目录
16 关系: 卡爾·龍格，威廉·楞次，广义相对论中的开普勒问题，二體問題，引力場，作用量-角度坐标，克卜勒問題，牛頓旋轉軌道定理，運動常數，華倫泰·巴格曼，類氫原子，角動量算符，離心率向量，雅各布·赫爾曼，氫原子，拋物線座標系。
卡爾·龍格
卡爾·龍格（Carl Runge ）是一位德國數學家、 物理學家、光譜學家。在數值分析學裏，他是龍格－庫塔法的共同發明者與共同命名者。 幼时，龍格在古巴哈瓦那度過了几年；在那期間，他的父親尤利烏斯·龍格是駐古巴的丹麥外交官。之后全家回到了不來梅。他父亲于1864年早逝。 1880年，他在柏林大學获取數學博士，导师是被譽為「現代分析之父」的著名德國數學家卡爾·魏爾施特拉斯。1886年，他迁至漢諾威，成為漢諾威大學的教授。 他的興趣包括數學，光譜學，大地測量學，與天體物理學。除了純數學以外，他也從事很多涉及實驗的工作。他跟海因里希·凱瑟一同研究各種元素的譜線，又將研究的結果應用在天體光譜學。 1904年，受哥廷根大學教授菲利克斯·克萊因的主動邀請，他同意去那裡教書。1925 年，他在哥廷根大學退休。 月球的龍格隕石坑 (Runge crater) 是因他而命名的。.
威廉·楞次
威廉·楞次（Wilhelm Lenz，）是一位德國物理學家。著名的易辛模型是他發明的。他應用拉普拉斯-龍格-楞次向量於氫原子的舊量子論，關鍵性地導引出氫原子的發射光譜。 1906年，楞次從 Klinger-Oberralschule 中學畢業後，他進入了哥廷根大學，主修數學和物理。1908年，楞次轉到慕尼黑大學。他在教授阿諾·索末菲的指導下，成功地於 1911年得到博士學位。畢業後，他仍舊繼續地留在母校，成為索末菲的助理。1914年，他通過了德語國家教授資格考試，正式任職大學講師。 在第一次世界大戰期間，他被徵召服役，被派往法國當無線電操作專家。1916年他獲得二級鐵十字勳章。大戰結束後，1920年，他又回到慕尼黑大學的理論物理學院，繼續當索末菲的助理。那年11月，他升職為副教授。12月，羅斯托克大學聘請他為副教授。從1921年至他退休的1956年，他是漢堡大學的理論物理講座教授與理論物理學院主任 - ETH Zurich – Litten。因為德國在原子物理與量子力學的高度發展，再加上索末菲的熱心助力，漢堡大學創立了理論物理學院，又設立了新的教授職位。 在漢堡大學，楞次教導了許多傑出的科學家，像恩斯特·易辛（Ernst Ising）和約翰內斯·延森。在那裡，沃爾夫岡·包立、帕斯庫爾·約爾當和阿爾布雷希特·翁澤爾德都曾經是他的助手。楞次、包立、和奧托·施特恩使漢堡大學的理論物理學院成為一個核子物理的國際中心，與在慕尼黑大學（索末菲）、哥廷根大學（馬克斯·玻恩）、和哥本哈根大學（尼爾斯·波耳）的理論物理學院，都保持緊密的關係。.
