有限集合和选择公理

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有限集合和选择公理之间的区别

有限集合 vs. 选择公理

数学中，一个集合被称为有限集合，簡單來說就是元素個數有限，嚴格而言則是指有一个自然数n使该集合与集合之间存在双射。例如 -15到3之间的整数组成的集合，这个集合有19个元素，它跟集合存在雙射，所以它是有限的。不是有限的集合称为无限集合。 也就是说如果一个集合的基数是自然数，那这个集合就是有限的。所有的有限集合都是可数的，但并不是所有的可数集都是有限的，例如所有素数的集合。 有一个定理（戴德金定理）是：一个集合是有限的当且仅当不存在一个该集合与它的任何一个真子集之间的双射。 I I. 选择公理（Axiom of Choice，縮寫AC）是数学中的一条集合论公理。这条公理声明，对所有非空指标集族 (S_i)_，总存在一个索引族 (x_i)_，对每一个 i \in I，均有 x_i \in S_i。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。 非正式地說，选择公理声明：給定一些盒子（可以是無限個），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具體的選擇規則”（當每個盒子都恰好只有一个小球具有某項特征）这两种情况下。再举一个例子，假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而，假设有无限双袜子（假设每双袜子都没有可区分的特征），在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。 尽管曾具有争议性，选择公理現在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。現代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如。 在一些構造性數學的理論中會避免选择公理的使用，不過也有的將选择公理包括在內。.

元素 (數學)

在数学领域，集合的元素（element）指构成该集合的任意，也可以称作成员（member）。.

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自然数

数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。 自然数的定义不一，可以指正整数 (1, 2, 3, 4, \ldots)，亦可以指非负整数 (0, 1, 2, 3, 4, \ldots)。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 标准中所采用的定义。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。.

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无限集合

无限集合是由无限个元素组成的集合，也称无穷集合。集合論中，集合主要分為有限集合與無限集合，有限集合很多的性質也是顯而易見的，反之，因為無限集合的非有限性，即使無限集合的一些基本性質也變得並不顯而易見，個別的數學家甚至質疑諸如选择公理等基本公設使用在無限集合身上是否仍然正確。罗素悖论提出以後，一些激進的數學哲學家提倡禁止在數學中使用無限集合以挽救第三次數學危機。 無限集合在數學中無處不在，一般常見的例子有整數集、有理集等。一般來說，無限集合還分為可數集和不可數集。.

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数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.

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