之间坐标邻域和流形相似
坐标邻域和流形有(在联盟百科)6共同点: 同胚,坐标转换,开集,图册 (拓扑学),欧几里得空间,拓扑空间。
同胚
在拓扑学中,同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。 大致地说,拓扑空间是一个几何物体,同胚就是把物体连续延展和弯曲,使其成为一个新的物体。因此,正方形和圆是同胚的,但球面和环面就不是。有一个笑话是说,拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈,这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状(见图)。.
坐标转换
坐标转换,是指在一个m维拓扑流形中一个坐标邻域到另一个坐标邻域的坐标的变换。形式上说,m维拓扑流形\mathcal上两个相交的坐标邻域(U,\varphi),(V,\psi),同胚映射\psi\cdot\varphi^:\varphi(U\cap V)\rightarrow \psi(U\cap V)被称为是(U,\varphi)到(V,\psi)的坐标转换。.
开集
開集是指不包含任何自己邊界點的集合。或者說,開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。 例如,实数线上的由不等式2规定的集合称为开区间,是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5,如由不等式2\leq x \leq 5,或者2规定的区间由于包含其边界,因此不能称之为开集。 开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的,通常先公理化开集,然后通过其定义边界的概念。(详细请参照拓扑空间).
图册 (拓扑学)
在数学,特别是在拓扑中,一个图册(atlas)描述了一个流形如何装备一个微分结构。每一小块由一个卡(chart)给出(也称为坐标卡coordinate chart或局部坐标系local coordinate system))。以圖冊來定義流形的概念是由夏尔·埃雷斯曼於1943年所提出。 在给出图册形式定义之前,我们回忆起流形M上一个卡定义为从M的一个开集U到\mathbb^n中开集V的一个同胚映射\phi。如果(U_, \varphi_)与(U_, \varphi_)是M的两个卡使得U_ \cap U_非空,则定义了转移映射(transition map) 注意到因为\varphi_与\varphi_都是同胚,转移映射也是同胚。所以,转移映射已经赋予了某种相容性,使得从一个卡上的坐标系变到另一个卡上的坐标系是连续的。 那么流形M上一个图册是一族M上的卡\mathcal.
欧几里得空间
欧几里得几何是在约公元前300年,由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”,他接着分析三维物体的“立体几何”,所有欧几里得的公理被编排到幾何原本。 这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度,而这种空间叫做 n维欧几里得空间(甚至简称 n 维空间)或有限维实内积空间。 这些数学空间还可被扩展到任意维的情形,称为实内积空间(不一定完备), 希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。 为了开发更高维的欧几里得空间,空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。 尽管结果的数学非常抽象,它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质,根本性质是它的平面性。 另存在其他種類的空间,例如球面非欧几里得空间,相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。.
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拓扑空间
拓扑空间是一种数学结构,可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。.
上面的列表回答下列问题
- 什么坐标邻域和流形的共同点。
- 什么是坐标邻域和流形之间的相似性
坐标邻域和流形之间的比较
坐标邻域有9个关系,而流形有84个。由于它们的共同之处6,杰卡德指数为6.45% = 6 / (9 + 84)。
参考
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