属于关系 (集合论)和类 (数学)

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属于关系 (集合论)和类 (数学)之间的区别

属于关系 (集合论) vs. 类 (数学)

集合（或类）是“由一组客体组成的一个整体”，而组成这个“整体”的那些“客体”就称为集合（或类）的元素。元素与集合（或类）之间的关系就是“属于关系”：即如果“客体”A是集合（或类）B的元素，则称A属于B，记为A\in B；如果“客体”A不是集合（或类）B的元素，则称A不属于B，记为A\not\in B。 在朴素集合论中，有单纯的元素——即它已不再是个集合；但在公理化集合论及类的理论中，并没有这样单纯的元素，所有客体本身都必定是一个集合（或类），因此对任意两个集合（或类）A、B，必定存在着关系“A\in B”或“A\not\in B”。 S S. 在集合論及其數學應用中，類是由集合（或其他數學物件）的搜集（collection），可以依所有成員所共享的性質被無歧定義。有些類是集合（例如由所有偶數構成的類），但有些則不是（如所有序數所構成的類或所有集合所構成的類）。一個不是集合的類被稱之為真類。一个是集合的类被称为“小类”。 在數學裡，有許多物件對集合而言太大，而必須以類來描述，像是大的範疇和超實數的類體之類等。要證明一給定「事物」為一真類，一般的做法是證明此一「事物」至少有著如序數一般多的元素。有關此一證明的例子，請參見。 真類不能是一個集合或者是一個類的元素，而且不受ZF集合論中的公理所限制；因此避免掉了許多樸素集合論中的悖論。反而，這些悖論成了證明某一個類是否為真類的方法之一。例如，羅素悖論可以證明由所有不包含集合自身的集合所構成的類是一個真類，而布拉利-福尔蒂悖论則可證明所有序數所構成的類是一個真類。 標準的ZF集合論公理不會論及到類；而在元語言中，類只作為邏輯公式的等價類而存在。馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論則採取了另一種方式；類在此一理論中是基礎的物件，而集合則被定義為可以是其他某些類的元素的類。真類，則為不可以是其他任何類的元素的類。 在其他集合論如新基础集合论或半集合的理論中，「真類」的概念依然是有意義的（不是任一堆事物都會是集合），但對集合特質的認定並非依據其大小。例如，所有包含全集的集合論都會有個是集合的子類的真類。 「類」這一詞有時會和「集合」同義，最為人知的是「等價類」這一術語。這種用法是因為從前對類和集合不如現今一樣地區別的緣故。許多19世紀之前對「類」的討論提及的實際上是集合，又或者會是個更為模糊的概念。.