正规数和證明

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

正规数和證明之间的区别

正规数 vs. 證明

数学上，粗略来说，正规数（Normal Number）指，数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的实数。「数字」指的是小数点前有限个数字（整数部份），以及小数点后无穷数字序列（分数部份）。 设b是大于1的整数，x是实数。考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列。若s是以b为底的有限数字序列，我们以N(s,n)表示字串s在x的开首n个数字出现次数。数x称为以b为底正规若对任意长度k的字串s （即是说在x的数字中找到字串s的概率，就像在完全随机生成的数字序列中的一样。）x称为正规数（有时称为绝对正规数） 如果以任何b为底x都是正规。 这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔－坎泰利引理，他证明了正规数定理：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Sierpiński）。 非正规数集合是不可数的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。 钱珀瑙恩数（Champernowne） 是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但可能在某些底不是正规。 克柏蘭-爾杜斯常數（Copeland-Erdős） 从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。 无论在任何底下均没有为正规数的有理数，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韋羅妮卡·比彻（Verónica Becher）和桑蒂亞戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个正规数；（Chaitin）\Omega给出一个不可计算的正规数例子。 要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根\sqrt 2、圆周率\pi（2000年時數學家证明了π的2進數-正规性可以由一个有关混沌理论的合理但尚未证明的猜想导出 ）、2的自然对数\ln 2和''e''是否正规仍不知道。（但基于实验证据，猜想它们很可能是正规数。）证明仍遥不可及：就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利（David H. Bailey）和理查德·克兰德尔（Richard E. Crandall）在2001年猜想每个无理代数数是正规的，雖没有找到反例，卻還没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。. 在數學上，證明是在一個特定的公理系統中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推導出某些命題的過程。比起证据，数学证明一般依靠演绎推理，而不是依靠自然归纳和经验性的理据。這樣推導出來的命題也叫做該系統中的定理。 數學證明建立在逻辑之上，但通常會包含若干程度的自然語言，因此可能會產生一些含糊的部分。實際上，用文字形式寫成的數學證明，在大多數情況都可以視為非形式邏輯的應用。在證明論的範疇內，則考慮那些用純形式化的语言写出的證明。這個区别导致了对過往到現在的數學实践、和的大部分检验。數學哲學就關注語言和邏輯在數學證明中的角色，和作為語言的數學。.

無理數

無理數是指除有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。 非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環，即无限不循环小数。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现。他以幾何方法證明\sqrt無法用整数及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。 無理數可以通過有理數的分划的概念進行定義。.

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有理数

数学上，可以表达为两个整数比的数(a/b, b≠0)被定义为有理数，例如3/8，0.75(可被表达为3/4)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是无理数，如\sqrt无法用整数比表示。 有理数与分數的区别，分數是一种表示比值的记法，如 分數\sqrt/2 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或\mathbb。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.

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整数

整数，是序列中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體Z或\mathbb，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。 在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。.

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