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拋物線坐標系

指数 拋物線坐標系

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目录

  1. 5 关系: 作用量-角度坐标抛物线拉普拉斯-龍格-冷次向量拋物面坐標系拋物柱面坐標系

作用量-角度坐标

在經典力學裏,作用量-角度坐標(action-angle coordinate)是一組正則坐標,通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式(哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個坐標,粒子依照著角度,捲繞於環面。 在量子力學早期,波動力學發展成功之前,波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明,作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難,都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。 在哈密頓力學裏,作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論,特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾,混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明,對於微小微擾,環面不變量是穩定的。 作用量-角度坐標,對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析,對於 Lax pairs 的定義,更廣義地,對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想,都佔有關鍵地位。.

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抛物线

抛物线是一種圓錐曲線。在一個平面内,拋物線的每一點Pi,其與一個固定点F之間的距離等於其與一条不經過此点F的固定直线L之間的距离。这固定点F叫做抛物线的「焦点」,固定直线L叫做抛物线的「准线」。.

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拉普拉斯-龍格-冷次向量

在經典力學裏,拉普拉斯-龍格-冷次向量(簡稱為LRL向量)主要是用來描述,當一個物體環繞著另外一個物體運動時,軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裏,假若兩個物體以萬有引力相互作用,則LRL向量必定是一個運動常數,不管在軌道的任何位置,計算出來的LRL向量都一樣;也就是說,LRL向量是一個保守量。更廣義地,在克卜勒問題裏,由於兩個物體以連心力相互作用,而連心力遵守平方反比定律,所以,LRL向量是一個保守量。 氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用.靜電力是一個標準的平方反比連心力。所以,氫原子內部的微觀運動是一個克卜勒問題。在量子力學的發展初期,薛丁格還在思索他的薛丁格方程式的時候,沃爾夫岡·包立使用LRL向量,關鍵性地推導出氫原子的發射光譜。這結果給予物理學家很大的信心,量子力學理論是正確的。 在經典力學與量子力學裏,因為物理系統的某一種對稱性,會產生一個或多個對應的保守值。LRL向量也不例外。可是,它相對應的對稱性很特別;在數學裏,克卜勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的三維球面;所以,整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱。 拉普拉斯-龍格-冷次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯,卡爾·龍格,與威爾漢·冷次而命名。它又稱為拉普拉斯向量,龍格-冷次向量,或冷次向量。有趣的是,LRL向量並不是這三位先生發現的!這向量曾經被重複地發現過好幾次。它等價於天體力學中無因次的離心率向量。發展至今,在物理學裏,有許多各種各樣的LRL向量的推廣定義;牽涉到狹義相對論,或電磁場,甚至於不同類型的連心力。.

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拋物面坐標系

拋物面坐標系(Paraboloidal coordinates)是一種三維正交坐標系,是二維拋物線坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同,拋物面坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。.

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拋物柱面坐標系

拋物柱面坐標系(Parabolic cylindrical coordinates)是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ,則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如,物體邊緣的位勢論。.

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