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协方差矩阵

指数 协方差矩阵

在统计学与概率论中,共變異數矩阵(也称离差矩阵、方差-协方差矩阵)是一个矩阵,其 i, j 位置的元素是第 i 个与第 j 个(即随机变量构成的向量)之间的共變異數。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。.

目录

  1. 22 关系: 协方差卡尔曼滤波多元正态分布威沙特分佈對稱矩陣主成分分析二次型 (统计)互协方差互相关矩阵用於數學、科學和工程的希臘字母特征脸白雜訊角检测马哈拉诺比斯距离高斯积分費雪線性判別费雪信息STA朴素贝叶斯分类器方差施密特–卡尔曼滤波器

协方差

共變異數(Covariance)在概率論和統計學中用於衡量兩個變量的总体误差。而方差是协方差的一種特殊情況,即當兩個變量是相同的情況。 期望值分别为E(X).

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卡尔曼滤波

卡尔曼滤波(Kalman filter)是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器),它能够从一系列的不完全及包含雜訊的测量中,估计动态系统的状态。卡尔曼滤波會根據各測量量在不同時間下的值,考慮各時間下的联合分布,再產生對未知變數的估計,因此會以只以單一測量量為基礎的估計方式要準。卡尔曼濾波得名自主要貢獻者之一的鲁道夫·卡尔曼。 卡尔曼滤波在技術領域有許多的應用。常見的有飛機及太空船的。卡尔曼滤波也廣為使用在時間序列的分析中,例如信号处理及计量经济学中。卡尔曼滤波也是機器人運動規劃及控制的重要主題之一,有時也包括在。卡尔曼滤波也用在中軸神經系統運動控制的建模中。因為從給與運動命令到收到感覺神經的回授之間有時間差,使用卡尔曼滤波有助於建立符合實際的系統,估計運動系統的目前狀態,並且更新命令。 卡尔曼滤波的演算法是二步驟的程序。在估計步驟中,卡尔曼滤波會產生有關目前狀態的估計,其中也包括不確定性。只要觀察到下一個量測(其中一定含有某種程度的誤差,包括隨機雜訊)。會透過加權平均來更新估計值,而確定性越高的量測加權比重也越高。演算法是迭代的,可以在中執行,只需要目前的輸入量測、以往的計算值以及其不確定性矩陣,不需要其他以往的資訊。 使用卡尔曼滤波不用假設誤差是正态分布,不過若所有的誤差都是正态分布,卡尔曼滤波可以得到正確的條件機率估計。 也發展了一些擴展或是廣義的卡尔曼滤波,例如運作在非線性糸統的及无损卡尔曼滤波(unscented Kalman filter)。底層的模型類似隐马尔可夫模型,不過的狀態空間是連續的,而且所有潛在變量及可觀測變數都是正态分布.

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多元正态分布

多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。.

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威沙特分佈

以統計學家约翰·威沙特為名的威沙特分佈是統計學上的一種半正定矩陣隨機分佈。這個分佈在多變量分析的共變異矩陣估計上相當重要。.

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對稱矩陣

在線性代數中,對稱矩陣是一個方形矩陣,其轉置矩陣和自身相等。 對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線(左上至右下)為軸進行對稱。若將其寫作A.

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主成分分析

在多元统计分析中,主成分分析(Principal components analysis,PCA)是一種分析、簡化數據集的技術。主成分分析经常用于减少数据集的维数,同时保持数据集中的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分,忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是,这也不是一定的,要视具体应用而定。由于主成分分析依赖所给数据,所以数据的准确性对分析结果影响很大。 主成分分析由卡爾·皮爾遜於1901年發明,用於分析數據及建立數理模型。其方法主要是通過對共變異數矩陣進行特征分解,以得出數據的主成分(即特征向量)與它們的權值(即特征值)。PCA是最簡單的以特征量分析多元統計分布的方法。其結果可以理解為對原數據中的方差做出解釋:哪一個方向上的數據值對方差的影響最大?換而言之,PCA提供了一種降低數據維度的有效辦法;如果分析者在原數據中除掉最小的特征值所對應的成分,那麼所得的低維度數據必定是最優化的(也即,這樣降低維度必定是失去訊息最少的方法)。主成分分析在分析複雜數據時尤為有用,比如人臉識別。 PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。通常情况下,这种运算可以被看作是揭露数据的内部结构,从而更好的解释数据的变量的方法。如果一个多元数据集能够在一个高维数据空间坐标系中被显现出来,那么PCA就能够提供一幅比较低维度的图像,这幅图像即为在讯息最多的点上原对象的一个‘投影’。这样就可以利用少量的主成分使得数据的维度降低了。 PCA跟因子分析密切相关,并且已经有很多混合这两种分析的统计包。而真实要素分析则是假定底层结构,求得微小差异矩阵的特征向量。.

