标架丛和活动标架法

快捷方式: 差异，相似，杰卡德相似系数，参考。

标架丛和活动标架法之间的区别

标架丛 vs. 活动标架法

数学中，标架丛（Frame bundle）是一个与任何向量丛 E 相伴的主丛。F(E) 在一点 x 的纤维是 Ex 的所有有序基或曰标架。一般线性群通过基变更自然作用在 F(E) 上，给出标架丛一个主 GLk(R)-丛结构，这里 k 是 E 的秩。 一个光滑流形的标架丛是与其切丛相伴的丛。因此它有经常称为切标架丛（tangent frame bundle）。. 数学上，光滑流形上的标架可以理解为从一点到一点变化的标架。给定一个这样的流形M和一个其中的点P，在P点的一个标架表示一个M在P点的切空间的向量空间基底。也就是说，若M维数为n，我们给定n个切向量t1,..., tn，属于M在P的切空间，而且线性獨立。在P的某个邻域U的一个活动标架要求我们给定 每个都是定义在U上的向量场，全都假设为作为Q的函数在U中光滑，并且在每一点Q线性无关（为简单起见假设M处处维数为n）。 用非常一般的术语来讲，这样一个活动标架是广义相对论中的一个观测者的要求，在那里每个从P到附近点的连续对ti的选择都是平等的。而狭义相对论中，M被取为一个四维的向量空间V。在那种情况下，ti可以简单的从P平移到其它点Q。 在相对论和黎曼几何中，最重要的活动标架是正交和单位正交标架，也就是在每一点（单位长度的）互相垂直的向量的有序集。在给定一点P可以通过正交化将任意标架变成正交；事实上，这可以以光滑的方式达到，因而一个活动标架的存在也就隐含了活动正交标架的存在。 活动标架在M上局部的存在性是很显然的；但是在M上的全局存在性要求拓扑条件的满足。例如，当M是一个圆圈，或者是一个环，这样的标架存在；但是当M是一个二维球时却不存在。存在一个全局活动标架的流形称为可平行化的。注意，例如将纬度和经度的单位方向作为地球表面上的活动标架在北极和南极会有问题。 埃里·嘉当的活动标架法基于对于所研究的特定问题取一个相应的活动标架。例如，给定一个空间中的曲线，曲线的前三个导数通常可以给出其上一点一个标架(参看定量的形式参看挠率-它假设挠率非0）。更一般地，活动标架的抽象含义是将切丛作为一个向量丛时，其伴随丛主丛GLn的一个截面。一般的嘉当方法利用了这点，并在嘉当联络中讨论。 对于球面只有S^1、S^3和S^7是可平行化的。 H H.

基 (線性代數)

在线性代数中，基(basis)（也称为基底）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。 使用基底可以便利地描述向量空间。比如说，考察从一个向量空间\mathrm射出的线性变换f，可以查看这个变换作用在向量空间的一组基\mathfrak上的效果。掌握了f(\mathfrak)，就等于掌握了f对\mathrm中任意元素的效果。 不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理，那么可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能将它扩充为一组基。在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。.

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可平行化流形

数学中，一个 n 维光滑流形 M 为可平行化流形 是指具有向量场 使得在 M 中任何一点 P 的切向量 组成 P 点切空间的一组基。等价地说，切丛是平凡丛，所以相伴的线性标架主丛有一个 M 的整体截面。 选取 M 上这样特定的一组向量场的基称为 M 的一个平行化或绝对平行化。.

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向量丛

数学上，向量丛是一个几何构造，為拓扑空间（或流形，或代数簇）的每一点相容地附上一个向量空间，而这些向量空间“粘起来”又构成一个拓扑空间（或流形，或代数簇）。 一个典型的例子是微分流形的切丛：对流形的每一点附上流形在该点的切空间。 另一个例子是法丛：給定一个平面上的光滑曲线，可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线；这就是曲线的"法丛"。 这个条目主要解釋有限维纤维的实向量丛。複向量丛也在很多地方有用；他们可以视为一種有附加结构的实向量丛。 向量丛是纤维丛的一種。.

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微分流形

光滑流形（），或称-微分流形（）、-可微流形（），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.

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