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基諾·法諾
基諾·法諾（Gino Fano，1871年1月5日 - 1952年11月8日）是一位義大利數學家，以有限幾何的創始人聞名。法諾生於義大利曼切華，死於義大利維洛那。 法諾為投影幾何與代數幾何作出許多貢獻。他對幾何基礎的研究比大偉·希爾伯特所做的研究早了十年左右。法諾有兩個兒子，名為烏戈·法諾（Ugo Fano）與羅伯特·法諾（Robert Fano）。 法諾是有限投影空間此一領域裡的先驅。在他證明 n 維投影空間之公理的獨立性與其他定理的文章之中，他認為可推導出有第4個調和點會等於其共軛。這會導出一個具7個點及7條線的配置被包含於一個具15個點、35條線及15個平面的有限三維空間內，其中每條線只包含3個點。此一空間內的所有平面均由7個點及7條線所組成，且現在被稱之為法諾平面： 法諾繼續描述任意維度與質數階的有限投影空間。 1907年，法諾為克萊因百科全書貢獻了兩篇文章。第一篇（SS.
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基本群
在代數拓撲中，基本群（或稱龐加萊群）是一個重要的同倫不變量。帶點拓撲空間的基本群是所有從該點出發的環路的同倫等價類，群運算由環路的銜接給出。 基本群能用以研究兩個空間是否同胚，也能分類一個連通空間的覆疊空間（至多差一個同構）。 基本群的推廣之一是同倫群。.
千禧年大獎難題
千禧年大獎難題（Millennium Prize Problems）是七個由美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）於2000年5月24日公佈的數學難題，解题总奖金700万美元。根據克雷數學研究所制定的規則，這一系列挑戰不限時間，題解必須發表在國際知名的出版物上，並經過各方驗證，只要通過兩年驗證期和专家小组审核，每解破一題可獲獎金100万美元deadurl。 這些難題旨在呼應1900年德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎提出的23個歷史性數學難題，經過一百年，约17个難題至少已被部分解答。而千禧年大獎難題的破解，極有可能為密碼學、航天、通訊等領域帶來突破性進展。 迄今为止，在七个问题中，庞加莱猜想是唯一被解决的，2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼证明了它的正确性。而其它六道难题仍有待研究者探索。.
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单纯集合
数学裡，单纯集合（simplical set）是范畴同伦论中一个构造，这是“良态”拓扑空间的一个纯代数模型。历史上，这个模型源自组合拓扑学特别是单纯复形。.
可分多项式
数学中，可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。 最常见的一个定义是：当在一个给定域K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时，称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数。在多项式因式分解的观点下，这样的多项式是无平方多项式。 第二个定义，当P(X)在K中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同，此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的。在这个定义中，可分性依赖于K，比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下，每个完美域上的多项式是可分的，这包含了0特征域和所有有限域。 两个定义对于K上不可约多项式是等价的，这个被用来定义域K的可分扩张。 在条目的余下部分我们只用第一个定义。 一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素。.
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双扭线
双扭线（lemniscate）是代數幾何中的名詞，是指8字型或是型的曲線，lemniscate源自拉丁文"lēmniscātus"，意思是「用緞帶裝飾.
同調代數
同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。.
吕克·伊吕西
吕克·伊吕西（Luc Illusie，），法国数学家，巴黎第十一大学终身教授。他的研究领域是代数几何。 伊吕西60年代师从格罗滕迪克，参与了代数几何讨论班。他的博士论文题目是《余切复形和形变》。.
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奥斯卡·扎里斯基
奥斯卡·扎里斯基（英文：Oscar Zariski，原名Ascher Zaritsky，）是犹太裔美国籍数学家，出生于沙俄科布林（英文Kobrin，俄文Ко́брын，今属白俄罗斯），任美国科学院院士，研究领域有代数几何的现代方法。1981年扎里斯基获得沃尔夫数学奖。.
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奈杰尔·希钦
奈杰尔·希钦（Nigel James Hitchin，），皇家学会院士，是英国数学家和牛津大学萨维尔几何学教授，专攻微分几何，代数几何和数学物理。.
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奇點解消
在代數幾何學中，奇點解消問題探討代數簇是否有非奇異的模型（即：與之雙有理等價的非奇異代數簇）。在特徵為零的域上，廣中平祐已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。.
學科列表
這是一個學科的列表。學科是在大學教學(教育)與研究的知識分科。學科是被發表研究和學術雜誌、學會和系所所定義及承認的。 領域通常有子領域或分科，而其之間的分界是隨便且模糊的。 在中世紀的歐洲，大學裡只有四個學系：神學、醫學、法學和藝術，而最後一個的地位稍微低於另外三個的地位。在中世紀至十九世紀晚期的大學世俗化過程中，傳統的課程開始增輔進了非古典的語言及文學、物理、化學、生物和工程等學科，現今的學科起源便源自於此。到了二十世紀初期，教育學、社會學及心理學也開始出現在大學的課程裡了。 以下簡表展示出各大類科目，以及各大類科目中的主要科目。 "*"記號表示此一領域的學術地位是有爭議的。注意有些學科的分類也是有爭議的，如人類學和語言學究竟屬於社會科學亦或是人文學科，以及计算机技术是工程学科亦或是形式科学。.
安德烈·奧昆科夫
安德烈·奧昆科夫（Андрей Окуньков，Andrei Okounkov，）是俄罗斯数学家，普林斯顿大学教授。2006年因为“将概率论、表示论和代数几何联系起来所做出的贡献”而获得菲尔兹奖。 奧昆科夫出生於莫斯科，1995年在莫斯科大学取得博士学位，师从Alexander Kirillov。在普林斯顿大学之前，他曾经执教加州大学伯克利分校。.
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安德烈·韦伊
安德烈·韦伊（André Weil，），20世紀数学家，布尔巴基小组创办者之一。他是哲学家西蒙娜·韦伊的兄长。.
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导出范畴
导出范畴是同调代数中的一种构造。导出范畴的概念推广并深化了传统同调代数中导出函子的理论。这一构造是格罗滕迪克在20世纪60年代初提出的，他的学生让-路易·韦迪耶在其指导下发展了相关理论。今天，导出范畴被广泛应用于代数几何和D-模理论。.
富比尼–施图迪度量
在数学中，富比尼–施图迪度量（Fubini–Study metric）是射影希尔伯特空间上一个凯勒度量。所谓射影希尔伯特空间即赋予了埃尔米特形式的复射影空间 CPn。这个度量最先由圭多·富比尼与爱德华·施图迪在1904年与1905年描述。 向量空间 Cn+1 上一个埃尔米特形式定义了 GL(n+1,C) 中一个酉子群 U(n+1)。一个富比尼–施图迪度量在差一个位似（整体缩放）的意义下由这样一个 U(n+1) 作用下的不变性决定；从而是齐性的。赋予这样一个富比尼–施图迪度量后，CPn 是一个对称空间。度量的特定正规化与(2''n''+1)-球面上的标准度量有关。在代数几何中，利用一个正规化使 CPn 成为一个霍奇流形。.
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小平邦彥
小平邦彥（）是日本数学家，長野縣出身。以在代数几何和緊複解析曲面理论方面的出色工作而著名。他也是代数几何日本流派的奠基人，也是20世紀數學界的代表人物之一。他在1954年获得菲尔兹奖，是获此荣誉的首位日本人。他也是为数不多的同获菲尔兹奖和沃尔夫奖的数学家之一。.
小平消沒定理
小平消沒定理是複幾何及代數幾何中的重要結果，在複流形的分類問題(例如Enriques-Kodaira Classification)上扮演重要角色。.
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尼古拉·布尔巴基
尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki，法語發音）是20世纪一群法国数学家的笔名。他們由1935年開始撰寫一系列述說對現代高等數學探研所得的書籍。以把整個數學建基於集合论為目的，在過程中，布尔巴基致力於做到最極端的嚴謹和泛化，建立了些新術語和概念。 布尔巴基是个虚构的人物，布尔巴基团体的正式称呼是“尼古拉·布尔巴基合作者协会”，在巴黎的高等师范学校设有办公室。.
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射影平面
在數學裡，投影平面（projective plane）是一個延伸平面概念的幾何結構。在普通的歐氏平面裡，兩條線通常會相交於一點，但有些線（即平行線）不會相交。投影平面可被認為是個具有額外的「無窮遠點」之一般平面，平行線會於該點相交。因此，在投影平面上的兩條線會相交於一個且僅一個點。 文藝復興時期的藝術家在發展透視投影的技術中，為此一數學課題奠定了基礎。投影平面的典型範例為實投影平面，亦稱為「擴展歐氏平面」。此一範例在代數幾何、拓撲學及投影幾何內都很重要，在各領域內的形式均略有不同，可標計為 、RP2 或 P2(R) 等符號。還有許多其他的投影平面，包括無限（如複投影平面）與有限（如法諾平面）之類型。 投影平面是二維投影空間，但並不是所有投影平面都可以嵌入三維投影空間內。投影平面是否能嵌入三維投影空間取決於該平面是否為笛沙格平面。.
