完备空间和形式幂级数

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完备空间和形式幂级数之间的区别

完备空间 vs. 形式幂级数

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。. 形式幂级数是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。.

度量空间

在数学中，度量空间是个具有距離函數的集合，該距離函數定義集合內所有元素間之距離。此一距離函數被稱為集合上的度量。 度量空间中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狭义相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。 度量空间还能導出开集與闭集之類的拓扑性质，这导致了对更抽象的拓扑空间之研究。.

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P進數

进数是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域\mathbb到实数域\mathbb、复数域\mathbb的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数，若两个数之差被的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使进数理论成为了数论研究中的有力工具。例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了进数理论。 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今进数的影响已远不止于此。例如可以在进数上建立p进数分析，将数论和分析的工具结合起来。此外进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。.

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