布勞威爾不動點定理和拓撲向量空間

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布勞威爾不動點定理和拓撲向量空間之间的区别

布勞威爾不動點定理 vs. 拓撲向量空間

在数学中，布勞威爾不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布勞威爾不动点定理得名于荷兰数学家魯伊茲·布勞威爾（）。 布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x_0，使得f(x_0). 拓撲向量空間是泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。 拓撲向量空間主要都是函數空間，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。 希爾伯特空間及巴拿赫空間是典型的例子。.

同胚

在拓扑学中，同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。 大致地说，拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。有一个笑话是说，拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈，这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状（见图）。.

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巴拿赫空间

在數學裡，尤其是在泛函分析之中，巴拿赫空間是一個完備賦範向量空間。更精確地說，巴拿赫空間是一個具有範數並對此範數完備的向量空間。 巴拿赫空間有兩種常見的類型：「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的--之上。 許多在數學分析中學到的無限維函數空間都是巴拿赫空間，包括由連續函數（緊緻赫斯多夫空間上的連續函數）組成的空間、由勒貝格可積函數組成的Lp空間及由全純函數組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其範數。 巴拿赫空間是以波蘭數學家斯特凡·巴拿赫的名字來命名，他和漢斯·哈恩及愛德華·赫麗於1920-1922年提出此空間。.

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凸集

在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的直线點都落在該點集合中。.

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连续函数

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。 举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数h(t)，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设T(P)表示地球上某一点P的空气温度，则这个函数也是连续的。事实上，古典物理学中有一句格言：“自然界中，一切都是连续的。”相比之下，如果M(t)表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额，则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃，因此函数M(t)是不连续的。.

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欧几里得空间

欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备）， 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.

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泛函分析

泛函分析（Functional Analysis）是现代数学分析的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的函数空间。泛函分析历史根源是由对函数空间的研究和对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究。这种观点被证明是对微分方程和积分方程的研究中特别有用。 使用泛函这个词作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数，这意味着，一个函数的参数是函数。这个名词首次被雅克·阿达马在1910年使用于这个课题的书中。是泛函分析理论的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由意大利数学家和物理学家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）介绍。非线性泛函理论是由雅克·阿达马的学生继续研究，特别是莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）可和列维（Levy）。雅克·阿达马还创立线性泛函分析的现代流派，并由弗里杰什·里斯和一批围绕着斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）的波兰数学家进一步发展。.

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