射影几何
在數學裡，投影幾何（projective geometry）研究在投影變換下不變的幾何性質。與初等幾何不同，投影幾何有不同的設定、投影空間及一套基本幾何概念。直覺上，在一特定維度上，投影空間比歐氏空間擁有「更多」的點，且允許透過幾何變換將這些額外的點（稱之為無窮遠點）轉換成傳統的點，反之亦然。 投影幾何中有意義的性質均與新的變換概念有關，此一變換比透過變換矩陣或平移（仿射變換）表示的變換更為基礎。對幾何學家來說，第一個問題是要找到一個足以描述這個新的想法的幾何語言。不可能在投影幾何內談論角，如同在歐氏幾何內談論一般，因為角並不是個在投影變換下不變的概念，如在透視圖中所清楚看到的一般。投影幾何的許多想法來源來自於對透視圖的理論研究。另一個與初等幾何不同之處在於，平行線可被認為會在無窮遠點上交會，一旦此一概念被轉換成投影幾何的詞彙之後。這個概念在直觀上，正如同在透視圖上會看到鐵軌在水平線上交會一般。有關投影幾何在二維上的基本說明，請見投影平面。 雖然這些想法很早以前便已存在，但投影幾何的發展主要還是到19世紀才開始。大量的研究使得投影幾何變成那時幾何的代表學科。當使用複數的坐標（齊次坐標）時，即為研究複投影空間之理論。一些更抽象的數學（包括不變量理論、代數幾何義大利學派，以及菲利克斯·克萊因那導致古典群誕生的愛爾蘭根綱領）都建立在投影幾何之上。此一學科亦吸引了許多學者，在綜合幾何的旗幟之下。另一個從投影幾何之公理化研究誕生的領域為有限幾何。 投影幾何的領域又可細分成許多的研究領域，其中的兩個例子為投影代數幾何（研究投影簇）及投影微分幾何（研究投影變換的微分不變量）。.
射流
数学上，射流（jet）是一个操作，它取一个可微函数f并在其定义域的每一点产生一个多项式，也就是f的截尾泰勒多项式。虽然这是一个射流的定义，射流理论将这些多项式作为抽象多项式而不是多项式函数。.
层 (数学)
数学上，在给定拓扑空间X上的一个层（sheaf）（或译束、捆）F对于X的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构F(U)。这个结构F(U)和把开集限制（restricting）到更小的子集的操作相容，并且可以把小的开集粘起来得到更大的。一个预层（presheaf）和一个层相似，但它可能不可以粘起来。事实上，层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是局部性质，就像应用在函数上的层。.
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局部系統
在數學中，局部系統或稱局部係數是源於代數拓撲的一種觀念，它是常係數的同調或上同調理論的推廣。這個觀念也能應用於代數幾何 。 用層論的語言來講，局部系統是局部上同構於常數層的阿貝爾群層。若此層整體來看也同構於常數層，則就回到了傳統的常係數層上同調理論。例子包括了帶有平坦聯絡的向量叢，基本群的線性表示則給出了局部同構於向量空間常數層的局部系統。 category:層論 Category:代數拓撲 J.
中国学科分类国家标准/110
没有描述。
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中国图书馆分类法 (O1)
*O1 数学 ----.
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希尔伯特基定理
希尔伯特基定理是数学、尤其是交换代数中的定理。它声明诺特环上的多项式环也是诺特环。.
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希尔伯特零点定理
希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）确立了几何和代数之间的基本关系。数学中一大重要分支——代数几何——正是建立在这一关联的基础之上的。零点定理联系了代数集与（代数闭域上的）多项式环中的理想。大卫·希尔伯特最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理（如希尔伯特基定理）。.
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希爾伯特第十五問題
希爾伯特第十五問題是希爾伯特的23個問題之一。希爾伯特要求對德國數學家赫曼·舒伯特（Hermann Schubert）的列舉算術賦予嚴格基礎。.
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丘成桐
丘成桐（Shing-tung Yau，），美籍华裔数学家，曾獲數學界最高榮譽菲尔兹奖及沃爾夫數學獎，自小在香港長大並完成本科，後入籍美國。目前担任哈佛大學教授和香港中文大学博文讲座教授。.
平坦模
在抽象代數中，一個環 R 上的平坦模是一個 R-模 M，使得函子 - \otimes_R M 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。.
平展上同调
在数学中，一个代数簇或概形的平展上同调（Étale cohomology）是一个与一般拓扑空间的有限系数上同调群类似的代数结构。这一概念作为证明的工具由亚历山大·格罗滕迪克引入。平展上同调的理论可以用于构建ℓ进上同调，后者则是代数几何中的一个例子。这一理论有着众多的应用，包括Weil猜想的证明以及的构造。.
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亚历山大·格罗滕迪克
亚历山大·格罗滕迪克（低地德语：Alexander Grothendieck，Alexandre 或 Alexander Grothendieck；姓氏發音：，，），法國数学家、1966年菲爾茲獎得主，被譽為是20世紀最偉大的數學家。他於德国柏林出生，一生主要在法國成長及居住，但是工作生涯中長時期是無國籍的，1970至1980年代入籍法國。 他是現代代數幾何的奠基者，他的工作極大地拓展了代数几何此一領域，並將交换代数、同调代数、層論以及范畴论的主要概念也納入其基礎中。他的导致了纯粹数学很多领域革命性的进展。 他的多產數學家工作在1949年開始。1958年他獲任為法國高等科學研究所（IHÉS）的研究教授，直至1970年，他發現研究所受到軍事資助，與個人政治理念相反，因而離任。雖然他後來成為蒙彼利埃大學教授，也做了一些私人的數學研究，但他其時已離開數學界，把精力用於政治理想上。他在1988年正式退休後，到比利牛斯山隱居，與世隔絕，直至2014年在法國聖利齊耶離世，享年86歲。.
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亏格
数学上，亏格（genus）有几个不同但密切相关的意思：.
交换环
在抽象代数之分支环论中，一个交换环（commutative ring）是乘法运算满足交换律的环。对交换环的研究称为交换代数学。 某些特定的交换环在下列类包含链中：.
交換代數
在抽象代數中，交換代數旨在探討交換環及其理想，以及交換環上的模。代數數論與代數幾何皆奠基於交換代數。交換環中最突出的例子包括多項式環、代數整數環與p進數環，以及它們的各種商環與局部化。 由於概形無非是交換環譜的黏合，交換代數遂成為研究概形局部性質的主要語言。.
亨利·弗雷德里克·贝克
亨利·弗雷德里克·贝克（Henry Frederick Baker，），英国数学家，主要工作范畴是代数几何，但也在其他领域中有杰出贡献，包括偏微分方程和李群。.
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廣中平祐
廣中平祐（），日本数学家，出生于日本山口县玖珂郡由宇町（現岩國市）。日本学士院会员。1970年由于其在代数几何上的成就获得菲尔兹奖。 其夫人为曾任日本环境厅长官的广中和歌子。.
代数
代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、關係、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。 初等代数一般在中學時讲授，介紹代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解變數的概念和如何建立多项式并找出它们的根。 代数的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、环、域、模、線性空間等。并且,代数是几何的总称，代数是还可以用任何字母代替的。 e.g.2-4+6-8+10-12+…-96+98-100+102.
代数簇
代数簇，亦作代數多樣體，是代数几何学上多项式集合的公共零点解的集合。代数簇是经典（某种程度上也是现代）代数几何的中心研究对象。 術語簇（variety）取自拉丁语族中詞源（cognate of word）的概念，有基於“同源”而“變形”之意。 历史上，代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系，它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定，而根集合是内在的几何对象。在此基础上，希尔伯特零点定理提供了多项式环的理想和仿射空间子集的基本对应。利用零点定理和相关结果，我们能够用代数术语捕捉簇的几何概念，也能够用几何来承载环论中的问题。.
代數幾何基礎
《代數幾何基礎》（Éléments de géométrie algébrique，簡稱EGA，又譯“代數幾何原理”）是亞歷山大·格羅滕迪克在讓·迪厄多内協助下寫作的一部代數幾何專著。從1960年到1967年分八部分發表在《高等科學研究所數學出版物》（Publications mathématiques de l'I.H.É.S.）上，共1700餘頁。該書把代數幾何的基礎系統地建立在概形的概念之上。這部著作被視爲現代代數幾何的奠基之作和基本參考書。 各章標題如下： 另有第零章 《預備知識》（Chapitre 0.），分散在其他各章之前。 該書原計劃寫十三章，後來未能完成。第四章和未能完成的一些内容出現在《代數幾何討論班》中。 格羅滕迪克後來又寫了一個新版，只完成了第一章，1971年由施普林格出版社出版。新版對術語作了重大的改動：“預概形”改稱“概形”，“概形”改稱“分離概形”。.
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代數幾何討論班
瑪麗樹林代數幾何討論班（Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie，簡稱SGA）是20世紀60年代格羅滕迪克等人在法國高等科學研究所指導的一系列討論班。討論班的報告後來陸續出版，成為現代代數幾何的基本參考文獻。部分内容原計劃以更為詳細完整的形式寫進《代數幾何基礎》，但沒有實現。 討論班的具體情況如下。除SGA 2由北荷蘭出版公司出版以外，其他各卷都屬於施普林格出版社的Lecture Notes in Mathematics系列。 法國數學會正在進行LaTeX排版和再版。 Category:數學書籍 Category:代數幾何.
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代數幾何與解析幾何
在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。.
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代數群
在代數幾何中，一個代數群（或群簇）是一個群是一個代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以范畴论描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。 在數學中，域k上的代數群有幾種等價的描述：.
代數曲線
在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面\mathbb^2上由一個齊次多項式f(X,Y)定義的零點。.
伊斯蘭黃金時代
伊斯蘭黃金時代（阿拉伯語：حضارة إسلامية）又稱伊斯蘭復興，其时间跨度在習慣上是指公元762年—13世紀之間的500年，近來的一些學術研究將之延展至15世紀。在這段時期，伊斯蘭世界的藝術家、工程師、學者、詩人、哲學家、地理學家及商人輩出，在傳統學術的基礎上保留並促進了藝術、農業、經濟、工業、法律、文學、航海、哲學、科學、社會學、科技各方面的發展，並在基礎之上對這些方面實施改革創新Science in medieval Islam: an illustrated introduction，第270頁。作家-zh-tw:霍華·透納;zh-cn:霍华德·特纳;zh-hk:侯活·特納;-寫道：「穆斯林藝術家、科學家、傑出人物及工人合力創造了一種獨一無二的文化，直接及間接地影響到各個大陸上的社會。.