广义相对论中的开普勒问题
广义相对论中的开普勒问题，是指在广义相对论的框架下求解存在引力相互作用的两体动力学问题。在典型情况下以及本文中，其中一个物体的质量m和另一个物体的质量M相比可忽略，这种近似对应着实际情形中地球绕太阳公转，以及一个光子在一颗恒星的引力场中的运动等问题。在这些情形下，可以认为大质量M的位置在空间中是固定的，并且只有大质量的引力场对周围时空曲率变化有贡献。这时的时空曲率可由爱因斯坦场方程的史瓦西解来描述；而小质量m（以下简称“粒子”）的运动可由史瓦西解的测地线方程来描述。由于假设小质量m是点状的无尺寸粒子，两者之间的潮汐力可忽略。 从测地线方程可以推出广义相对论的关键性实验证据，著名的水星近日点的进动，以及光线在太阳引力场中的偏折。对于前者，广义相对论为观测到的这一现象提供了漂亮的解释，而后者则是广义相对论的--名预言，其正确性被亚瑟·爱丁顿爵士的实验观测所证实。 广义相对论的两体问题中还涉及了引力辐射造成的轨道衰减，这是一个纯粹的相对论效应，没有对应的经典力学版本。这个问题并不包含在史瓦西解中，请参见引力辐射和引力波天文学。.
二體問題
在經典力學裏，二體問題（two-body problem）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。 二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（exact solution），即不需借助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。.
引力場
引力場（簡體中文中重--力場一詞特指地球表面的引力場。）是描述一物体在空間中受到万有引力（重力）作用的場，在经典物理学中是一个物理量。.
作用量-角度坐标
在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。 在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。 在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。 作用量-角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。.
克卜勒問題
在經典力學裏，克卜勒問題是二體問題的一個特別案例。假若，兩個物體以連心力\mathbf\,\!互相作用；力的大小與距離r\,\!的平方成反比。則稱此物理系統所涉及的問題為克卜勒問題。反平方連心力以公式表示為 其中，k\,\!是常數，\hat\,\!是徑向單位向量。 連心力可以是吸引性的（k），也可以是排斥性的（k>0\,\!），對應的位勢為 克卜勒問題是因天文學家約翰內斯·克卜勒而命名。他推出了在天文學歷史上，具有關鍵價值的克卜勒定律。遵守克卜勒定律的作用力有那些特性呢（逆克卜勒問題）？在這方面，他也做了很多的研究。 在很多狀況下，會遇到克卜勒問題。天體力學時常會涉及克卜勒問題，因為牛頓萬有引力遵守反平方定律。例如，人造衛星環繞著地球，行星環繞著太陽，或雙星系統。克卜勒問題涉及了兩個電荷子的物理運動，因為靜電學的庫侖定律遵守反平方定律。例如，氫原子，正子素，與緲子偶素。這些典型系統，在測驗物理理論與測量自然常數上，都扮演了很重要的角色。 在經典力學裏，克卜勒問題與諧振子問題是兩個最基本的問題。只有這兩個問題的解答是閉合軌道；也就是說，物體從一點移動，經過一段路徑後，又回到原先點。在經典力學裏，克卜勒問題時常被用來發展新的表述方法，像拉格朗日力學，哈密頓力學，哈密頓-亞可比方程式，與作用量-角度坐標。在克卜勒問題裏，拉普拉斯-龍格-冷次向量是一個運動常數。克卜勒問題的解答使科學家能夠用經典力學完全地解釋清楚行星運動。這行星運動的科學解釋在啟蒙時代的開啟扮演了重要的角色。.
牛頓旋轉軌道定理
在經典力學裏，牛頓旋轉軌道定理（Newton's theorem of revolving orbits）辨明哪種連心力能夠改變移動粒子的角速度，同時不影響其徑向運動（圖1和圖2）。艾薩克·牛頓應用這理論於分析軌道的整體旋轉運動（稱為拱點進動，圖3）。月球和其他行星的軌道都會展現出這種很容易觀測到的旋轉運動。連心力的方向永遠指向一個固定點；稱此點為「力中心點」。「徑向運動」表示朝向或背向力中心點的運動，「角運動」表示垂直於徑向方向的運動。 發表於1687年，牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》，第一冊命題43至45裏，推導出這定理。在命題43裏，他表明只有連心力才能達成此目標，這是因為感受連心力作用的粒子，其運動遵守角動量守恆定律。在命題44裏，他推導出這連心力的特徵方程式，證明這連心力是立方反比作用力，與粒子位置離力中心點的徑向距離r\,\!的三次方成反比。在命題45裏，牛頓假定粒子移動於近圓形軌道，將這定理延伸至任意連心力狀況，並提出牛頓拱點進動定理（Newton's apsidal precession theorem）。 天文物理學家蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡在他的1995年關於《自然哲學的數學原理》的評論中指出，雖然已經過了三個世紀，但這理論仍然鮮為人知，有待發展。自1997年以來，唐納德·淩澄-貝爾（Donald Lynden-Bell）與合作者曾經研究過這理論。2000年，費紹·瑪侯嵋（Fazal Mahomed）與F·娃達（F.）共同貢獻出這理論的延伸的精確解。.
