格林-陶定理和質數定理

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格林-陶定理和質數定理之间的区别

格林-陶定理 vs. 質數定理

格林-陶定理（Green-Tao theorem）是本·格林和陶哲轩于2004年证明的一个关于素数组成的等差数列上的定理。定理指出：质数序列中包含有任意长的等差数列。换言之，存在着由质数组成的项数为k的等差数列，k可以为任意自然数，这个定理是泽莫雷迪定理的推广。. 在數論中，素数定理描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦莱普森（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。 素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計： 其中 (x).

素数

質--數（Prime number），又称素--数，指在大於1的自然数中，除了1和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。而6則是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算術基本定理確立了質數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效因數分解）。 古希臘數學家歐幾里得於公元前300年前後證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中試除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為n，使用此方法者需逐一測試2與\sqrt之間的整數，確保它們無一能整除n。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如277232917-1是直至2017年底為止已知最大的梅森質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或n的對數）。 許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代數裡，如質元素及質理想。.

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