整数分解和計算複雜性理論

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整数分解和計算複雜性理論之间的区别

整数分解 vs. 計算複雜性理論

在數學中，整數分解（integer factorization）又稱質因數分解（prime factorization），是將一個正整數寫成幾個因數的乘積。例如，給出45這個數，它可以分解成32 ×5。根據算術基本定理，這樣的分解結果應該是獨一無二的。這個問題在代數學、密碼學、計算複雜性理論和量子計算機等領域中有重要意義。. 计算复杂性理论（Computational complexity theory）是理论计算机科学和数学的一个分支，它致力于将可计算问题根据它们本身的复杂性分类，以及将这些类别联系起来。一个可计算问题被认为是一个原则上可以用计算机解决的问题，亦即这个问题可以用一系列机械的数学步骤解决，例如算法。 如果一个问题的求解需要相当多的资源（无论用什么算法），则被认为是难解的。计算复杂性理论通过引入数学计算模型来研究这些问题以及定量计算解决问题所需的资源（时间和空间），从而将资源的确定方法正式化了。其他复杂性测度同样被运用，比如通信量（应用于通信复杂性），电路中门的数量（应用于电路复杂性）以及中央处理器的数量（应用于并行计算）。计算复杂性理论的一个作用就是确定一个能或不能被计算机求解的问题的所具有的实际限制。 在理论计算机科学领域，与此相关的概念有算法分析和可计算性理论。两者之间一个关键的区别是前者致力于分析用一个确定的算法来求解一个问题所需的资源量，而后者则是在更广泛意义上研究用所有可能的算法来解决相同问题。更精确地说，它尝试将问题分成能或不能在现有的适当受限的资源条件下解决这两类。相应地，在现有资源条件下的限制正是区分计算复杂性理论和可计算性理论的一个重要指标：后者关心的是何种问题原则上可以用算法解决。.

复杂性类

在計算複雜度理論中，一個複雜度類指的是一群複雜度類似的問題的集合。一個典型的複雜度類的定義有以下--： 例如'''NP'''類就是一群可以被一非確定型圖靈機以多項式時間解決的決定型問題。而P類則是一群可以被確定型圖靈機以多項式時間解決的決定型問題。某些複雜度類是一群函式問題（Function problem）的集合，例如'''FP'''。 許多複雜度類可被描述它的數學邏輯（mathematical logic）特徵化，請見可描述的複雜度（descriptive complexity）。 而Blum公理用於不需實際計算模型就可定義複雜度類的情況。.

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密码学

密碼學（Cryptography）可分为古典密码学和现代密码学。在西欧語文中，密码学一词源於希臘語kryptós“隱藏的”，和gráphein“書寫”。古典密码学主要关注信息的保密书写和传递，以及与其相对应的破译方法。而现代密码学不只关注信息保密问题，还同时涉及信息完整性验证（消息验证码）、信息发布的不可抵赖性（数字签名）、以及在分布式计算中产生的来源于内部和外部的攻击的所有信息安全问题。古典密码学与现代密码学的重要区别在于，古典密码学的编码和破译通常依赖于设计者和敌手的创造力与技巧，作为一种实用性艺术存在，并没有对于密码学原件的清晰定义。而现代密码学则起源于20世纪末出现的大量相关理论，这些理论使得现代密码学成为了一种可以系统而严格地学习的科学。 密码学是数学和计算机科学的分支，同时其原理大量涉及信息论。著名的密碼學者罗纳德·李维斯特解釋道：「密碼學是關於如何在敵人存在的環境中通訊」，自工程學的角度，這相當于密碼學與純數學的差异。密碼學的发展促進了计算机科学，特別是在於電腦與網路安全所使用的技術，如存取控制與資訊的機密性。密碼學已被應用在日常生活：包括自动柜员机的晶片卡、電腦使用者存取密碼、電子商務等等。.

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算法

-- 算法（algorithm），在數學（算學）和電腦科學之中，為任何良定义的具體計算步驟的一个序列，常用於計算、和自動推理。精確而言，算法是一個表示爲有限長列表的。算法應包含清晰定義的指令用於計算函數。 算法中的指令描述的是一個計算，當其時能從一個初始狀態和初始輸入（可能爲空）開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化算法在内的一些算法，包含了一些隨機輸入。 形式化算法的概念部分源自尝试解决希尔伯特提出的判定问题，並在其后尝试定义或者中成形。这些尝试包括库尔特·哥德尔、雅克·埃尔布朗和斯蒂芬·科尔·克莱尼分别于1930年、1934年和1935年提出的遞歸函數，阿隆佐·邱奇於1936年提出的λ演算，1936年的Formulation 1和艾倫·圖靈1937年提出的圖靈機。即使在當前，依然常有直覺想法難以定義爲形式化算法的情況。.

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決定性問題

在可計算性理論與計算複雜性理論中，所謂的決定性問題（Decision problem）是一個在某些形式系統回答是或否的問題。例如：「給兩個數字x與y，x是否可以整除y？」便是決定性問題，此問題可回答是或否，且依據其x與y的值。 決定性問題與功能性問題（Function problem，或複雜型問題）密切相關，功能性問題的答案內容，較簡單的是與非複雜許多。範例問題：「給予一個正整數x，則哪些數可整除x？」 另一個與上述兩類問題相關的是最佳化問題（Optimization problem），此問題關心的是尋找特定問題的最佳答案。 解決決定性問題的方法稱為決策程式或演算法。一個針對決定性問題的演算法將說明給予參數x和y的情況下如何決定x是否整除y。若是某些決定性問題可以被一些演算法所解決，則稱此問題可決定。 計算複雜度的領域中，分類可決定問題的依據在於此問題有多難被解決。在此標準下，所謂的難是以解決某問題最有效率的演算法所花費的計算資源為依據。在遞迴理論中，非決定性問題由圖靈度決定，指的是一種在任何解答中隱含的不可計算性量詞。 計算性理論的研究集中在決定性問題上。在與功能性問題的等值問題中，並沒有失去其普遍性。.

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