奇异摄动和摄动理论

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奇异摄动和摄动理论之间的区别

奇异摄动 vs. 摄动理论

奇异摄动问题是指数学上一个含有小参数的问题，但不能够直接以把小参数设为零来求得所有近似解的问题。在描述奇异摄动问题的方程里，小参数作为系数出现在含有最高阶次方或导数项里，如果按照常规摄动法把小参数设为零，将会导致方程降阶从而不能得到所有的近似解。奇异摄动的来源是这类问题里存在多个尺度。为了求得在每个尺度上的有效近似解，需要将方程用不同尺度规范化以得到新的方程。而新的方程则可以用常规摄动法来求近似解。奇异摄动方法开端于普朗特的边界层理论。. 摄动理论使用一些特別的数学方法來對於很多不具精确解的问题給出近似解，这些方法从相关的較簡單问题的精确解开始入手。摄动理论將原本問題分為具有精確解的較簡單部分與不具精確解的微扰部分。摄动理论适用的问题通常具有以下性質：通过加入一个微扰项於較簡單部分的數學表述，可以計算出整個問題的近似解。 摄动理论计算出来的解答通常会表达为一个微小参数的冪級數。摄动理论解答与精确解之间的差别，可以用这微小参数来做数量比较。冪級數的第一个项目是精确解的解答。后面的项目描述解答的修正。这修正是因为精确解与原本问题的「完全解」之间的误差而产生的。更正式地，完全解A\,\!的近似可以表達为一个級數： 在這例子裏，A_0\,\!是簡單又有「精確解」的問題的精確解，A_1,\, A_2, \,\!代表由某种系统程序反覆地找到的高阶项目修正。因为\epsilon\,\!的值很微小，这些高阶项目修正应该会越来越不重要。.

数学

数学是利用符号语言研究數量、结构、变化以及空间等概念的一門学科，从某种角度看屬於形式科學的一種。數學透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察而產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。 基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一環。對數學基本概念的完善，早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本便可觀見，而在古希臘那裡有更為嚴謹的處理。從那時開始，數學的發展便持續不斷地小幅進展，至16世紀的文藝復興時期，因为新的科學發現和數學革新兩者的交互，致使數學的加速发展，直至今日。数学并成为許多國家及地區的教育範疇中的一部分。 今日，數學使用在不同的領域中，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展，例如物理学的实质性发展中建立的某些理论激发数学家对于某些问题的不同角度的思考。數學家也研究純數學，就是數學本身的实质性內容，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其过程中也發現許多應用之处。.

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