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张寿武
张寿武（），美国华裔数学工作者，普林斯顿大学教授。.
张伟 (数学家)
张伟（），中国数学家，麻省理工学院数学系教授，他的研究领域包括数论、自守形式、L函数、迹公式、表示论、代数几何等。.
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张益唐
张益唐（），上海人，美籍華裔数学家。 他于2013年4月17日在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对-zh-cn:素数相差;zh-tw:質數間隙;-都小于7000万，从而在孪生素数猜想这一數論重大難題上取得重要突破。他已58歲時才靠此项成就一舉成名，成为一流数论学家。其坎坷而传奇的经历和突出贡献都使他的成功在学术圈内外引发轰动。 張益唐在北京大學获得數學学士和碩士学位，后赴美在普度大学攻读博士学位，师从代数几何学家莫宗坚。博士毕业后未拿到導師推薦信，学术道路坎坷，长期靠打雜糊口，曾任快餐店收银员、中餐外賣員、汽車旅館零工等。后在新罕布什尔大学任講師。但他没有放弃学术的追求，终于在数论领域做出了突破性的结果。《数学年刊》一般審稿兩年，他的論文因突破性和嚴謹度在五週之內通過同行评议，创下创刊130年来论文接受时间最快的记录。他的成果引发了素数猜想研究方向的一波研究热潮。.
张量场
在数学，物理和工程上，张量场（tensor field）是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场的想法的一般化，而向量场可以视为“从点到点变化的向量”。 物理学中场的一种。假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个张量来代表的话，那么这个场就是一个张量场。最常见的张量场有广义相对论的应力能张量场（Stress-energy tensor field）。 必须注意到很多不严格的称为“张量”的数学结构实际上是“张量场”，定义在流形上的场在流形的每点定义了一个张量。.
伯特·托塔罗
伯特·詹姆斯·托塔罗（Burt James Totaro；）, 是一位美国数学家，专长于代数几何和代数拓扑。托塔罗现任加州大学洛杉矶分校教授。.
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伽羅瓦上同調
在數學中，伽羅瓦上同調是一套用群上同調研究伽羅瓦群的作用的技術。具體言之，假設伽羅瓦群 G.
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伽羅瓦理論
在数学中，特别是抽象代数理论中，由法國數學家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）得名的伽罗瓦理论提供了域论和群论之间的联系。应用伽罗瓦理论，域论中的一些问题可以化简为更简单易懂的群论问题。 伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式的根与根之间的关系。由戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）、利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）、埃米爾·阿廷（Emil Artin）等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。 伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接理论。.
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弗里德里希·希策布鲁赫
弗里德里希·恩斯特·彼得·希策布鲁赫，ForMemRS（Friedrich Ernst Peter Hirzebruch，），德国数学家，研究领域为拓扑学，复流形和代数几何。他是同代数学家中的领军人物，被认为是“战后德国最重要的数学家”。.
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弗拉基米爾·德林費爾德
弗拉基米爾·格爾紹諾維奇·德林費爾德（Vladimir Gershonovich Drinfel'd，），烏克蘭數學家，出生於哈爾科夫 。 1986年，柏克萊國際數學家大會一席開創性演講中，德林費爾德在霍普夫代數的基礎上引進量子群 (單李代數的量子形變(quantum deformation))一概念，並連係其到楊—巴克斯特方程(Yang-Baxter equation)（統計力學模型可解的必要條件）的研究。他又推廣霍普夫代數成 半霍普夫代數, 引進了德林費爾德模一概念，其應用包括分解對應於半三角霍普夫代數之楊-巴克斯特方程解的 R矩陣。 德林費爾德亦以數論、代數幾何、表示理論及其它領域上的工作為人所知，尤其是幾何化郎蘭茲綱領：他證明了有限域上的代數曲線函數域上關於GL2的郎蘭茲猜想。 這是首個整體域上郎蘭茲猜想的非交換例子。.
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弗拉基米爾·阿諾爾德
弗拉基米爾·伊戈列維奇·阿諾爾德（Влади́мир И́горевич Арно́льд，），俄國數學家，生於蘇聯敖德薩（今烏克蘭境內）。1957年他19歲時就解決了希爾伯特第十三問題，此後對多個數學領域都有重大貢獻，包括動力系統理論、、拓撲學、代數幾何、古典力學、。他最著名的成果是關於可積哈密頓系統穩定性的，即。 他的學術成就深得肯定，獲頒多個獎項，如1982年的克拉福德獎，2001年的沃爾夫數學獎，2008年的邵逸夫獎等。.
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微分几何
微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中一主流；是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。.
微分算子
在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）。 当然有理由不单限制于线性算子；例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。.
保罗·格兹
保罗·格雷戈里·格兹（英文：Paul Gregory Goerss，），生于美国俄亥俄州克利夫兰市，知名美国代数拓扑学家。1983年，保罗毕业于麻省理工学院，获博士学位。博士期间，他师从（Franklin Paul Peterson），主要工作有“Results on Brown-Gitler Spectra”。他曾任教于卫斯理学院（Wellesley College） ，华盛顿大学（University of Washington），现为西北大学（Northwestern University）数学系终身教授 。 保罗的主要研究领域是同伦论，包括（stable homotopy theory）及其应用，例如在代数几何之中的应用。.
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志村簇
在數學中的代數幾何與數論領域，志村簇是一類特殊的代數簇，可視之為模曲線在高維度的類推。粗略地說，志村簇乃是埃爾米特對稱空間對某個代數群之同餘子群的商；最簡單的例子是上半平面對 \mathrm_2(\Z) 的商。一維的志村簇有時也被稱為志村曲線。 志村五郎在1960年代研究了上述商空間的緊化，其目的在推廣複乘法理論及互逆律；在此需要的基本結果是 Baily-Borel 定理（1966）。此後，人們也發現志村簇是某類霍奇結構的模空間。.
包含映射
在數學裡，若A為B的子集，則其包含映射為一函數，其將A的每一元素映射至B內的同一元素： 「有鉤箭頭」\hookrightarrow 有時被用來標記一內含映射。 此一及其他類似的由子結構映射的單射函數有時會被稱為自然單射。 給定任一於對象X和Y之間的態射，若存在一映射至其定義域的內含映射i:A→X，則可形成一f的限制/fi:A→Y。在許多的例子內，亦可以建立一映射至陪域的內含映射R→Y，其中R為f值域的子集。.
周環
代數幾何中，代數簇的周環（得名於周煒良）是簇作為拓撲空間的上同調環的替代品：子簇（所謂代數圈）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。.
周炜良
周炜良（），华裔数学家，20世纪代数几何领域的主要人物之一，中国20世纪代数几何最主要代表人物。原籍安徽至德（今东至），出生于上海。父周美权。.
哈佛数学150年
《哈佛数学150年》(A History in Sum: 150 Years of Mathematics at Harvard, 全名《历史总结: 哈佛数学150年》)是丘成桐和史蒂夫·纳迪斯(Steve Nadis)合著的一部数学史著作，讲述了哈佛大学数学系150年(1825年-1975年)的发展历史以及它对美国数学发展的影响。.
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優環
在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。 代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。.
儒勒·昂利·庞加莱
儒勒·昂利·庞加莱（Jules Henri Poincaré，法語发音，又译作彭加勒、昂利·彭加勒，），通常称为昂利·庞加莱，法国最伟大的数学家之一，理论科学家和科学哲学家。庞加莱被公认是19世纪后和20世纪初的领袖数学家，是繼高斯之後对于数学及其应用具有全面知识的最后數學家。 他对数学，数学物理，和天体力学做出了很多创造性的基础性的贡献。他提出的庞加莱猜想是数学中最著名的问题之一。在他对三体问题的研究中，庞加莱成了第一个发现混沌确定系统的人並为现代的混沌理论打下了基础。庞加莱比爱因斯坦的工作更早一步，并起草了一个狭义相对论的简略版。庞加莱群以他命名。.
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凝聚層
在數學中，尤其是代數幾何與複流形理論裡，凝聚層是一類特別容易處理的層。凝聚層的定義指涉到一個環層（例如一個概形的結構層、複流形上的全純函數層或 D-模），此環層蘊藏了所論空間的幾何性質。相關的概念還有擬凝聚層與有限展示層。代數幾何與複解析幾何裡的許多性質與定理都以凝聚層及其上同調表述。 凝聚層可被視作向量叢截面層的推廣。它們構成的範疇在取核、上核、有限直和等操作下封閉。此外，若底空間滿足合宜的緊緻條件，則凝聚性在底空間的映射下保持不變，且具有有限維的層上同調群。交換代數裡的一些定理也能應用於凝聚層，如中山正引理。.
几何学
笛沙格定理的描述，笛沙格定理是欧几里得几何及射影几何的重要結果 幾何學（英语：Geometry，γεωμετρία）簡稱幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。 許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。 勒內·笛卡兒發明的坐標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段，像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示。這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響。透视投影的理論讓人們知道，幾何學不只是物體的度量屬性而已，透视投影後來衍生出射影几何。歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究，使幾何的主題繼續擴充，最後產生了拓扑学及微分幾何。 在歐幾里德的時代，實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別，但自從十九世紀發現非歐幾何後，空間的概念有了大幅的調整，也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題。在二十世紀形式數學興起以後，空間（包括點、線、面）已沒有其直觀的概念在內。今日需要區分實體空間、幾何空間（點、線、面仍沒有其直觀的概念在內）以及抽象空間。當代的幾何學考慮流形，空間的概念比歐幾里德中的更加抽象，兩者只在極小尺寸下才彼此近似。這些空間可以加入額外的結構，因此可以考慮其長度。近代的幾何學和物理關係密切，就像偽黎曼流形和廣義相對論的關係一樣。物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係。 几何学可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些几何語言已經和原來傳統的、欧几里得几何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。 現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。 幾何學應用於許多領域，包括藝術，建築，物理和其他數學領域。.
