微分几何和经典电磁学

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微分几何和经典电磁学之间的区别

微分几何 vs. 经典电磁学

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中一主流；是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。. 经典电磁学（Classical electromagnetism）或经典电动力学是理论物理学的分支，通常包含在广义的电磁学，以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础，主要研究电荷和电流的电磁场及其彼此的电磁相互作用。当相关尺度和场强足够大以至于量子效应可忽略时（参见量子电动力学），这一套理论能够对电磁现象提供一个非常漂亮的描述。有关经典电磁理论的综述以及物理概念的详细解说可参见费曼、莱顿和桑斯；帕诺夫斯基和菲利普；以及杰克逊 等人的专著。 经典电磁理论主要发展於19世纪，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的成就达到顶峰。关于这部分的历史可参见泡利、惠特克、派斯的有关叙述。 Ribarič和Šušteršič在其著作《守恒律和经典电动力学的未决问题》中基于当前对经典电磁理论的理解，考查了十二个至今尚未解决的电动力学问题；到目前为止，他们研究并引用了1903年至1989年间约240篇参考文献。如杰克逊所言，经典电动力学中最显著的问题在於，我们只可能在如下两种有限的情形下得到及讨论基本方程的解：第一种情形为给出电荷和电流的分布，求解激发的电磁场；第二种情形为给出外部的电磁场，求解内部带电粒子和电流的运动。而有时候这两种情形会合二为一，此时的处理方法却只能按次序进行：首先在忽略辐射的情形下确定在外场中带电粒子的运动，然后将运动粒子的轨迹作为辐射源的分布计算电磁辐射。很明显，在电动力学中这种处理手段只能近似正确。进一步来说，虽然麦克斯韦方程组本身是线性的，然而某些电学-力学系统中电荷和电流与它们所激发的电磁场之间的相互作用却无法忽略，对於这类系统我们还不能从电动力学上完全理解。虽然经过了一个世纪的努力，至今人们还没能得到一组能够被广泛接受的描述带电粒子运动的经典方程，同时也没有获得任何有用的实验数据的支持。.

相对论

对论（Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。相对论极大的改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时的相对性”、“四维时空”、“弯曲时空”等全新的概念。不过近年来，人们对于物理理论的分类有了一种新的认识——以其理论是否是决定论的来划分经典与非经典的物理学，即“非古典的＝量子的”。在这个意义下，相对论仍然是一种经典的理论。.

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梯度

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点的梯度指向在這點标量场增长最快的方向（當然要比較的話必須固定方向的長度），梯度的絕對值是長度為1的方向中函數最大的增加率，也就是說 |\nabla f|.

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