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二次型 (统计)

在多元变量统计中,如果 \varepsilon 为 n 维随机向量, \Lambda 是一个 n 维对称矩阵,则随机变量 \varepsilon^T\Lambda\varepsilon 称为 \varepsilon 的二次型。.

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互协方差

在统计学中,互协方差表示两个随机向量 X 与 Y 之间的协方差 cov(X, Y),以区别于随机向量 X 的“协方差”即 X 的各个标量元素之间的协方差矩阵。 在信号处理领域,互协方差是两个信号 (信息论)之间相似性的度量,它也称为“互相关”。互协方差通常用于通过与已知信号做比较从来寻找未知信号的特点。它是信号之间相对于时间的函数,有时也称为滑动点积,在模式识别与密码分析学中都有应用。 离散函数 fi 与 gi 的互协方差定义为 其中累计和是在一个合适的整数 j 上进行计算,星号表示是共轭复数。 连续函数 f (x) 与 g i 的互协方差定义为 其中积分在合适的 t 上进行。 互协方差本质上类似于两个函数的卷积。.

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互相关

在统计学中,互相关有时用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差cov(X, Y),以与矢量 X 的“协方差”概念相区分,矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。 在信号处理领域中,互相关(有时也称为“互协方差”)是用来表示两个信号之间相似性的一个度量,通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数,有时也称为“滑动点积”,在模式识别以及密码分析学领域都有应用。 对于离散函数 fi 和 gi 来说,互相关定义为 其中和在整个可能的整数 j 区域取和,星号表示复共轭。对于连续信号 f(x) 和 g(x) 来说,互相关定义为 其中积分是在整个可能的 t 区域积分。 互相关实质上类似于两个函数的卷积。.

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矩阵

數學上,一個的矩陣是一个由--(row)--(column)元素排列成的矩形阵列。矩陣--的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2--3--的矩阵: 大小相同(行数列数都相同)的矩阵之间可以相互加减,具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘,当且仅当第一个矩阵的--数等于第二个矩阵的--数。矩阵的乘法满足结合律和分配律,但不满足交换律。 矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵,加上常数项,则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换,即是诸如.

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用於數學、科學和工程的希臘字母

希臘字母被用於數學、科學、工程和其他方面。在數學方面,希臘字母通常用於常數、特殊函數和特定的變數,而且通常大寫和小寫都有分別,而且互不相關。有一些希臘字母和拉丁字母一樣,而且不被使用:A, B, E, H, I, K, M, N, O, P, T, X, Y, Z。除此之外,由於小寫的ι(iota),ο(omicron)和υ(upsilon)跟拉丁字母i,o和u相似,所以很少被使用。有時,希臘字母的字體變種在數學數有特定的意思,例如φ(phi)和π(pi)。 在金融數學中,有些會用來表示投資風險的變數。 母語為英語的數學家在讀希臘字母時,他們不會用現在的或古時的發音,但用傳統的英語發音。例如θ,數學家會讀成/ˈθeɪtə/。(古時:,現在:).

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特征脸

特征脸(Eigenface)是指用于机器视觉领域中的人脸识别问题的一组特征向量。使用特征脸进行人脸识别的方法首先由Sirovich and Kirby (1987)提出,并由Matthew Turk和Alex Pentland用于人脸分类。该方法被认为是第一种有效的人脸识别方法。这些特征向量是从高维矢量空间的人脸图像的协方差矩阵计算而来。.

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白雜訊

白噪声,是一種功率譜密度為常數的隨機信號或随机过程。即,此信號在各個频段上的功率是一樣的。由于白光是由各種頻率(颜色)的单色光混合而成,因而此信号的這種具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”,此信号也因此被称作白噪声。相对的,其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。 理想的白噪声具有無限頻寬,因而其能量是無限大,這在现实世界是不可能存在的。实际上,我們常常將有限頻寬的平整訊號視為白噪声,以方便进行數學分析。.

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角检测

角检测或兴趣点检测(interest point detection)是计算机视觉系统中用来提取特征以及推测图像内容的一种方法.角检测的应用很广,经常用在运动检测,跟踪,图像镶嵌(image mosaicing),全景图缝合(panorama stiching),三维建模以及物体识别中.

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马哈拉诺比斯距离

哈拉诺比斯距离是由印度统计学家提出的,表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系(例如:一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息,因为两者是有关联的)并且是尺度无关的(scale-invariant),即独立于测量尺度。 对于一个均值为\mu.