几何学家列表
几何学家是研究几何学的数学家。 下表列出了一些重要几何学家和他们的主要研究领域，按出生时间顺序排列如下：.
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凯勒流形
在数学中，一个凯勒流形（Kähler manifold）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个U(''n'')-结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形 、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。 这个三位一体结构对应于将酉群表示为一个交集： 若没有任何可积性条件，类似的概念是一个殆埃尔米特流形。如果辛结构是可积的（但复结构不要求），则这个概念是殆凯勒流形；如果複结构是可积的（但辛结构不要求），则为埃尔米特流形。 凯勒流形以数学家埃里希·凯勒命名，在代数几何中占有重要的地位：它们是複代数簇的一个微分几何推广。.
函數域
在代數幾何中，一個整概形 X 的函數域 K_X 由 X 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 K_X 所決定的幾何性質。.
克萊爾·瓦贊
克萊爾·瓦贊（Claire Voisin），法國數學家，研究代數幾何。.
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克鲁尔维数
在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依學數家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。.
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皮特·舒尔策
特·舒尔策（Peter Scholze，，），德国算术代数几何学家，21世纪的数学领军人之一。他任教于德国波恩大学，提出了。.
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环论
抽象代数中，环论（Ring Theory）是針對一種稱為环的代数结构之研究，环類似可交換群，有定義運算「+」，此外又定義另一種運算「·」（此處的「+」和「·」不一定是一般的加法及乘法，但和在整數中定義的加法及乘法有類似性質）。环论研究環的結構、環的（或稱為）、特殊的環（例如群環、除环、泛包絡代數等），也包括一些和环论有關的定理以及其應用，例如同調代數、及。 交换环是指其中運算「·」符合交換律的环，本身比較容易理解。代数几何及代數數論中有許多交换环的例子，也帶動了交换环理論的發展，這部份後來稱為交換代數，是現代數學中的主要領域之一。代数几何、代數數論及交換代數在本質上連結的非常緊密，因此有時很難去區分某特定數學原理屬於哪個領域。例如希尔伯特零点定理是代数几何的基本定理，但是陳述及證明時都是以交換代數的方式進行。而费马大定理問題的形式是以基本的算术方式（屬於交換代數的一部份）呈現，但其證明用到很深的代数几何及代数數論。 是指其中運算「·」不符合交換律的环，會有一些和交换环不同的的特殊特性。非交換環此一數學概念本身也在進展，而近來的也有一些研究將特定的非交換環以幾何的方式表示，例如在（不存在的）非交換空間下的函数環。這種趨勢自1980年代開始發展，也和量子群的出現同時。目前對非交換環已有多一些的認識，尤其是非交換的諾特環。 在「环 (代数)」條目中，有環的定義以及其基本的概念及性質。.
王金龍
王金龍（），哈佛大學數學博士，第二屆晨興數學獎得主。現任教於國立臺灣大學數學系。.
理查德·沃德
查德·塞缪尔·沃德 FRS （Richard Samuel Ward，） ，英国数学家、数学物理学家。杜伦大学数学系和粒子理论中心教授。.
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理想数
在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。根据主理想化定理，一个代数数域中的整环中的所有非主理想的理想在数域扩张成为一个希尔伯特类域时都会成为一个主理想。这表示存在一个类域中的整环中的元素 a，其为一个理想数，即使得 a 与类域中的整环中元素相乘得到的倍数与原来数域的交集就是原来的非主理想。.
科恩-麥考利環
在交換代數中，Cohen-Macaulay環是對應到一類代數幾何性質（例如局部等維性）的交換環。 此概念依數學家弗朗西斯·索尔比·麦考利（Francis Sowerby Macaulay）與欧文·索尔·科恩（Irvin S. Cohen） 命名，麦考利（1916年）證明了多項式環的純粹性定理，科恩（1946年）則證明了冪級數環的情形；事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。.
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符拉基米尔·弗沃特斯基
拉基米尔·弗沃特斯基（Влади́мир Алекса́ндрович Воево́дский，Vladimir Voevodsky，），俄罗斯数学家。2002年获得菲尔兹奖。.
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算术
算術（arithmetic）是数学最古老且最簡單的一個分支，幾乎被每個人使用著，從日常生活上簡單的算數到高深的科学及工商业計算都會用到。一般而言，算術這一詞指的是記錄數字某些運算基本性質的数学分支。常用的运算有加法、減法、乘法、除法，有时候，更复杂的运算如指数和平方根，也包括在算术运算的范畴内。算术运算要按照特定规则来进行。 自然数、整数、有理数（以分數的形式）和实数（以十进制指数的形式）的运算主要是在小学和中学的时候学习。用百分比形式进行运算也主要是在这个时候学习。然而，在成人中，很多人使用计算器，计算机或者算盘来进行数学计算。 專業数学家有時會使用高等算術來指数论，但這不應該和初等算術相搞混。另外，算術也是初等代數的重要部份之一。.
算术几何
算术几何（arithmetic geometry）亦称算术代数几何，代数几何的一个分支。原指从法尔廷斯（Faltings,G.）、奎伦（Quillen,D.G.）等的算术曲面上黎曼-罗赫定理开始的一系列研究工作，现在一般指所有以数论为背景或目的的代数几何。在算术几何中许多学科起着重要作用，并且相互交叉和渗透，包括数论、模形式、表示论、代数几何、代数数论、李群、多复变函数论、黎曼面、K理论等，所以，它是典型的边缘学科。丢番图方程是算术几何的一个重要课题，其中的问题可以自然地用几何语言表达。在许多著名问题如莫德尔猜想、费马大定理等的研究中，都表明几何方法的必要性。这正是算术几何的生命力所在。 Category:代数几何.
米田引理
在範疇論中，米田引理斷言一個對象X的性質由它所表示的函子\mathrm(X,-)或\mathrm(-,X)决定。此引理得名于日本數學家暨計算機科學家米田信夫。.
米歇尔·雷诺
米歇尔·雷诺（Michel Raynaud，），生于法国里翁(Riom)，法国数学家，法国科学院通讯院士。他的研究领域是代数几何。 他早年师从格罗滕迪克。1967年成为巴黎第十一大学教授，2001年退休成为名誉教授。他1983年证明了马宁-芒福德猜想。1994年他和Harbater证明了Abhyankar猜想。 雷诺1994年4月11日当选为法兰西科学院通讯院士，1995年获得柯尔代数奖。 他的夫人米谢勒·雷诺（Michèle Raynaud）也是格罗滕迪克的学生。 Category:巴黎高等師範學院校友 Category:巴黎第十一大學校友 Category:法国数学家 Category:20世纪数学家 Category:法兰西科学院院士.
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素数
質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.
紧化
数学中，紧化（compactification）是将一个拓扑空间扩大为紧的过程或结果。紧化的方法有多种，但每一种方法都是以某种方式添加“无穷远点”控制“跑向无穷远”的点或阻止这样的“逃逸”。.
約翰·謝菲爾德-巴隆
約翰·亞德·謝菲爾德-巴隆，OBE（John Adrian Shepherd-Barron，）是用於可自助辦理銀行服務設備「自動提款機」的發明人。.
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線性系統
線性系統是一數學模型，是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統： 由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。 線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲τ秒，那麼得到的輸出除了這τ秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。.
约翰·福布斯·纳什
小约翰·--·納殊（John Forbes Nash Jr.，），美國數學家，前麻省理工學院摩爾榮譽講師，主要研究博弈論、微分幾何学和偏微分方程。晚年為普林斯頓大學的資深研究數學家。 1950年，納殊获得美国普林斯頓大學的博士学位，他在仅仅28页的博士论文中提出了一个重要概念，成為博弈论中一項重要突破。這個概念被稱為“納許均衡”，廣泛運用在經濟學、計算機科學、演化生物學、人工智慧、會計學、政策和軍事理論等方面。1994年，他和其他两位博弈論学家约翰·海薩尼和萊因哈德·澤爾騰共同獲得了诺贝尔经济学奖。 他最重要的數學成就是在微分幾何和偏微分方程的領域，特別是黎曼流形等距嵌入到歐氏空間的一系列結果。因為在非線性偏微分方程上的貢獻，他与路易·尼伦伯格共同获得了2015年阿贝尔奖。著名幾何學家米哈伊爾·格羅莫夫評價納殊的工作：「他有巨大的分析（指數學分析）能力與幾何洞察力結合。……他的幾何工作，不論是他的結果、技術、用的想法，都與任何人原先預期的相反。……他在幾何學所做的，從我看來，比起他在經濟學所做的無可比擬地偉大得多，相差很多個數量級。」 在1959年之後，由於出現精神上的症狀，他的研究生涯曾經中斷，在1959年及1961年兩度進入醫院療養，被診斷為思覺失調症。納殊拒絕接受精神藥物治療，在1970年後，症狀逐漸好轉，因此再度回到學術研究工作。他這段時間的經歷，由Sylvia Nasar寫成傳記，並翻拍為電影《美麗境界》，使得他的事蹟廣為人知。.
