矛盾和集合论

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

矛盾和集合论之间的区别

矛盾 vs. 集合论

粗略的说，矛盾（Contradiction）是在两个或更多陈述、想法或行动之间的不一致，存在差别。 汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事： 白話文大意為：有一位賣盾牌和賣矛的楚國人，他誇讚自己賣的盾牌說：“我的盾牌堅固無比，什麼東西都無法刺穿它。”又誇讚自己賣的矛說：“我的矛鋒利無比，什麼東西都可以刺穿。”有人問他說：“用你的矛来試著刺你的盾，將會如何？”那人一句話都無法回答。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛，是不可以同时存在的。 注意在口语和辩证法中，矛盾有着同形式逻辑中完全不同的意义，口语中的矛盾强调矛盾双方的斗争性。. 集合論（Set theory）或稱集論，是研究集合（由一堆構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一，特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。.

一阶逻辑

一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统。 過去一百多年，一階邏輯出現過許多種名稱，包括：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或斷言逻辑（一個較不精確的用詞）。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯有使用量化變數。一個一階邏輯，若具有由一系列量化變數、一個以上有意義的斷言字母及包含了有意義的斷言字母的純公理所組成的特定論域，即是一個一階理論。 一階邏輯和其他高階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言可以有斷言或函數當做引數，且允許斷言量詞或函數量詞的（同時或不同時）存在。在一階邏輯中，斷言通常和集合相關連。在有意義的高階邏輯中，斷言則會被解釋為集合的集合。 存在許多對一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有為真的敘述皆可證）的演繹系統。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。 一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份，因為它是公理系統的標準形式邏輯。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理和包含策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論等，都可以形式化成一階理論。然而，一階定理並沒有能力去完整描述及範疇性地建構如自然數或實數之類無限的概念。這些結構的公理系統可以由如二階邏輯之類更強的邏輯來取得。.

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悖论

悖論，亦稱為弔詭或詭局，是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文paradox一詞，来自希腊语παράδοξος ，paradoxos，意思是“未预料到的”，“奇怪的”。 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 paradox其實亦有“似非而是”的解釋。即是用普通常識看上去不正確，但其實是正確或是有可能的。例如“站著比走路更累”。一般常識是走路比站著累，但要一個人例如在公園裡站一個小時，他可能寧願走動一個小時。因為“站著比走路更累”。也例如狹義相對論裡面的雙生子佯謬亦是另外一個例子。 佛法中也有釋迦牟尼佛破外道悖論的例子：如《大智度論》卷一中舉出長爪梵志的例子：長爪梵志提倡一種“一切法不受”的主張，其意思是說他不接受世間一切理論。釋迦牟尼佛就問他：「你接不接受你自己所建立的這個“一切法不受”的理論？」長爪梵志像一匹千里馬一樣有智慧，不必等到鞭子打到身上才起跑，只看到鞭影覺悟了。換句話說，當釋迦牟尼佛提出這個問題的時候，長爪梵志就知道自己的理論是有問題的──如果接受，那就是“接受一種理論”這與他自己建立的“一切法不受”的主張違背；如果不接受，那他的主張就不存在。就這樣，一方面顯示長爪梵志的理論是一種悖論，另一方面也突顯釋迦牟尼佛以非常簡短的開示就把長爪梵志折服了。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.

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