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半正多面體
半正多面體是泛指所有由超過一種正多邊形所組成的多面體，並且要有對稱群，根據托羅爾德戈塞特的1900定義半正多面體有下面幾種：.
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多面体
多面體（polyhedron）是指三維空間中由平面和直邊組成的幾何形體。英文 polyhedron 源於古希臘語 πολύεδρον，由poly-（詞根 πολύς，多）和 -edron（έδρα，基底、座、面）構成，即意為「多面體」。 然而，「由平面和直邊組成的有界體」的定義方式並不明確，對現代數學而言更是不合格。克羅埃西亞數學家 Grünbaum 曾評論道：“多面體理論的原罪可追溯至歐幾里得，還有之後的克卜勒、龐索、柯西……各個時期……數學家們都未能準確定義何謂『多面體』。”自此，數學家雖以特定說法對「多面體」訂定了嚴謹的定義，但任一種卻都無法完全兼容其他定義方式。.
六角化八面體
#重定向 四角化菱形十二面體.
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立方體
立方體（Cube），是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體（Hexahedron）、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂（點），是五個柏拉圖立體之一。 立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三角偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有，即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號，，與正八面體對偶。.
菱形十二面體
菱形十二面體（Rhombic dodecahedron）是一種半正多面體的對偶，其對偶多面體為截半立方體。 十二個面皆為全等的菱形，其中鈍角的角度為 109.47°，鋭角的角度則為 70.53°，兩條對角線長度與一邊長的比為 \sqrt:1:\sqrt/2。.
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鳶形二十四面體
在幾何學中，鳶形二十四面體（亦稱為四角化二十四面體）是一種卡塔蘭立體。由24個全等的箏形(亦稱為鳶形)所組成，該箏形或鳶形的長短邊長比為1:\scriptstyle，角度比為(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°) 鳶形二十四面體共有24個面、48個邊、26個頂點，它看起來有點像一個過度膨脹的立方體。它的對偶多面體是小斜方截半立方體。 一個最短邊邊長為1的鳶形二十四面體，其表面積為\scriptstyle、體積是\scriptstyle。 在自然界中，方沸石和石榴石的晶體結構就是鳶形二十四面體。.
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阿基米德立體
阿基米德立體是一種高度對稱的半正多面體，且使用兩種或以上的正多邊形為面的凸多面體，並且都是可以從正多面體經過截角、截半、截邊等操作構造。阿基米德立體的每個頂點的情況相同，共有13種。阿基米德曾研究半正多面體（雖然其研究紀錄已佚），故有人將半正多面體喚作阿基米德立體。因為面是由正多邊形組成的，每個相鄰的正多邊形的邊長相等，故阿基米德立體的邊均有相同長度。阿基米德立體的对偶多面体是卡塔蘭立體。 半正多面體一詞不只是指13種阿基米德立體，而是指所有具有對稱群且由2種或2種以上正多邊形所組成的多面體。.
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正八面體
正八面體由八個等邊三角形，分別為上、下各四個三角形與一個正方形組成的正方錐體，上下黏合在一起而構成，是五種正多面體的第三種，有6個頂點和12條邊。正八面體也是正三角反棱柱。正八面体是三维的正轴形，施莱夫利符号，。 正八面體每四条棱可以成为一个正方形，共有三个独立的正方形。.
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擬正多面體
在幾何學中，擬正多面體是一種半正多面體，他有兩種正多邊形面交錯環繞每一個頂點。他有邊可遞性質，因此比半正多面體更接近正多面體，僅差一個點可遞性質。只有兩種凸擬正多面體，分別為截半立方體和截半二十面體。他們的名稱，由開普勒給出，來自首次確認他們的所有的面都來自對偶對——正方體和正八面體，第二個則來自對偶對——正十二面體和正二十面體。 這些形式表示對一個正多面體及其對偶多面體可以給出一個垂直施萊夫利符號 \begin p \\ q \end或r來代表他們同時包含正和正對偶的面。一個擬正多面體有此符號就會有一個頂點這樣的頂點圖：p.q.p.q (或 (p.q)2)。.
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参考
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