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51 关系: 单调函数，吸收律，同餘關係，合一，实变函数论，完备性，完全偏序，完全格，完全海廷代数，中国图书馆分类法 (O1)，常數函數，布尔代数，布尔素理想定理，并运算，亚铁磁性，序理论，交运算，代数结构，伽罗瓦连接，分配律，分配格，克纳斯特－塔斯基定理，剩余格，四元數，理想 (序理论)，稀疏有條件的常數傳播，约翰·冯·诺伊曼，结构，相对有补格，隸屬函數，补运算，阿尔弗雷德·塔斯基，集合代数，逆序对，抽象代数逻辑，抽象释义，极限保持函数，李仁实，格，格规约，模形式，滤子 (数学)，本体 (信息科学)，本体语言，有界格，有补格，最大下界，最小上界，海廷代数，数学学科分类标准，... 扩展索引 (1 更多) »
单调函数
在数学中在有序集合之间的函数是单调（monotone）的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调、反单调或序保持、序反转。.
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吸收律
在抽象代数中，吸收律是连接一对二元运算的恒等式。 任何两个二元运算比如 $ 和 %，服从吸收律如果: 运算 $ 和 % 被称为对偶对。 设有某个集合闭合在两个二元运算下。如果这些运算是交换律、结合律的，并满足吸收律，结果的抽象代数就是格，在这种情况下这两个运算有时叫做交和并。因为交换律和结合律经常是其他代数结构的性质，吸收律是格的定义性质。由于布尔代数和 Heyting代数是格，它们也服从吸收律。 因为经典逻辑是布尔代数的模型，直觉逻辑是 Heyting代数的模型，吸收律对分别指示逻辑或和逻辑与的运算 \vee 和 \wedge 成立，因此.
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同餘關係
在数学特别是抽象代数中，同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系。.
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合一
本文有关计算机科学主题。其他学科的条目参见合一 (消歧义)。 在数理逻辑中，特别是应用于计算机科学中，两个项的同一是就特殊化次序而言的并(格的最小上界), 就是说，我们在项的集合上假定一个预序，其中 t* ≤ t 意味着 t* 是通过代换(substitute)在 t 中某些项的一个或多个自由变量而从 t 获得的。s 和 t 的同一 u，如果存在的话，是 s 和 t 二者的代换实例的一个项。s 和 t 的任何公共的代换实例也是 u 的实例。 例如，对于多项式 X2 和 Y3 可以通过采纳 X.
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实变函数论
實分析或實數分析是處理實數及實函數的數學分析。專門實數函數及數列的解析特性，包括實數數列的極限，實函數的微分及積分、連續性，光滑性以及其他相關性質。 實分析常以基礎集合論，函數概念定義等等開始。.
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完备性
在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。.
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完全偏序
在数学中，有向完全偏序和完全偏序是两种特殊的偏序集合，分别简写为 dcpo 和 cpo。它们特征化自特定的完备性性质。dcpos 和 cpos 是序理论的概念，主要应用于理论计算机科学和指称语义。.
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完全格
在数学中，完全格是在其中所有子集都有上确界（并）和下确界（交）的偏序集。完全格出现于数学和计算机科学的很多应用中。作为格的特殊实例，在序理论和泛代数中都有所研究。 完全格一定不能混淆于完全偏序（cpo），它构成严格的更加一般的一个偏序集合类别。更特殊的完全格是完全布尔代数和完全Heyting代数（locale）。.
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完全海廷代数
在数学特别是序理论中，完全海廷代数是作为完全格的海廷代数。完全海廷代数是三个不同范畴的对象，它们是范畴CHey，locales的范畴Loc，它的对偶frames的范畴Frm。.
中国图书馆分类法 (O1)
*O1 数学 ----.
常數函數
在数学中，常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x).