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罗蒙诺索夫金质奖章
罗蒙诺索夫金质奖章（Большая золотая медаль имени М. В. Ломоносова）以俄罗斯科学家和博学家米哈伊尔·罗蒙诺索夫的名字命名，自1959年起由苏联科学院和后来的俄罗斯科学院（RAS）颁发，奖励在自然科学和人文科学取得杰出成就的人物。 自1967年以来，罗蒙诺索夫金质奖章每年颁发两枚，授予一位俄罗斯科学家和一位外国科学家。它是俄罗斯科学院的最高荣誉。.
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群
在數學中，群是由一個集合以及一個二元運算所組成的，符合下述四个性质（称为“群公理”）的代數結構。这四个性质是封闭性、結合律、單位元和对于集合中所有元素存在逆元素。 很多熟知的數學結構比如數系統都遵从群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果将群公理的公式從具体的群和其運算中抽象出來，就使得人们可以用靈活的方式来處理起源于抽象代數或其他许多数学分支的實體，而同时保留對象的本質結構性质。 群在數學內外各個領域中是無處不在的，这使得它們成為當代數學的组成的中心原理。 群與對稱概念共有基礎根源。對稱群把幾何物體的如此描述物体的對稱特征：它是保持物體不變的變換的集合。這種對稱群，特別是連續李群，在很多學術學科中扮演重要角色。例如，矩陣群可以用來理解在狹義相對論底層的基本物理定律和在分子化學中的對稱現象。 群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽罗瓦在1830年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何学的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群理論家還從理論和計算兩種角度來研究具體表示群的各種方式（群的表示）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在1983年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。从1980年代中叶以来，将有限生成群作为几何对象来研究的几何群论，成为了群论中一个特别活跃的分支。.
群概形
在代數幾何中，一個概形S上的群概形G是範疇\mathrm_S中的群對象。藉由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：.
羅傑·潘洛斯
羅傑·潘洛斯爵士，OM，FRS（Sir Roger Penrose，），英國數學物理學家與牛津大學數學系W. W. Rouse Ball名譽教授。他在數學物理方面的工作擁有高度評價，特別是對廣義相對論與宇宙學方面的貢獻。他也是娛樂數學家與具爭議性的哲學家。羅傑·潘洛斯是科學家理昂內·潘洛斯與的兒子，為數學家與西洋棋大師強納森·潘洛斯的兄弟。.
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热拉尔·洛蒙
热拉尔·洛蒙（Gérard Laumon，），生于里昂，法国数学家，法国科学院院士。他的研究领域是代数几何。 20世纪80年代，洛蒙运用傅里叶-德利涅变换简化了韦伊猜想的证明，并证明了曲线L函数函数方程常数的乘积公式。他因此获得1987年法国国家科学研究中心银奖。 21世纪初，洛蒙和他的学生吳寶珠合作证明了酉群的基本引理。基本引理是朗兰兹纲领中的重要猜想。他们两人因此获得2004年克莱研究奖。同年，洛蒙当选法国科学院院士。.
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結式
結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 F 上兩個多項式 P, Q，設其首項係數分別為 a, b，則其結式定義為 其中 \bar 為 F 的給定代數閉包。由此定義的結式是 F 的元素，而与代數閉包的選取无关。.
環的局部化
在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。 局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。.
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環的譜
在抽象代數學和代數幾何學中，一個交換環A的譜是指其素理想全體形成的集合，記作\mathrm(A)。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。 一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。.
熱帶幾何
熱帶幾何是數學的一支，首先由巴西數學家兼計算機科學家 Imre Simon 於 1980 年代發展；「熱帶」一詞源於部份法國數學家對巴西的刻板印想。大略言之，熱帶幾何可謂是分片線性化的代數幾何。它在計數代數幾何中有重要的應用。.
特殊化预序
在数学分支拓扑学中，特殊化（或规范）预序是在拓扑空间上的自然预序。对在实践中考虑的大多数空间，特别是满足T0 分离公理的那些空间，这个预序甚至是偏序（叫做特殊化序）。在另一方面，对于T1空间这个次序成为平凡的而没有价值。 特殊化序经常在计算机科学应用中考虑，这里的T0空间出现在指称语义中。特殊化序对于识别在偏序集合上合适的拓扑空间是重要的，这在序理论所要做的。.
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隐函数
在數學中，隱式方程（implicit equation）是形同f(x_1,x_2,\cdots,x_n).
韦伊配对
韋伊配對（英語：Weil pairing），簡單的說，Weil對可將橢圓曲線之撓群（torsion group）上的兩個點，映射到一個特殊有限域之乘法子群上，藉此可將橢圓曲線離散對數問題（ECDLP）投射到一般的離散對數問題（DLP）。 Weil對被用在數論以及代數幾何上，以及橢圓曲線密碼學的 ID-based cryptography 上。 對於更高維度的阿貝爾簇，相應的理論依然成立。 Category:橢圓曲線.
莫宗坚
莫宗坚（Tzuong-Tsieng Moh，），台灣人，歸化美籍华裔数学家，普渡大学数学系教授，主要领域包括交换代数、代数几何等。 莫宗坚早年就读于台中一中，1958年考入国立台湾大学化学系，次年转入数学系学习。1962年毕业后前往美国普渡大学数学系留学，师从知名数学家，1969年获博士学位。毕业后在普渡大学任助理教授，后于1971年至1972年间任职于普林斯顿高等研究院。1972年起任教于明尼苏达大学，1975年升任副教授。同年起回到普渡大学任教，1983年起升任教授。.
莫毅明
莫毅明生于香港，籍贯广东东莞，数学家，从事多复变函数论、复微分几何与代数几何的研究。1978年取得耶鲁大学硕士学位。1980年取得斯坦福大学博士学位。担任香港大学讲座教授、明德教授、数学研究所所长。2015年当选中国科学院院士。.
鏈環
在交換代數中，一個交換環 R 被稱作鏈環，若且唯若對任何一對素理想 任何嚴格遞增的素理想鏈 皆包含於一個從 \mathfrak 到 \mathfrak 的有限長極大鏈，而且此極大鏈的長度僅依賴於 \mathfrak, \mathfrak。因此我們有一個從素理想對 \ 至 \mathbb N 的映射。在代數幾何上，此條件能理解為維度可明確定義。 一個環被稱為泛鏈環，若且唯若其上的任何有限生成代數都是鏈環。.
萧荫堂
萧荫堂（），美籍华裔数学家，哈佛大学讲座教授，原哈佛大学数学系主任。其研究领域包括复分析、复几何、代数几何、微分几何等。.
非線性系統
在物理科學中，如果描述某個系統的方程其輸入（自變數）與輸出（應變數）不成正比，則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的，因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於，非線性系統可能會導致混沌、不可預測，或是不直觀的結果。 一般來說，非線性系統的行為在數學上是用一組非線性聯立方程來描述的。非線性方程裡含有由未知數構成的非一次多項式；換句話說，一個非線性方程並不能寫成其未知數的線性組合。而非線性微分方程，則是指方程裡含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程是線性或非線性時，只需考慮未知數（或未知函數）的部分，不需要檢查方程中是否有已知的非線性項。例如在微分方程中，若所有的未知函數、未知導函數皆為一次，即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數，我們仍稱它是一個線性微分方程。 由於非線性方程非常難解，因此我們常常需要以線性方程來近似一個非線性系統（線性近似）。這種近似對某範圍內的輸入值（自變數）是很準確的，但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象，例如孤波、混沌和奇點。這些奇特的現象，也常常讓非線性系統的行為看起來違反直覺、不可預測，或甚至混沌。雖然「混沌的行為」和「隨機的行為」感覺很相似，但兩者絕對不能混為一談；也就是說，一個混沌系統的行為絕對不是隨機的。 舉例來說，許多天氣系統就是混沌的，微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果。就目前的科技而言，這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石。 某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究，但也有人不以為然：.
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表示论
表示論是數學中抽象代數的一支。旨在將抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換，并研究这些代数结构上的模，藉以研究結構的性質。略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源最早，用途也最廣的是群表示論。設G為群，其在域F（常取複數域F.
西格爾模形式
在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。 卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。.
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解析几何
解析几何（Analytic geometry），又稱為坐标几何（Coordinate geometry）或卡氏幾何（Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。 在中学课本中，解析几何被简单地解释为：采用数值的方法来定义几何形状，并从中提取数值的信息。然而，这种数值的输出可能是一个方程或者是一种几何形状。 1637年，笛卡兒在《方法论》的附录“几何”中提出了解析几何的基本方法。 以哲学观点写成的这部法语著作为后来牛顿和莱布尼茨各自提出微积分学提供了基础。 对代数几何学者来说，解析几何也指（实或者複）流形，或者更广义地通过一些複變數（或實變數）的解析函数为零而定义的解析空间理论。这一理论非常接近代数几何，特别是通过让-皮埃尔·塞尔在《代数几何和解析几何》领域的工作。这是一个比代数几何更大的领域，不过也可以使用类似的方法。.
諾特環
諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。.
高度 (環論)
在交換代數中，一個環 R 的理想 I 的高度是包含於 I 的素理想鏈長度之上確界。 素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 R 中有 n+1 個素理想 P_0, \ldots, P_n，使得 則稱之為長度為 n 的素理想鏈。若 P_n \subset I，則稱此鏈包含於 I。一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的 在代數幾何中，這可以詮釋為閉子概形 \mathrm(R/I) \subset \mathrm(R) 的餘維度。 在諾特環的情形，Krull 高度定理斷言：由 n 個元素生成的理想其高度必 \leq n。.
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许晨阳
许晨阳（1981年—），重庆人，中国数学家，研究领域为代数几何。1999年至2004年在北京大学数学科学学院学习，获学士和硕士学位；2008年获得普林斯顿大学数学博士学位。2014年，获得国家杰出青年基金并被评为北京大学长江特聘教授。在北京国际数学研究中心任职。2016年，获得ICTP拉马努金奖。 2017年9月，许晨阳获得2017年未来科学大奖数学与计算机科学奖。.