運動常數
在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為運動常數（constant of motion），又稱為守恆量。它的作用有點類似運動的約束。可是，運動常數是數學的約束，自然地從運動方程式中顯現出來，而不是物理的約束；物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量、動量、角動量、拉普拉斯-龍格-冷次向量。.
華倫泰·巴格曼
華倫泰·巴格曼（Valentine Bargmann，），出生於德國柏林的物理學家與數學家。.
類氫原子
類氫原子（hydrogen-like atom）是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為「類氫離子」。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。 稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為單電子波函數，或類氫原子波函數。類氫原子波函數是單電子角動量算符 L 與其 z-軸分量算符 L_z 的本徵函數。由於能量本徵值 E_n 跟量子數 l ，m 無關，而只跟主量子數 n 有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數 n 、角量子數 l 、磁量子數 m ，獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數 m_s.
角動量算符
在量子力學裏，角動量算符（angular momentum operator）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（rotational symmetry）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性Introductory Quantum Mechanics, Richard L.
離心率向量
在航天動力學裏，一個圓錐曲線的離心率向量是一個向量，從焦點指向近拱點，量值等於軌道的離心率純量，是個無因次量。.
雅各布·赫爾曼
雅各布·赫爾曼(Jakob Hermann, ），生於瑞士巴塞爾，是一位傑出的數學家。有關於經典力學的問題是他的專門研究之一。他可能是最先表明拉普拉斯-龍格-冷次向量守恆的科學家：在反平方連心力作用下，拉普拉斯-龍格-冷次向量是一個運動常數。 赫爾曼的啟蒙老師是雅各布·白努利。1695 年，他畢業於巴塞爾大學。1701 年，普魯士王國立國那年，赫爾曼被遴選為柏林科學院 (Academy of Berlin) 的院士。1707 年，因為數學大師萊布尼茨的推薦，他任職於義大利的帕多瓦大學 (University of Padua) ，專門教授數學。1713 年，他又搬到德國奧德河畔法蘭克福居住。1724 年，他被聘請為聖彼得堡科學院的高等數學教授；成為彼得二世·阿列克謝耶維奇（彼得大帝的孫子）的數學老師。1730 年1月30日，彼得二世在大喜之日，因痪天花駕崩。隔年，赫爾曼告老還鄉，返回巴塞爾大學當倫理學與自然定律學教授。 赫爾曼逝世於 1733 年．那年，他當選為法國科學院 (French Academy of Sciences) 的院士。 赫爾曼是萊昂哈德·歐拉的遠親。.
氫原子
氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子，被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中，氫原子是豐度最高的同位素，稱為氫，氫-1 ，或氕。氫原子不含任何中子，別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫-1 。 氫原子擁有一個質子和一個電子，是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力，不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。因此可以這樣說，在量子力學裏，沒有比氫原子問題更簡單，更實用，而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，氫原子問題是個很重要的問題。 另外，理論上薛丁格方程式也可用於求解更複雜的原子與分子。但在大多數的案例中，皆無法獲得解析解，而必須藉用電腦(計算機)來進行計算與模擬，或者做一些簡化的假設，方能求得問題的解析解。.
拋物線座標系
拋物線坐標系（Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。 實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。.