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布尔代数
在抽象代数中，布尔代数(Boolean algebra)是捕获了集合运算和逻辑运算二者的根本性质的一个代数结构（就是说一组元素和服从定义的公理的在这些元素上运算）。特别是，它处理集合运算交集、并集、补集；和逻辑运算与、或、非。 例如，逻辑断言陈述a和它的否定¬a不能都同时为真， 相似于集合论断言子集A和它的补集AC有空交集， 因为真值可以在逻辑电路中表示为二进制数或电平，这种相似性同样扩展到它们，所以布尔代数在电子工程和计算机科学中同在数理逻辑中一样有很多实践应用。在电子工程领域专门化了的布尔代数也叫做逻辑代数，在计算机科学领域专门化了布尔代数也叫做布尔逻辑。 布尔代数也叫做布尔格。关联于格（特殊的偏序集合）是在集合包含A ⊆ B和次序 a ≤ b之间的相似所预示的。考虑的所有子集按照包含排序的格。这个布尔格是偏序集合，在其中 ≤ 。任何两个格的元素，比如p .
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布尔素理想定理
素理想定理（prime ideal theorem）即保证在给定的抽象代数中特定类型之子集的存在性之數學定理。常见的例子就是布尔素理想定理（Boolean prime ideal theorem），它声称在布尔代数中的理想可以被扩展成素理想。这个陈述对于在集合上的滤子的变体叫做叫做超滤子引理。通过考虑不同的带有适当的理想概念的数学结构可获得其他定理，例如环和（环论的）素理想，和分配格和（序理论的）的极大理想。本文关注序理论的素理想定理。 尽管各种素理想定理可能看起来简单且直觉，它们一般不能从策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理推导出来。反而某些陈述等价于选择公理（AC），而其他的如布尔素理想定理，体现了严格弱于AC的性质。由于这个在ZF和ZF+AC (ZFC)之间的中介状态，布尔素理想定理经常被接受为集合论的公理。经常用缩写BPI（对布尔代数）或PIT提及这个额外公理。.
并运算
在数学中，集合上的并(join)可以用两种方式定义：关于这个集合上的偏序的唯一上确界(最小上界)，假定这种上确界存在的话；或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果，除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是格。 x 和 y 的并通常被指示为 x \lor y。.
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亚铁磁性
在物理学中，亚铁磁性物质为不同亚晶格的原子磁矩呈相反的物质，如在反铁磁性中；然而，在亞铁磁性物质中，相反的磁矩不相等，存在自发磁化。该情况发生于，当亚晶格是由不同的材料或不同价态的铁组成时（例如Fe2+和Fe3+）。 亚铁磁性物质像铁磁性一样，在居里点以下保持暂态磁性，在该温度以上无磁性序列（顺磁性）。但是，有时候在一个低于居里点的温度，两种亚晶格有相同大小的磁矩，从而导致净磁矩为零；该现象被称为磁抵消点。该抵消点在石榴石和稀土金属——过渡金属混合物（RE-TM）中，容易被观测到。于此同时，亚铁磁可能还存在角动量抵消点，此时其净角动量为零。该抵消点对于磁记忆设备在达到高速反向磁化是一个重要的点。.
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序理论
序理论是研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系的数学分支。.
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交运算
在数学中，在一个集合上的交(meet)有两种定义：关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界)，假定下确界存在的话； 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下，这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果，除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是格。 通常把 x 和 y 的交指示为 x \land y。.
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代数结构
在泛代数中代数结构是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。 例如，群、环、域、和格的代数结构。更复杂的结构可以被定义为通过引入多个操作，不同的基础集，或通过改变限定公理。更复杂的代数结构的实例包括向量空间，模和代數 (環論)。关于代数结构的的详细情况，参见各个链接。 一个代数结构包含集合及符合某些公理的运算或关系。 集U上定义二元运算形成的系统称为代数系统，如果对于任意a,b∈U,恒有（a·b)∈U。二元运算可推广至多元运算F,则相应的封闭性要求则改为：对于任意a,b,c,d,……∈U,恒有F(a,b,c,d,……)∈U。有的书上对封闭性未作要求，并称之为广群。运算f是一个从A×B→C的映射，若A.
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伽罗瓦连接
在数学中，特别是在序理论中，伽罗瓦连接是在两个偏序集（"poset"）之间的特殊的对应。伽罗瓦连接一般化了伽罗瓦理论中在子群和子域之间的对应。它们用于各种数学理论和编程理论中。 伽罗瓦连接要弱于在涉及到的两个偏序集之间的同构，但是所有的伽罗瓦连接都引发特定在两个子偏序集之间的同构。.