讓-皮埃爾·塞爾
讓-皮埃爾·塞爾（Jean-Pierre Serre，），法國數學家，主要貢獻的領域是拓撲學、代數幾何與數論。他曾獲頒許多數學獎項，包括1954年的費爾茲獎與2003年的阿貝爾獎。.
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谷山－志村定理
谷山－志村定理（Taniyama-Shimura theorem）建立了椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）、理查·泰勒（Richard Taylor）、法國數學家克里斯多福·布勒伊（Christophe Breuil）、美國數學家布萊恩·康萊德（Brian Conrad）和佛瑞德·戴蒙德（Fred Diamond）所完成。 若p是一个质数而E是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。谷山-志村定理说：.
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豪斯多夫空间
在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。直观地讲，这个条件可用个双关语来形容：如果某空间中任两点可用开集合将彼此“豪斯多夫”开来，该空间就是“豪斯多夫”的。 豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。.
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貝祖定理
贝祖定理是代数几何中，用来描述两个代数曲线的交点个数的定理，定理说明两条互质的曲线X 和Y的交点个数等于它们次数的乘积。.
賦值
在代数中，赋值是域元素的阶（多少）或元素重复度一个度量。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。.
賦環空間
賦環空間 （ringed space） 在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層，其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。.
费马大定理
费马大定理，也称費馬最後定理（Le dernier théorème de Fermat)；(Fermat's Last Theorem），其概要為： 以上陳述由17世纪法国数学家费马提出，一直被稱為「费马猜想」，直到英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）於1995年將他們的證明出版後，才稱為「費馬大定理」。這個猜想最初出現費馬的《頁邊筆記》中。儘管費馬表明他已找到一個精妙的證明而頁邊没有足夠的空位寫下，但仍然經過數學家們三個多世紀的努力，猜想才變成了定理。在衝擊這個数论世紀难题的過程中，無論是不完全的還是最後完整的證明，都給數學界帶來很大的影響；很多的數學結果、甚至數學分支在這個過程中誕生了，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅瓦理論和赫克代數等。這也令人懷疑當初費馬是否真的找到了正確證明。而安德魯·懷爾斯由於成功證明此定理，獲得了包括邵逸夫獎在内的数十个奖项。.
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超越方程
超越方程（transcendental equation）是包含超越函數的方程，也就是方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數，与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解無法利用代數幾何來進行。大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解。.
超曲面
超曲面（hypersurface）是几何中超平面概念的一种推广。假设存在一个n维流形M，则M的任一(n-1)维子流形即是一个超曲面。或者可以说，超曲面的餘維數为1。 在代数几何中，超曲面是指n维射影空间上的一个(n-1)维的代数集。它可由方程F.
黎曼球面
数学上，黎曼球面是一种将複數平面加上一个无穷远点的扩张，使得下面这类公式至少在某种意义下有意义 它由19世纪数学家黎曼而得名。也称为.
黎曼猜想
黎曼猜想由德国數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題（猜想界皇冠）。多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。.
黎曼－罗赫定理
黎曼–罗赫定理（Riemann–Roch theorem）是数学中的一个重要工具，在复分析和代数几何中的应用尤为广泛。利用该定理，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格 g 的连通紧黎曼曲面上的复分析以某种方式可转换为纯代数设置。 此定理最初是黎曼不等式，对黎曼曲面的确定形式由黎曼早逝的学生古斯塔·罗赫于1850年代证明。随后推广到代数曲面，高维代数簇，等等。.
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黎曼曲面
数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被視为是一个复平面的变形版本：在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。 黎曼曲面的精髓在于在曲面之间可以定义全纯函数。黎曼曲面现在被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函數。 每个黎曼曲面都是二维实解析流形（也就是曲面），但它有更多的结构（特别是一个複結構），因为全純函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面（通常有几种不同的方式）当且仅当它是可定向的。所以球和环有複結構，但是莫比乌斯带，克莱因瓶和射影平面没有。 黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给與其它曲线，流形或簇上的推广提供了直观的理解和动力。黎曼-罗赫定理就是这种影响的最佳例子。.
輾轉相除法
在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（）；因为，所以147和105的最大公约数也是21。在这个过程中，较大的数缩小了，所以继续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。这时，所剩下的还没有变成零的数就是两数的最大公约数。由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，如。这个重要的結論叫做貝祖定理。 辗转相除法最早出现在欧几里得的《几何原本》中（大约公元前300年），所以它是现行的算法中歷史最悠久的。这个算法原先只用来处理自然数和几何长度（相當於正實數），但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的數學對象，如高斯整数和一元多项式。由此，引申出欧几里得整环等等的一些现代抽象代数概念。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。 辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法（一种在电子商务中广泛使用的公钥加密算法）的重要部分。它还被用来解丢番图方程，比如寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域中元素的逆。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。 辗转相除法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数（十进制下）的五倍。拉梅于1844年证明了这点，同時這也標誌著计算复杂性理论的開端。.
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迈克尔·阿廷
迈克尔·阿廷（Michael Artin，），是一名美国数学家、麻省理工学院数学系退休教授。他因代数几何的贡献, MIT mathematics department, retrieved 2011-01-03 而被视为在其领域的杰出教授之一。.
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迈克尔·阿蒂亚
迈克尔·阿蒂亚爵士，OM，FRS（Sir Michael Francis Atiyah， ）英国数学家，主要研究领域为几何，被誉为当代最伟大的数学家之一。.
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霍奇理论
数学上，霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲，它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。 它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来，并在三个层次上有重要应用：.
霍奇猜想
霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。.
范畴的等价
在数学的一个抽象分支范畴论中，范畴的等价（equivalence of categories）是两个范畴间的一个关系，在这种关系之下的范畴是“本质上一样的”。从数学的许多地方都有范畴等价的例子。建立一个等价涉及展示所考虑的数学结构间很强的相似性。在许多情形，这些结构表面或直觉上看并无关联，这样就使这种概念特别有用：它提供了在不同数学结构之间翻译的可能性，本质一语是指在翻译中保持的定理。 如果一个范畴等价于另一个范畴的反范畴，则我们说“范畴的对偶性”，以及这两个范畴对偶等价。 范畴的等价由所涉范畴的一个函子组成，这个函子要求有一个“逆”函子。但与通常代数语境的同构不同，这个函子与它的逆不必是恒等映射，二只要每个对象自然同构与在此符合函子下的像。从而我们可以说这个函子是差一个同构下的逆。这实际上是范畴的同构的概念，其中要求逆函子的严格性质，但这比“等价”概念用得要少。.
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范畴论
疇論是數學的一門學科，以抽象的方法來處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化成範疇，並且使用範疇論，令在這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論可以比沒有使用範疇還會更容易敘述及證明。 範疇最容易理解的一個例子為集合範疇，其物件為集合，態射為集合間的函數。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函數；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。 範疇最簡單的例子之一為广群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用于對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。 範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。.
阿廷環
阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。.
阿貝爾範疇
在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。.
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阿贝尔奖
阿贝尔奖（Abelprisen，Abel Prize）是數學的國際獎項，每年颁发一次，獲譽為數學界最高榮譽之一。2001年，为了纪念2002年挪威著名数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔二百周年诞辰，挪威政府宣布将开始向杰出数学家颁发此种奖金。 自2003年起，由挪威自然科学与文学院的五名数学家院士组成的委员会负责宣布获奖人。奖金的数额大致与诺贝尔奖相近。设立此奖的原因也是因为诺贝尔奖没有数学奖项。2001年挪威政府拨款2亿挪威克朗作为启动资金。扩大数学的影响，吸引年轻人从事数学研究是设立阿贝尔奖的主要目的。 2003年3月23日，第一个获奖人名宣布，六月奖金第一次正式颁发。2004年三月第二届获奖人名单宣布，此次有两人分享奖金。 阿貝爾獎最初是索菲斯·李在1899年建議設立，因為他得悉阿爾弗雷德·諾貝爾計劃中的獎項不包括數學獎。可是索菲斯·李不久後逝世，打斷了設立阿貝爾獎的工作。國王奧斯卡二世在1902年嘗試設立阿貝爾獎也不成功，而三年後瑞典－挪威聯盟的解散，使第一次的設立阿貝爾獎的努力以失敗告終。.
肯尼斯·阿蘭·黎貝
肯尼斯·阿蘭·黎貝（Kenneth Alan Ribet，簡稱肯·黎貝，），美國數學家，目前在柏克萊加州大學任教，研究領域涉及代數數論與代數幾何。 黎貝在安德魯·懷爾斯證明費馬最後定理的過程中曾經做出大量貢獻，尤其是他證明了讓-皮埃爾·塞爾提出的ε猜想（現稱黎貝定理），由這一定理可以引出費馬最後定理是谷山－志村定理的一個結論。最為重要的是，黎貝的結論說明了證明費馬最終定理並不需要整個谷山－志村定理，而僅需其在半穩定橢圓曲線情況下的特例。.
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镜像对称 (弦理论)
在代数几何和理论物理中，镜像对称是指卡拉比-丘流形之间的一种特殊关系，即两种卡丘流形虽然在几何上差别很大，但是作为弦理论的额外维度时却是等价的。这样的一对流形被称为镜像流形。 镜像对称最早是由物理学家发现的。1990年左右，、齐妮娅·德·拉·奥萨（Xenia de la Ossa）、保罗·格林（Paul Green）和琳达·帕克斯（Linda Parks）发现它可以用于，因此激发了数学家对此的兴趣。枚举几何是研究几何问题解的数量的数学分支。坎德拉斯和他的合作者证明了镜像对称可用于计算卡丘流形上有理曲线的数目，从而解决了一个长期的难题。尽管镜像对称最初的方法是从物理出发的，数学上并不严格，它的许多数学预测已经被严格证明了。 目前，镜像对称是纯数学中的热门话题，数学家正在物理直觉的基础上探索镜像对称的严格数学化表述。镜像对称也是进行弦论和量子场论计算的重要工具，这两者都是物理学家用来描述基本粒子的理论。镜像对称的数学表述主要有马克西姆·孔采维奇的，以及安德鲁·施特罗明格、丘成桐和的。.
