导数和微分

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导数和微分之间的区别

导数 vs. 微分

导数（Derivative）是微积分学中重要的基礎概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x_0上产生一个增量h时，函數输出值的增量與自變量增量h的比值在h趋于0时的極限如果存在，即為f在x_0处的导数，记作f'(x_0)、\frac(x_0)或\left.\frac\right|_。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在這一点上的切线斜率。 对于可导的函数f，x \mapsto f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。. 在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数\textstyle f的自变量\textstyle x有一个微小的改变\textstyle h时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量\textstyle h，可以表示成\textstyle h和一个与\textstyle h无关，只与函数\textstyle f及\textstyle x有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在\textstyle h上的值。另一部分是比\textstyle h更高阶的无穷小，也就是说除以\textstyle h后仍然会趋于零。当改变量\textstyle h很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在\textstyle x处的微分，记作\displaystyle f'(x)h或\displaystyle \textrmf_x(h)。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。 不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。 在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量\textstyle h映射到变化量的线性部分的线性映射\displaystyle \textrmf_x。这个映射也被称为切映射。.

偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 函数f关于变量x的偏导数写为f_x^或\frac。偏导数符号\partial是全导数符号 d的变体，这个符号是阿德里安-马里·勒让德引入的，并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。.

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區間

在數學上，區間是某個範圍的數的搜集，一般以集合形式表示。.

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微积分学

微積分學（Calculus，拉丁语意为计数用的小石頭） 是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，並成為了現代大學教育的重要组成部分。歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是一門研究變化的科學，正如：幾何學是研究形狀的科學、代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。微積分學又稱為“初等數學分析”。 微積分學在科學、經濟學、商業管理學和工業工程學領域有廣泛的應用，用來解决那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。微積分學在代數學和解析幾何學的基礎上建立起来，主要包括微分學、積分學。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演绎。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們能以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函數的科學，是現代數學的主要分支之一。.

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函数

函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x2的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。 為方便起見，一般做法是以符號f,g,h等等來指代一個函數。若函數f以x作為輸入值，則其輸出值一般寫作f(x)，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為f(x).

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积分

积分是微积分学与数学分析裡的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数 f(x)， f(x)在一个实数区间 上的定积分 可以理解为在 \textstyle Oxy坐标平面上，由曲线 (x,f(x))、直线x.

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线性映射

在数学中，线性映射（有的书上将“线性变换”作为其同义词，有的则不然）是在两个向量空间（包括由函数构成的抽象的向量空间）之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。线性映射从抽象代数角度看是向量空间的同态，从范畴论角度看是在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。 “线性算子”也是与“线性映射”有关的概念。但是不同数学书籍上对“线性算子”的定义存在区别。在泛函分析中，“线性算子”一般被当做“线性映射”的同义词。而有的书则将“线性算子”定义为“线性映射”的自同态子类（详见下文）。为叙述方便，本条目在提及“线性算子”时，采用后一种定义，即将线性算子与线性映射区别开来。.

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邻域

在集合论中，邻域指以点 a 为中心的任何开区间，记作：U(a)。 在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。 这个概念密切关联于开集和内部的概念。.

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