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分配律
在抽象代数中，分配律是二元运算的一个性质，它是基本代数中的分配律的推广。.
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分配格
设(L, \vee, \wedge)是一个格，若对于任意的a, b, c \in L有 则称L为分配格。 上述两个等式互为对偶式，根据格的对偶原理，在证明一个格是分配格时只需证明其中任意一个等式即可。 设(L, \vee, \wedge)是一个格，L为分配格当且仅当对于任意的a, b, c \in L，若a \vee b.
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克纳斯特－塔斯基定理
在数学领域序理论和格理论中，Knaster–Tarski 定理，得名于 Bronisław Knaster 和阿尔弗雷德·塔斯基，它声称: 这个定理的一种逆命题由 Anne C. Davis 证明了: 如果所有次序保持函数 f: L → L 有不动点，则 L 是完全格。.
剩余格
在抽象代数中，剩余格是既为格又为幺半群的代数结构，使得幺半群乘法的每个自变量都是关于这个格次序的伽罗瓦连接的一极。它的一般概念是Ward和Dilworth在1939年介入的。某些例子先于一般概念而存在，包括布尔代数、Heyting代数、剩余布尔代数、关系代数和MV-代数。剩余半格省略了交运算∧，比如克莱尼代数和作用代数。.
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四元數
四元數是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。 從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數就代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。 i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0.
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理想 (序理论)
在数学分支序理论中，理想是偏序集合的一個特殊子集。尽管这个术语最初演化自抽象代数中环理想概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于序理论和格理论中的很多构造是非常重要的。.
稀疏有條件的常數傳播
在電腦科學的領域，稀疏有條件的常數傳播（sparse conditional constant propagation）是一個优化的技術，常用在以静态单赋值形式（SSA）進行最佳化的編譯器，它可以移除程式中一些無用的程式碼以及進行常數傳播。然而，它比起死碼刪除以及常數傳播更加的強大。 這個演算法在SSA中藉由實現程式碼的抽象释义來運作。在實現抽象釋義的過程中，它使用常數的格（Lattice）以及在全域環境對應SSA變數到這個格的數值，演算法的關鍵在於它如何處理分支指令的詮釋，當意外發生，分支的狀態盡可能評估最佳的方式，使綁定變數的抽象數值更加的精確。在需要數值要絕對精確的案例之下，抽象執行可以決定分支的方向。如果數值不是常數，或是一個變數在為定義的狀態，那麼兩個分支的方向必須都保留。 完成後的抽象表現，指令不會到達被標注為死碼的程式區段，SSA變數在常數會使用到的地方可能會以內連（inline）的方式實現。.
约翰·冯·诺伊曼
约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann，，，），原名诺依曼·雅诺士·拉约士（Neumann János Lajos，），出生於匈牙利的美國籍猶太人数学家，现代電子計算機与博弈论的重要创始人，在泛函分析、遍历理论、几何学、拓扑学和数值分析等众多数学领域及計算機學、量子力學和经济学中都有重大貢獻。 冯·诺伊曼从小就以过人的智力与记忆力而闻名。冯·诺伊曼一生中发表了大约150篇论文，其中有60篇纯数学论文，20篇物理学以及60篇应用数学论文。他最后的作品是一个在医院未完成的手稿，后来以书名《》发布，表现了他生命最后时光的兴趣方向。 “诺依曼”和“诺伊曼”2种同音不同字的德音汉语译名写法都比较常见。另外也有资料采用其英音汉语译名“冯纽曼”。.
结构
结构是指在一个系統或者材料之中，互相关联的元素的排列、组织。材料结构包括了诸如建筑物、机器在内的人造物体，以及生物、礦物和化学物质在内的天然物质。抽象的结构则包括计算机科学和音樂形式的数据结构等。结构按类別可分为等级结构（有层次地排列，由上至下，一对多）、网络结构（多对多）、晶格结构（临近的个体互相连接）等。.
