) \mathbf的最后(n - r)列 行空间或余象 \mathrm(A^T)或\mathrm (A^T) \mathbf^n r (秩) \mathbf^T的前r行 左零空间或上核 \mathrm(A^T) or \mathrm (A^T) \mathbf^m m - r 上核(corank) \mathbf^T的最后(m - r)行 Secondly.
线性生成空间
在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集的线性生成空间（linear span，也称为线性包 linear hull），是所有包含这个集合的线性子空间的交，从而一个向量集的线性生成空间也是一个向量空间。.
查看 线性子空间和线性生成空间
特征值和特征向量
在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的矩阵A，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量或本征向量）v 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的v 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即 \lambda為純量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称\lambda 为其特征值（本征值）。如果特徵值為正，则表示v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特徵值為負，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如\textstyle E_\lambda.
节丛
在微分几何中，节丛(jet bundle，或称射流丛、射丛)是一种特殊的构造，从给定的光滑纤维丛建立一个新的光滑纤维丛。它使得在纤维丛的截面上用一种不变形式来表达微分方程成为可能。 历史上，节丛归功于埃雷斯曼，它是嘉当的延长方法上的一个进步，该方法通过在新引入的形式化变量上加入微分形式条件的办法来以几何方式处理高阶导数。节丛有时候也称为喷射(sprays)。.
查看 线性子空间和节丛
行空间与列空间
x 且上式以矩阵乘法的角度看是显然的。两次变换简言之：.
餘維數
數學中，餘維數（codimension）是一個基礎幾何學概念，使用在向量空間中的子空間上，且更廣義地，使用在流形中的子流形上，以及代數簇適當的子集合上。 若 W 是一向量空間 V 的一個線性子空間，則 W 在 V 的 餘維數是商空間 V/W 的維數。若V是有限維的，則 Y Y Y Y.
查看 线性子空间和餘維數
辛向量空间
数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足：.
查看 线性子空间和辛向量空间
迷向二次型
在数学中，一个域 F 上的二次型称为迷向（isotropic）的如果在一个非零向量上取值为零。不然称为非迷向（anisotropic）的。更具体地，如果 q 是域 F 上向量空间 V 上一个二次型，则 V 中一个非零向量 v 称为迷向的如果 q(v).
查看 线性子空间和迷向二次型
舒尔分解
在线性代数中，舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家。.
查看 线性子空间和舒尔分解
零空间
在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av.
查看 线性子空间和零空间
李代數
数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。.
查看 线性子空间和李代數
核 (线性算子)
在线性代数与泛函分析中，一个线性算子 L 的核（kernel）是所有使 L(v).
格拉斯曼流形
在数学中，格拉斯曼流形是一个向量空间 V 的给定维数的所有线性子空间。例如，格拉斯曼流形 Gr1(V) 是 V 中过原点直线的空间，从而与射影空间 PV 相同。格拉斯曼流形以赫尔曼·格拉斯曼命名。.
查看 线性子空间和格拉斯曼流形
正交
正交是线性代数的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。.
查看 线性子空间和正交
正交补
在数学领域线性代数和泛函分析中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补 W^\bot 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是 正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说 如果 A 是 m \times n 矩阵，而 \mbox A, A 和 \mbox A 分别指称行空间、列空间和零空间，则有 和.
查看 线性子空间和正交补
旋轉群
在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。 兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。.
查看 线性子空间和旋轉群