希尔伯特空间和維格納定理

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希尔伯特空间和維格納定理之间的区别

希尔伯特空间 vs. 維格納定理

在数学裡，希尔伯特空间即完备的内积空间，也就是說一個帶有內積的完備向量空間。是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于實數的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的非欧几里得空间那样破坏了完备性）。与欧几里得空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引申而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西序列會收敛到此空間裡的一點，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公設化数学和量子力学的关键性概念之一。. 維格納定理（Wigner's theorem）是由尤金·维格纳在1931年证明的，这个定理是量子力学的数学表述的奠基石。这个定理描述的是系统的对称性 (物理学)，即例如旋转，平移或者CPT这些操作是如何改变希尔伯特空间上的态。 根据这个定理，任何对称性操作都是希尔伯特空间上的一个幺正变换或者。更准确的说，这个定理描述的是在一个复的希尔伯特空间H 上，如果对任意的x,y \in H都有满射T:H\rightarrow H使得 则对任意的x\in H该满射可以被改写成如下形式Tx.

尤金·维格纳

尤金·保羅·維格納（Eugene Paul Wigner，）原名維格納·帕爾·耶諾（Wigner Pál Jenő），匈牙利-美国理論物理學家及數學家，奠定了量子力學對稱性的理論基礎，在原子核結構的研究上有重要貢獻。 他在純數學領域也有許多重要工作，許多數學定理以其命名。其中維格納定理是量子力學數學表述的重要基石。維格納首先發現了核反應器中的氙-135帶有毒性，這也是為何這種毒性有時被稱作「維格納毒性」。 1963年，由於「在原子核和基本粒子物理理論上的貢獻，尤其是基本對稱原理的發現與應用」，維格納和瑪麗亞·格佩特-梅耶、約翰內斯·延森一同獲得諾貝爾物理學獎。.

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绝对值

絕對值用來表示一個數至原點的距離之大小。絕對值的概念也可以定義在複數、有序環以及域上。.

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量子力学

量子力学（quantum mechanics）是物理學的分支，主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的學科，都是以其为基础。 19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微观系统，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力学，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。 愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。.

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量子力學的數學表述

量子力学的数学表述是对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪初发展起来的旧量子论的数学形式不同，它使用了一些抽象的代数结构，如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的算子。这些结构中有许多源于泛函分析。这一纯粹数学研究领域的发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要。简而言之，物理可观察量的值，如能量和动量的值不再作为相空间上的函数值，而是作为本征值，或者更为精确地来说是希尔伯特空间中线性算子的谱值。 这一表述体系一直沿用至今。该体系的核心为“量子态”和“可观察量”这两个概念。对于原子尺度的系统来说，这两个概念与之前用来描述物理现实的模型大相径庭。虽然数学上允许对许多量的计算结果进行实验测量，但是实际上，在对于符合一定条件的两个物理量同时进行精确测量时，却存在一个理论性限制——不确定性原理。这一原理由维尔纳·海森堡通过思想实验首次阐明，且在该体系中以可观察量的不可交换性进行表述。 在量子力学作为一支独立理论形成之前，物理学中用到的数学理论主要是以微积分为源头、后来又添以微分几何与偏微分方程的数学分析。统计力学中还用到概率论。几何直观在这两个理论中扮演重要角色。相对论中的许多概念和方法也是基于几何理论。量子物理学中对于实验现象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年间开始逐步形成。其中具有代表性的思想为波粒二象性。但在量子理论形成之前的10至15年中，物理学家仍然在经典物理学的框架内思考量子理论，所基于的数学结构也是完全相同的。其中具有代表性的例子是玻尔-索末菲量子化条件。这一原理完全建构于经典框架中的相空间。.

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