之间希尔伯特空间和拓撲向量空間相似
希尔伯特空间和拓撲向量空間有(在联盟百科)9共同点: 偏微分方程,对偶空间,巴拿赫空间,连续函数,范数,自反空间,Lp空间,欧几里得空间,泛函分析。
偏微分方程
偏微分方程(partial differential equation,缩写作PDE)指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函數及其偏导數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。 偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式,常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。.
对偶空间
在數學裡,任何向量空間V都有其對應的對偶向量空間(或簡稱為對偶空間),由V的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構,像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下,由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。 对偶空間是 行向量(1×n)與列向量(n×1)的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的特徵。傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。.
巴拿赫空间
在數學裡,尤其是在泛函分析之中,巴拿赫空間是一個完備賦範向量空間。更精確地說,巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。 巴拿赫空間有兩種常見的類型:「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」,分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的--之上。 許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間,包括由連續函數(緊緻赫斯多夫空間上的連續函數)組成的空間、由勒貝格可積函數組成的Lp空間及由全純函數組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型,這些空間的拓撲都自來其範數。 巴拿赫空間是以波蘭數學家斯特凡·巴拿赫的名字來命名,他和漢斯·哈恩及愛德華·赫麗於1920-1922年提出此空間。.
连续函数
在数学中,连续是函数的一种属性。直观上来说,连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候,输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义,则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。 举例来说,考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t),那么这个函数是连续的(除非树被砍断)。又例如,假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度,则这个函数也是连续的。事实上,古典物理学中有一句格言:“自然界中,一切都是连续的。”相比之下,如果M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额,则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃,因此函数M(t)是不连续的。.
范数
數(norm),是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域,是一個函數,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。半範數反而可以為非零的向量賦予零長度。 舉一個簡單的例子,一個二維度的歐氏幾何空間\R^2就有歐氏範數。在這個向量空間的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。 擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣,擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。.
自反空间
自反空间是泛函分析中的概念。如果一个巴拿赫空间(或更一般地,一个局部凸拓扑向量空间)的连续对偶空间的连续对偶空间“是”其自身,就称这个空间为自反空间。其中的“是”表示两者无论作为线性向量空间还是作为拓扑空间都是等价的。自反的巴拿赫空间常常可以通过它们的集合特性来刻画。.
Lp空间
在数学中,Lp空间是由p次可积函数组成的空间;对应的ℓp空间是由p次可和序列组成的空间。它們有時叫做勒貝格空間,以昂利·勒貝格命名,儘管依據它們是首先介入。在泛函分析和拓扑向量空间中,他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。 Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。.
欧几里得空间
欧几里得几何是在约公元前300年,由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n维欧几里得空间(甚至简称 n 维空间)或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备), 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象,它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间,例如球面非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.
希尔伯特空间和欧几里得空间 · 拓撲向量空間和欧几里得空间 ·
泛函分析
泛函分析(Functional Analysis)是现代数学分析的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。 使用泛函这个词作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数,这意味着,一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而,泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家維多·沃爾泰拉(Vito Volterra)介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究,特别是莫里斯·弗雷歇(Maurice Fréchet)可和列维(Levy)。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派,并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫(Stefan Banach)的波兰数学家进一步发展。.
上面的列表回答下列问题
- 什么希尔伯特空间和拓撲向量空間的共同点。
- 什么是希尔伯特空间和拓撲向量空間之间的相似性
希尔伯特空间和拓撲向量空間之间的比较
希尔伯特空间有79个关系,而拓撲向量空間有32个。由于它们的共同之处9,杰卡德指数为8.11% = 9 / (79 + 32)。
参考
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