标架丛和黎曼流形

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标架丛和黎曼流形之间的区别

标架丛 vs. 黎曼流形

数学中，标架丛（Frame bundle）是一个与任何向量丛 E 相伴的主丛。F(E) 在一点 x 的纤维是 Ex 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F(E) 上，给出标架丛一个主 GLk(R)-丛结构，这里 k 是 E 的秩。 一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为切标架丛（tangent frame bundle）。. 黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點p的切空間都定義了點積，而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度及向量域的散度。 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量：把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理，所有黎曼流形都可以這樣产生。 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間，等距是指其内蕴度量（intrinsic metric）和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。 黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間： 如果γ: → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度L（γ）為 （注意：γ'（t）是切空間M在γ（t）點的元素；||·||是切空間的內積所得出的範數。） 使用这个长度的定义，每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間（甚至是長度度量空間）：在x與y兩點之間的距離d（x, y）定義為： 虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直線”的概念依然存在：那就是測地線。 在黎曼流形中，測地線完备的概念，和拓撲完备及度量完备是等价的：每个完备性都可以推出其他的完备性，这就是Hopf-Rinow定理的内容。.

微分流形

光滑流形（），或称-微分流形（）、-可微流形（），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。.

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切丛

数学上，一个微分流形M的切丛(tangent bundle) T(M)是一个由M各點上切空間組成的向量丛，其總空間是各切空间的不交并集： 總空間T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间Tx(M)內的一枚向量。 切丛有自然的2n维微分流形结构如下： 設：\pi\colon T(M) \to M\, 為自然的投影映射，将(x,v)映射到基点x； 若M是个n维流形，U是x的一个足夠小的邻域， φ:U→Rn是一个局部坐标卡， V是U在T(M)的前象V（V.

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