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高斯积分

斯积分(Gaussian integral),有时也被称为概率积分,是高斯函数(e−x2)在整个實數線上的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。 这个积分用处很广。例如,在变量略有变化的情况下,它用于计算正态分布的。还是这个积分,在极限为有限值的时候,与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中,这种积分经常出现,例如在量子力学中,为了求谐振子基态的概率密度,以及在路径积分公式中,求谐振子的传播子,我们都要用到这个积分。 尽管误差函数不存在初等函数,但可以通过Risch算法证明,高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。下面这个不定积分 无法用初等函数表示,但可以计算定积分 任意高斯函数的定积分为 在物理学中,经常用到高斯积分;而在量子场论中会用到许多该积分的推广形式。.

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費雪線性判別

在模式识别中,费雪线性判别(Fisher's linear discriminant)是一种线性判别方法,其意图是将d维空间中的数据点投影到c-1维空间上去,使得不同类的样本点在这个空间上的投影尽量分离,同类的尽量紧凑。.

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费雪信息

在 数理统计学, 费雪信息 (有时简称为 信息)是一种度量随机变量 X 所含有的关于其自身随机分布函数的未知参数 θ 的信息量。严格地说,它是分数对方差或观测信息的期望值。Fisher信息在最大似然估计量的大样本分布中地位是由统计学家罗纳德*费雪推广的(通过发展弗朗西斯*伊西德罗*埃奇沃思(Francis Ysidro Edgeworth)的初步结果)。 费雪信息矩阵是可以用来计算最大似然估计量的协方差矩阵。 此外,它还用在一些统计检验量(比如瓦尔德检验)的公式中。.

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STA

STA,英文全称Spike-triggered average,直译做“发放-触发平均方法”,由于太拗口,通常不用其译名。STA是神经科学研究,尤其是视觉研究中用于描述神经元反应特性的一种方法。这种方法主要被用来分析电生理数据,估计神经元的线性感受野。.

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朴素贝叶斯分类器

在机器学习中,單純貝氏分类器是一系列以假设特征之间强(朴素)独立下运用贝叶斯定理为基础的简单。 單純貝氏自20世纪50年代已广泛研究。在20世纪60年代初就以另外一个名称引入到文本信息检索界中, 并仍然是文本分类的一种热门(基准)方法,文本分类是以词频为特征判断文件所属类别或其他(如垃圾邮件、合法性、体育或政治等等)的问题。通过适当的预处理,它可以与这个领域更先进的方法(包括支持向量机)相竞争。 它在自动医疗诊断中也有应用。 單純貝氏分类器是高度可扩展的,因此需要数量与学习问题中的变量(特征/预测器)成线性关系的参数。最大似然训练可以通过评估一个封闭形式的表达式来完成, 只需花费线性时间,而不需要其他很多类型的分类器所使用的费时的迭代逼近。 在统计学和计算机科学文献中,單純貝氏模型有各种名称,包括简单贝叶斯和独立贝叶斯。 所有这些名称都参考了贝叶斯定理在该分类器的决策规则中的使用,但單純貝氏不(一定)用到贝叶斯方法; 《》提到“『單純貝氏』有时被称为贝叶斯分类器,这个马虎的使用促使真正的贝叶斯论者称之为傻瓜贝叶斯模型。”.

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方差

方差(Variance),應用數學裡的專有名詞。在概率论和统计学中,一个随机变量的方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二階中心動差,恰巧也是它的二阶累积量。這裡把複雜說白了,就是將各個誤差將之平方(而非取絕對值,使之肯定為正數),相加之後再除以總數,透過這樣的方式來算出各個數據分佈、零散(相對中心點)的程度。繼續延伸的話,方差的算术平方根称为该随机变量的标准差(此為相對各個數據點間)。.

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施密特–卡尔曼滤波器

施密特–卡尔曼滤波器(Schmidt–Kalman Filter),是修改版的卡尔曼滤波,減少狀態估測的維度,不過仍有額外的狀態可以計算协方差矩阵及卡尔曼增益。常見的應用是考量像是傳感器誤差等的影響,但又不增加狀態估測的維度,因此可以確保协方差矩阵可以準確的呈現誤差的分析情形。 不增加狀態空間維度,而使用施密特–卡尔曼滤波器的主要好處是減少運算的複雜度。因此可以用在即時系統的濾波中。另外一個使用施密特–卡尔曼滤波器的場合是殘餘誤差無法觀測的情形下,也就是說,無法從量測資料中將誤差效果獨立出來的情形。此時,施密特–卡尔曼滤波器是強健性的濾波方式,不去估計偏差的大小,但在真實誤差分析中去追蹤偏差的影響。 若是非線性系統,可以在目前的平均值及协方差估計值附近,將觀測模型及狀態傳遞模型線性化,類似的作法。.

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亦称为 共變異數矩陣。