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2 关系: 紧算子，阿尔泽拉－阿斯科利定理。
紧算子
在数学分支泛函分析中，一个紧算子(Compact operator)是从巴拿赫空间X到另一个巴拿赫空间Y的线性算子L，使得在L的作用下X的任意有界子集的的像集是Y的相对紧子集。这样的算子必然是有界算子，因此是连续的。 任意有限秩的有界算子L是紧算子; 事实上，紧算子是有限秩算子在无限维情形下的自然推广。 当Y是希尔伯特空间时，任意紧算子都是有限秩算子的极限，因此紧算子集合可以被替换地定义为有限秩算子在算子范数意义下的闭包。这一性质对于巴拿赫空间（渐进性）是否成立是多年来未解决的问题; 最后Per Enflo给出了一个反例。 紧算子理论的起源于积分方程理论，积分算子给出这样算子的具体例子。 典型的Fredholm积分方程给出函数空间上的紧算子K; 紧性由等度连续性得出。 利用有限秩算子近似是数值求解这种方程的基本方法。 Fredholm算子的抽象概念也由此得出。.
阿尔泽拉－阿斯科利定理
在数学中，阿尔泽拉－阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理，给出了一个从紧致度量空间射到度量空间的函数集合是否在关于一致收敛的拓扑意义上是紧集的充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家阿斯科利（1883年－1884年） 和阿尔泽拉（1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中证明了定理中关于连续函数集成为紧集的充分条件的部分，而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分：成为紧集的必要条件，并首次给出了定理的完整证明。而不久之后，在1906年，法国数学家弗雷歇又将这个定理进行了推广，使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果（比如度量空间或豪斯多夫空间）。 在阿尔泽拉-阿斯卡利定理被首次证明的年代，人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入，紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念，而此定理就描述了紧致性。 该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环，也是複分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外，彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理。.
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