复流形和微分流形

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复流形和微分流形之间的区别

复流形 vs. 微分流形

微分几何中，一个复流形是一个流形，使得每个鄰域在一种连续的方式下看起来象一个複n维空间。更精确的讲，一个复流形有一个坐标图册，其每个坐标图映射到Cn，并且坐标图之间的坐标变换是全纯的。 复流形可以视为微分流形的一种特例。例如，一个1维复流形几何上就是一个曲面，称为黎曼曲面。变换函数必须全纯这个要求意味着和通常的微分流形不同，不同的''C''''k''-微分结构对于不同k没有区别，因为全纯函数解析，一次每个全纯结构也是一个Ck结构，对于任意k ≥1成立。 复流形的理论和实流形的有相当不同的感受，因为複解析函数比光滑函数更为严格。例如，使用惠特尼嵌入定理，每个实流形可以嵌入为Rn的子流形，,但是很少有复流形可以成为Cn的子流形。 Category:复流形 Category:流形上的结构. 光滑流形（），或称-微分流形（）、-可微流形（），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是类的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。.

微分几何

微分幾何研究微分流形的幾何性質，是現代數學中一主流；是廣義相對論的基礎，與拓撲學、代數幾何及理論物理關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。歐拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。.

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图册 (拓扑学)

在数学，特别是在拓扑中，一个图册（atlas）描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡（chart）给出（也称为坐标卡coordinate chart或局部坐标系local coordinate system)）。以圖冊來定義流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。 在给出图册形式定义之前，我们回忆起流形M上一个卡定义为从M的一个开集U到\mathbb^n中开集V的一个同胚映射\phi。如果(U_, \varphi_)与(U_, \varphi_)是M的两个卡使得U_ \cap U_非空，则定义了转移映射（transition map） 注意到因为\varphi_与\varphi_都是同胚，转移映射也是同胚。所以，转移映射已经赋予了某种相容性，使得从一个卡上的坐标系变到另一个卡上的坐标系是连续的。 那么流形M上一个图册是一族M上的卡\mathcal.

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流形

流形（Manifolds），是局部具有欧几里得空间性质的空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如一个多项式，如果你知道 (0,1) 区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。.

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