李亞普諾夫函數和李雅普诺夫稳定性

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李亞普諾夫函數和李雅普诺夫稳定性之间的区别

李亞普諾夫函數 vs. 李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數。其名稱來自俄罗斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李亞普諾夫函數在穩定性理論及控制理論中相當重要。 若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性，此函數稱為李亞普諾夫候選函數（Lyapunov-candidate-function）。不過目前還找不到一般性的方式可建構（或找到）一個系統的李亞普諾夫候選函數，而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。在動態系統中，有時會利用守恆律來建構李亞普諾夫候選函數。 針對自治系統的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時，此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件，不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣，通常會用試誤法（trial and error）來尋找李亞普諾夫函數。. 在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（Lyapunov stability，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x_0 附近的軌跡均能維持在 x_0 附近，那么该系统可以称为在x_0處李雅普诺夫稳定。 若任何初始條件在 x_0 附近的軌跡最後都趨近x_0，那么该系统可以称为在x_0處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。 李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。.

动力系统

动态系统（dynamical system）是数学上的一个概念。動態系统是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是動態系统。 在動態系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。動態系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔內，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。 若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态，则这个動態系统为离散動態系统；若时间连续，就得到一个连续動態系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间，我们就称它为一个光滑動態系统。.

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正定函數

在數學上，正定函數一詞可以用來表達許多不同的概念。.

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