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相对有补格
在数学中，相对有补格是一个格 L，在对于所有在 L 中有着 a ≤ b ≤ c 的 a, b, c，有在 L 中的某个 x 使得 x ∨ b.
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隸屬函數
屬函數（membership function）也稱為歸屬函數或模糊元函數，是模糊集合中會用到的函數，是一般集合中指示函數的一般化。指示函數可以說明一個集合中的元素是否屬於特定子集合。一元素的指示函數的值可能是0或是1，而一元素的隸屬函數會是0到1之間的數值，表示元素屬於某模糊集合的「真實程度」（degree of truth）。 例如質數為一集合，整數3屬於質數，其指示函數為1，整數4不屬於質數，其指示函數為0。但針對模糊集合，可能不會有如此明確的定義，假設胖子是模糊集合，可能體重80公斤的人其隸屬函數為0.9，體重70公斤的人其隸屬函數為0.8。 隸屬函數數值是在0到1之間，看似類似機率，但兩者是不同的概念。 隸屬函數最早是由盧菲特·澤德在1965年第一篇有關模糊集合的論文中提及，他在模糊集合的論文中，提出用值域在0到1之間的隸屬函數，針對定義域中所有的數值定義。.
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补运算
设L是带有最大元素1和最小元素0的有界格。L的两个元素x和y是互补（相互为补元）的，当且仅当： 在这种情况下，它们被指示为¬x.
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阿尔弗雷德·塔斯基
阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，），美国籍波兰裔犹太逻辑学家和数学家。塔斯基1939年移居美国，一直任教于加利福尼亚大学伯克利分校。华沙学派成员，广泛涉猎抽象代数、拓扑学、几何学、测度论、数理逻辑、集论和分析哲学等领域，专精于模型论、元数学、代数逻辑。 逻辑学家们将塔斯基的成就与亚里士多德、弗雷格、伯特兰·罗素和哥德尔相提并论。他的传记作者安妮塔和所罗门·费夫曼写道：“塔斯基和同时代的哥德尔一起改变了逻辑学在20世纪的面目，尤其是通过他对真值概念和模型论的研究。”Feferman, A.
集合代数
集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。.
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逆序对
设A为一个有n个数字的有序集（n>1），其中所有数字各不相同。 如果存在正整數i, j使得1 ≤ i ＜ j ≤ n而且A ＞ A，則這一個有序對稱為A的一個逆序對，也称作逆序。逆序對的數量称作逆序数。 例如：数组的逆序对为： 共5个逆序对。 对于:1 ≤ 1 ＜ 5 ≤ 5,A ＞A，所以为一个合法的逆序对。 目前求逆序对数目比较普遍的方法是利用归并排序做到O(n \log n)的时间复杂度。 当然，也可以利用树状数组、线段树来实现这种基础功能。复杂度均为O(n \log n)。.
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抽象代数逻辑
抽象代数逻辑(AAL)是研究代数类关联于逻辑系统的方式和这些代数类如何与逻辑系统交互的数理逻辑领域。.
抽象释义
在计算机科学中，抽象释义是基于在有序集合特别是格上的单调函数，计算机程序的语义的可靠逼近理论。它可以被看作对计算机程序的部分执行，获取关于它的语义信息(比如，控制结构、信息流)而不进行所有计算。 它的主要具体应用是形式静态分析，关于计算机程序的可能执行的信息的自动提取；比如这种分析有两个主要用途.
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极限保持函数
在数学领域序理论中，经常谈论保持特定极限也就是特定上确界或下确界的函数。粗略的说，这些函数把一个集合的上确界／下确界映射到这个集合的像的上确界／下确界。依赖于满足这种性质函数所在集合的类型，它可以保持有限、有向、非空或仅为任意的上确界或下确界。其中的每个要求都自然和经常的出现在序理论的很多领域中，在这些概念和其他概念比如单调函数之间有各种重要的联系。如果极限保持的蕴涵是倒转的，使得在函数的值域中极限的存在性蕴涵在定义域中的极限的存在性，则这种函数是极限反射。 由于文献中对这些基本概念的定义不总是一致，本文力图明晰之并给出一般性结果和对要点解说。.