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雅可比矩阵
在向量分析中，雅可比矩阵是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。 在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。 它们全部都以数学家卡爾·雅可比命名。.
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雅可比猜想
雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多變量多項式的一個著名問題，最初是由數學家Keller於1939年提出，之後Shreeram Abhyankar取現名，並將之廣為傳播，以作為代數幾何的問題中，只需稍多於微積分的知識就能闡述的一個例子。 雅可比猜想之所以聞名，因為有很多試圖解決猜想的證明，都有藏於細節中的錯誤。這猜想直至2017年仍未得到正確證明。.
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雅各布·齐默尔曼
雅各布·齐默尔曼（Jacob Tsimerman，），加拿大数学家，在多伦多大学从事数论及相关领域的研究。 2011年，他在彼得·克莱夫·Sarnak的指导下获得了普林斯顿大学博士学位。 2015年，他被授予SASTRA拉马努金奖。 齐默尔曼因在安德烈–奥尔特猜想上的工作和对分析数论和代数几何的精通而知名。.
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雙有理幾何
在代數幾何中，雙有理幾何處理的是代數簇在雙有理等價之下不變的性質，也就是由其函數域決定的性質。這些性質包括維度、算術虧格、幾何虧格、小平維度等等。.
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除子
子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼面X上，它可以简单的定义为X上的点的(整系数)形式和， D.
陈类
数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（Chern class，或稱陳氏類）是一类复向量叢的示性类, 类比于斯蒂弗尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney class）作为实向量叢的示性类。 陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。.
K-理论
在数学中，K-理论（K-theory）是多个领域使用的一个工具。在代数拓扑中，它是一种异常上同调，称为拓扑K-理论；在代数与代数几何中，称之为代数K-理论；在算子代数中也有诸多应用。它导致了一类K-函子构造，K-函子包含了有用、却难以计算的信息。 在物理学中，K-理论特别是出现在第二型弦理論，其中猜测它们可分类D-膜、以及广义复流形上某些旋量。具体细节参见K-理论 (物理)。.
K3曲面
在數學領域的代數幾何及複流形理論中，K3曲面是一類重要的緊複曲面，在此「曲面」係指複二維，視作實流形則為四維。 K3曲面與二維複環面構成二維的卡拉比-丘流形。複幾何所探討的K3曲面通常不是代數曲面；然而這類曲面首先出現於代數幾何，並以恩斯特·庫默爾、埃里希·卡萊爾與小平邦彥三位姓氏縮寫為 K 的代數幾何學家命名，也與1950年代被命名的K2峰相映成趣。.
L函數
在當代數論中，L函數是一類重要的複變數函數，蘊含重要的數論、算術代數幾何或表示理論信息，目前仍有大量待解的猜想。L函數是黎曼ζ函數的推廣，最簡單的例子是狄利克雷L函數，狄利克雷藉此研究等差數列中的素數密度。 許多L函數也有p進數版本。 L函數通常以無窮級數表示，有時也稱為L級數；這種級數通常只對虛部夠大的參數 s 方收斂。一如黎曼ζ函數，L級數往往能延拓為整個複數平面上的亞純函數或全純函數，並具備乘積表法及函數方程。.
恽之玮
恽之玮（），江苏常州人，麻省理工学院数学系教授。研究领域为几何表示论，兴趣涉及表示论、代数几何、数论等。 恽之玮于2000年以满分的成绩获得国际奥林匹克数学竞赛金牌，并被保送入北京大学数学系。2004年毕业后，赴美国普林斯顿大学留学，师从罗伯特·麦克弗森（Robert MacPherson）。2009年获博士学位。此后在普林斯顿高等研究院与麻省理工学院从事博士后研究。2012年，获SASTRA拉马努金奖。同年起，任教于斯坦福大学数学系。2016年，获得晨兴数学银奖。2016年至2017年，任耶鲁大学教授。2017年12月，与张伟一起，因发现证明了函数域中的高阶Gan-Gross-Prasad猜想而获科学突破奖——数学新视野奖。2018年至今，在麻省理工学院数学系任教授。 他是清朝贵阳知府惲鴻儀的五世孙。.
格尔德·法尔廷斯
格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings，），出生於蓋爾森基興的德国数学家，研究领域为算术代数几何。 格尔德·法尔廷斯最著名的工作是利用格罗滕迪克发展出的代数几何理论证明了莫德尔猜想：数域K上的亏格大于1的非奇异射影曲线上仅有有限多个K-有理点。他因此获得1986年的菲尔兹奖和2015年的邵逸夫獎。此外他对阿贝尔簇的参模理论，算术黎曼-罗赫定理以及p-进霍奇理论亦有重要贡献。 法尔廷斯从1994年起担任德国马克斯·普朗克数学研究所所长。.
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森重文
森重文（）是日本數學家，专门是代数几何和双有理几何，因三维代数簇的分类而著名，被代数几何学家称作森重文纲领。他於1990年獲得菲尔兹奖和日本学士院奖，2004年获藤原奖。他是日本学士院院士。他在1978年於京都大学获得博士。 森重文把代数曲面分类的传统方法推广至三维代数簇。传统方法用到代数曲面的极小模型概念。他发现若作一些改变，极小模型概念也可以用到三维代数簇上，如果我们允许有一些奇点在上面。 2014年8月11日，森重文当选国际数学联盟总裁，任期自2015年1月开始。.
概形
概形是代數幾何學中的一個基本概念。.
模
在數學的抽象代數中，環上的模 (module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體(field)，進而放寬純量可以是環(ring)。 因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的（在同環中的乘法一起用的時候）和分配律的。 模非常密切的關聯於群的表示理論。它們還是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中。.
模型论
数学上，模型论(Model theory)是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。 比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和（或）函数，例如。若我们在该语言中问"∃ y (y × y.
模型范畴
在数学、尤其是同伦论中，模型范畴是带有弱等价、纤维化和上纤维化这三类态射的范畴，是从传统的拓扑空间或链复形的同倫範疇（即导出范畴）中抽象化得来。模型范畴的概念最初由丹尼尔·奎伦引入。 近年来，模型范畴的语言应用到了代数K理论和代数几何的部分研究中。在这些分支中，使用同伦论的研究方法得出过深刻的结果。.
模形式
模形式是數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。因此，模形式理論屬於数论的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。 模形式理論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發展大致可分成三期：.
模空间
在代数几何上，模问题用于描述代数簇所依赖的参数。对于这样一个参数使用模这一词和模形式相似：一个模形式通常是模空间（也即，其坐标为模的空间）上的某种微分形式（或者张量密度），因为这些形式通常有一个權重）。 在椭圆曲线的情况，有一个模，所以模空间是代数曲线。这是在雅可比的椭圆函数理论中称为k的一个量，他将椭圆积分归约为如下形式.
模曲線
在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。 「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。.
欧拉公式
欧拉公式（Euler's formula，又稱尤拉公式）是在複分析领域的公式，将三角函数與複數指数函数相关联，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。尤拉公式提出，對任意實数x，都存在 其中e是自然對数的底數，i是虛數單位，而\cos和\sin則是餘弦、正弦對應的三角函数，参数x則以弧度为单位。這一複數指數函數有時還寫作\operatorname(x)（cosine plus i sine，余弦加i正弦）。由於該公式在x為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為尤拉公式。 当 x.
正规空间
在拓扑学和相关的数学分支中，正规空间（Normal space）、T4 空间、T5 空间和 T6 空间是特别优秀的一类拓扑空间。这些条件是分离公理的个例。.
沃尔夫数学奖
沃尔夫数学奖（Wolf Prize in Mathematics）是沃尔夫奖的一个奖项，因爲数学界的最高荣誉菲尔兹奖只每4年頒給40歲以下的數學家，此獎項在阿貝爾獎出現之前被認爲是最接近諾貝爾獎的獎項。获得该奖项的华裔有二位，皆有美国国籍，分別是已故数学家陈省身及数学家丘成桐。.
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泡利矩陣
在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在包立表像（σz表像）可以寫成： \end 這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中，它們出現在包立方程式中描述磁場和自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是厄米矩陣，它們和單位矩陣（有時候又被稱為為第零號包立矩陣），的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。 從量子力學的角度來看，哈密頓矩陣（算符）代表可觀測的物理量，因此，σk, k.
泛代数
泛代数（Universal algebra），研究通用於所有代數結構的理論，而不是代數結構的模型。舉個例子，並不是將特殊的個別的群作為個體分別來學習，而是將整個群論的理論作為學習的主題。.
泛函分析
泛函分析（Functional Analysis）是现代数学分析的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。 使用泛函这个词作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数，这意味着，一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究，特别是莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）可和列维（Levy）。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派，并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）的波兰数学家进一步发展。.
洛朗·拉福格
洛朗·拉福格（Laurent Lafforgue，），法國數學家，菲爾茲獎得主，生於法國安東尼。.
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準素分解
在交換代數中，準素分解將一個交換環的理想（或模的子模）唯一地表成準素理想（或準素子模）之交。這是算術基本定理的推廣，能用以處理代數幾何中的情況。.
