微分方程和超几何函数

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微分方程和超几何函数之间的区别

微分方程 vs. 超几何函数

微分方程（Differential equation，DE）是一種數學方程，用來描述某一類函数與其导数之间的关系。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等数学的代数方程裡，其解是常数值。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题 。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力為速度函數的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。. 在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。.

常微分方程

在数学分析中，常微分方程（ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。 很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s 和时间 t 的关系就可以表示为如下常微分方程： 其中 m 是物体的质量，f(s) 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 s，它只以时间 t 为自变量。.

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贝塞尔函数

貝索函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。通常单说的貝索函数指第一类貝索函数（Bessel function of the first kind）。一般貝索函数是下列常微分方程（一般称为貝索方程）的标准解函数y(x)： 这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。 由於貝索微分方程是二階常微分方程，需要由兩個獨立的函數來表示其标准解函数。典型的是使用第一类貝索函数和第二类貝索函数來表示标准解函数： 注意，由於 Y_\alpha(x) 在 x.

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