李仁实
李仁实（），魏州顿丘（今河南省清丰、濮阳、内黄、南乐、范县一带）人，唐朝史官。.
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格
格可以指：.
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格规约
格基归约（lattice basis reduction）在数学中的目标是给出一个整数格基作为输入，找出一个向量较短且近似正交的基。有许多不同算法可以实现格规约，运行时间至少是格的维数的指数次。.
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模形式
模形式是數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。因此，模形式理論屬於数论的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。 模形式理論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發展大致可分成三期：.
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滤子 (数学)
在数学中，滤子(英語：filter)是偏序集合的特殊子集。经常使用的特殊情况是：要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合包含来排序。滤子出现在序理论和格理论中，还可以在它们所起源的拓扑学中找到。滤子的对偶概念是理想。 滤子是昂利·嘉当在1937年发明的并随后在尼古拉·布尔巴基的书《Topologie Générale》中作为对E.
本体 (信息科学)
在计算机科学与信息科学领域，理论上，本体是指一种“形式化的，对于共享概念体系的明确而又详细的说明”。本体提供的是一种共享词表，也就是特定领域之中那些存在着的对象类型或概念及其属性和相互关系；或者说，本体就是一种特殊类型的术语集，具有结构化的特点，且更加适合于在计算机系统之中使用；或者说，本体实际上就是对特定领域之中某套概念及其相互之间关系的形式化表达（formal representation）。本体是人们以自己兴趣领域的知识为素材，运用信息科学的本体论原理而编写出来的。本体一般可以用来针对该领域的属性进行推理，亦可用于定义该领域（也就是对该领域进行建模）。此外，有时人们也会将“本体”称为“本体论”。 作为一种关于现实世界或其中某个组成部分的知识表达形式，本体目前的应用领域包括（但不仅限于）：人工智能、语义网、软件工程、 生物医学信息学、图书馆学以及信息架构。.
本体语言
在计算机科学和人工智能领域，本体语言（ontology language、又称为本体论语言）是指用于构建本体的形式语言。此类语言允许对有关特定领域的知识加以编码，且常常还包括为处理这些知识提供支持的推理规则。本体语言通常为描述性语言（又称为表述型语言、说明性语言），几乎总是属于框架语言的泛化形式，且一般都基于一阶逻辑或描述逻辑。.
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有界格
设(L, \vee, \wedge)是一个格，若存在a \in L，使得对于所有的x \in L有a \leq x，则称a为L的全下界；若存在b \in L，使得对于所有的x \in L有x \leq b，则称b为L的全上界。 可以证明，若格L存在全上界或全下界，一定是唯一的。一般将格的全上界记作1，全下界记作0。（注意这里的0,1只是两个特殊的符号，和自然数0,1不同） 设(L, \vee, \wedge)是一个格，若L存在全上界和全下界，则称L为有界格，记作(L, \vee, \wedge, 0, 1)。 设(L, \vee, \wedge, 0, 1)是一个有界格，则对于所有的a \in L，有.
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有补格
设(L, \vee, \wedge, 0, 1)是一个有界格，a \in L，若存在b \in L使得a \wedge b.
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最大下界
在数学中，某个集合 X 的子集 E 的下确界(infimum 或 infima，记为 inf E)是小于或等于的 E 所有其他元素的最大元素，其不一定在 E 內。所以还常用术语最大下界（简写为 glb 或 GLB）。在数学分析中，实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义，在更加抽象的序理论的任意偏序集合中，仍是有效的。 下确界是上确界概念的对偶。.
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最小上界
在数学中，最小上界（supremum，亦称上确界，记为sup E）是序理论的重要概念，在格论和数学分析等领域有广泛应用。.
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海廷代数
在数学裡，海廷代数是一特殊的偏序集，經由廣義化布爾代數而成，得名於阿蘭德·海廷。海廷代数是作为直觉主义逻辑的模型而產生的，是一種排中律不總是成立的逻辑。完全海廷代数是无点拓扑学的核心。.
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数学学科分类标准
数学学科分类标准(MSC) 是由美国数学学会策划的建立在两个主要的引文数据库数学评论和数学文摘的字母数字混合的分类方案.
数学形态学
数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。.
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亦称为 格论。