朗蘭茲綱領
朗蘭茲綱領是數學中一系列影響深遠的構想，聯繫數論、代數幾何與约化群表示理論；綱領最初由羅伯特·朗蘭茲於1967年在一封給韦伊的中提出。.
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有理簇
在數學中的代數幾何領域，域 K 上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間 \mathbb_K^n（n \in \N）的代數簇。有理性僅依賴於其函數域，更明確地說，代數簇 X 是有理簇若且唯若 K(X) \simeq K(T_1, \ldots, T_n) \;(n \in \N)，其中 T_1, \ldots, T_n 是獨立的變元。.
有理映射
在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。.
有理曲面
在代數幾何裡，有理曲面（rational surface）是指一個雙有理等價於投影平面的曲面；換句話說，即為一個二維有理簇。有理曲面是複曲面的十餘種恩里克斯-小平分類中最簡單的一類，且是第一個被研究的曲面。.
有限域
在数学中，有限域（finite field）或伽罗瓦域（Galois field，为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名）是包含有限个元素的域。与其他域一样，有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 为素数时，整数对 取模。 有限域的元素个数称为它的序。 有限域在许多数学和计算机科学领域的基础，包括数论、代数几何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密码学和编码理论。.
昂利·嘉当
昂利·嘉当（Henri Cartan，），法国数学家，数学家埃利·嘉当之子，曾荣获沃尔夫奖。.
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数学
数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.
数学史
数学史的主要研究对象是历史上的数学发现，以及调查它们的起源，或更广义地说，数学史就是对过去的数学方法与数学符号的探究。 数学起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。數學最早用於人們計數、天文、度量甚至是貿易的需要。這些需要可以簡單地被概括為數學對結構、空間以及時間的研究；對結構的研究是從數字開始的，首先是從我們稱之為初等代數的——自然數和整數以及它們的算術關係式開始的。更深層次的研究是數論；對空間的研究則是從幾何學開始的，首先是歐幾里得幾何和類似於三維空間（也適用於多或少維）的三角學。後來產生了非歐幾里得幾何，在相對論中扮演著重要角色。 在进入知识可以向全世界传播的现代社会以前，有记录的新数学发现仅仅在很少几个地区重见天日。目前最古老的数学文本是《普林顿 322》（古巴比伦，约公元前1900年），《莱因德数学纸草书》（古埃及，约公元前2000年-1800年），以及《莫斯科数学纸草书》（古埃及，约公元前1890年）。以上这些文本都涉及到了如今被称为毕达哥拉斯定理的概念，后者可能是继简单算术和几何后，最古老和最广泛传播的数学发现。 在公元前6世纪后，毕达哥拉斯将数学作为一门实证的学科进行研究，他创造了古希腊语单词μάθημα（mathema），意为“（被人们学习的）知识学问”。希腊数学家在相当大的程度上改进了这些数学方法（特别引入了演绎推理和严谨的数学证明），并扩大了数学的主题。中国数学做了早期贡献，包括引入了位值制系统。如今大行于世的印度-阿拉伯数字系统和运算方法，很可能是在公元后1000年的印度逐渐演化，并被伊斯兰数学家通过花拉子米的著作将其传到了西方。伊斯兰数学则将以上这些文明的数学做了进一步的发展贡献。许多古希腊和伊斯兰数学著作随后被翻译成了拉丁文，引领了中世纪欧洲更深入的数学发展。 从16世纪文艺复兴时期的意大利开始，算术、初等代数及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变数概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。 从古代到中世纪，数学发展的历史时期都伴随着数个世纪的停滞，但从16世纪以来，新的数学发展伴随新的科学发展，让数学不断加速大步前进，直至今日。.
数学学科分类标准
数学学科分类标准(MSC) 是由美国数学学会策划的建立在两个主要的引文数据库数学评论和数学文摘的字母数字混合的分类方案.
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数学分析
数学分析（mathematical analysis）区别于其他非数学类学生的高等数学内容，是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函數等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、測度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。出自《数学辞海（第一卷）》 数学分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來，在微积分发展至现代阶段中，从应用中的方法总结升华为一类综合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以认为这些应用方法是高等微积分生成的前提。数学分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓扑空间）或是有針對兩物件距離的定義（度量空间），就可以用数学分析的方式進行分析。.
数学著作列表
没有描述。
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数论
數論是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等，即。很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期稱為算術。到20世紀初，才開始使用數論的名稱，而算術一詞則表示「基本運算」，不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。.
扎里斯基拓扑
在代数几何和交换代数中，扎里斯基拓扑是定義在代数簇上的拓扑。其由奥斯卡·扎里斯基首先提出，及後用作給出一般交换环的素理想集的拓撲結構，稱為環的谱。 有了扎里斯基拓扑，無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域（即一個域，其上可定義一個拓撲，使得加法和乘法都是連續函數），都可應用拓扑学的工具到代数簇的研究上。这是概形论的基本思想，有了它才允许將多個仿射簇黏合，而成一個一般的代數簇，正如流形理论中，流形由多個坐标卡（實仿射空间的開集）黏合而成一樣。 將一個代數簇的代數子集定義為閉集，就得到該代數簇的扎里斯基拓扑。若該代數簇定義在复数上，則扎里斯基拓扑比通常的拓扑结构更粗糙，因为每一个代数集在通常的拓撲中也都是闭集。 扎里斯基拓撲在交換環的素理想集上的推廣可從希尔伯特零点定理得到，因為該定理說，代數閉域上的仿射簇的點，與該仿射簇的坐標環的极大理想一一對應。因此可如下定義一個交換環的極大理想集上的扎里斯基拓撲：若干極大理想的集合是閉集，當且僅當該些極大理想就是包含某一理想的所有極大理想。格罗滕迪克的概形論中還有另一個基本思想，就是不單考慮對應某個極大理想的點，還要考慮任意（不可約的）代數簇，即對應素理想的點。 所以交換環的素理想集（稱為「譜」）上的扎里斯基拓撲滿足：若干素理想的集合為閉集，當且僅當該些素理想就是包含某一理想的所有素理想。.
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扎里斯基曲面
在数学的一个分支 代数几何中，扎里斯基曲面（Zariski surface）是指 特征 p > 0的 域 上的一个曲面，使得存在从 射影平面 到该曲面的一个度数为p的优势不可分映射。 特别是，所有扎里斯基曲面都是 单有理 的。 1977年Piotr Blass用 奥斯卡·扎里斯基 的名字来命名了该曲面，因为扎里斯基在1958年使用这种曲面给出了特征p > 0的单有理曲面的例子，而这个曲面不是有理的。 (相比特征为0的情况下， 卡斯泰定理 意味着所有单有理曲面都是有理的。) 扎里斯基曲面 双有理 于 仿射空间 A3 中由 不可多项式 定义的曲面 经过长达43年的努力，奥斯卡·扎里斯基在1971年提出的下述问题得到解决：令 S 为一个几何亏格为0的扎里斯基曲面。 那么 S 一定是一个有理曲面吗？对于 p.
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所羅門·萊夫謝茨
所羅門·萊夫謝茨（英语：Solomon Lefschetz，），美國數學家他在代数拓扑方面做出了開創性的工作，並將這方面的理論應用到代數幾何及非線性常微分方程的研究。.
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拓撲量子場論
拓扑量子场论（又称拓扑场论，简称TQFT）是一类计算拓扑不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。 虽然拓扑量子场论由物理学家发明，但是在数学上也具有重要意义，与纽结理论、代数拓扑中的、代数几何中的模空间等分支均有联系。西蒙·唐纳森、沃恩·琼斯、爱德华·威滕和马克西姆·孔采维奇都因对拓扑场论方面的研究而获得菲尔兹奖。 20世纪70年代，阿尔伯特·施瓦茨就研究过一种拓扑量子场论（阿贝尔的陈-塞蒙斯场论）。80年代末，在迈克尔·阿蒂亚启发下，研究了三个拓扑量子场论：一个由超对称杨-米尔斯场论扭变得到，用以将唐纳森不变量和弗勒尔瞬子同调解释为量子物理对象；第二个是非阿贝尔的陈-塞蒙斯场论，用以将琼斯多项式及其衍生物解释为量子物理对象；第三个由超对称Σ模型扭变得到，用以将格罗莫夫的赝全纯曲线和弗勒尔的拉格朗日同调解释为量子物理对象。1994年威滕应用弦论学家得到的强弱对偶结果将唐纳森不变量等价为更易计算的塞伯格-威滕不变量。进入21世纪，威滕等人又研究了具有更多超对称的杨-米尔斯场论的扭变，并将数学中的几何郎兰兹对偶解释为量子场论中的强弱对偶。威滕等人进一步发现，Σ模型、陈-塞蒙斯场论、以及超对称杨-米尔斯场论之间有千丝万缕的联系，它们都可以包含在弦论或者M-理论中，在这个大框架之下，琼斯多项式的范畴化——霍万诺夫同调被解释为量子物理对象。 在凝聚体物理学中，拓扑量子场论是拓扑有序态的低能有效理论，例如分数量子霍尔态、弦网凝聚态及其他强关联液态自旋量子。.
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拓扑学
在數學裡，拓撲學（topology），或意譯為位相幾何學，是一門研究拓撲空間的學科，主要研究空間內，在連續變化（如拉伸或彎曲，但不包括撕開或黏合）下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲，他在17世紀提出「位置的幾何學」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出，雖然直到20世紀初，拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉，拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域：.
拓扑空间
拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。.
拉回
拉回（pullback）是数学中一个基本概念，涉及到两个不同但关联的程序：预复合与纤维积。与之对偶的概念是前推。.
拉開
在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 M 上一點 Z 的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 \mathrm_Z: \tilde \rightarrow M，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。 當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。.
