图论和戴克斯特拉算法

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图论和戴克斯特拉算法之间的区别

图论 vs. 戴克斯特拉算法

图论（Graph theory）是组合数学的一个分支，和其他数学分支，如群论、矩阵论、拓扑学有着密切关系。图是图论的主要研究对象。图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。 图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。该问题于1736年被欧拉解决，因此普遍认为欧拉是图论的创始人。 图论的研究对象相当于一维的单纯复形。. 戴克斯特拉算法（Dijkstra's algorithm，又译迪杰斯特拉算法）由荷兰计算机科学家艾茲赫尔·戴克斯特拉在1956年提出。戴克斯特拉算法使用了廣度优先搜索解决赋权有向图的单源最短路径问题。该算法存在很多变体；戴克斯特拉的原始版本找到两个顶点之间的最短路径，但是更常见的变体固定了一个顶点作为源节点然后找到该顶点到图中所有其它节点的最短路径，产生一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示城市间开车行经的距离，该演算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。 该演算法的輸入包含了一個有權重的有向圖 G，以及G中的一個來源頂點 S。我們以 V 表示 G 中所有頂點的集合。每一個圖中的邊，都是兩個頂點所形成的有序元素對。(u, v) 表示從頂點 u 到 v 有路徑相連。我們以 E 表示G中所有邊的集合，而邊的權重則由權重函數 w: E → 定義。因此，w(u, v) 就是從頂點 u 到頂點 v 的非負权重（weight）。邊的权重可以想像成兩個頂點之間的距離。任兩點間路徑的权重，就是該路徑上所有邊的权重總和。已知 V 中有頂點 s 及 t，Dijkstra 演算法可以找到 s 到 t 的最低权重路徑(例如，最短路徑)。這個演算法也可以在一個圖中，找到從一個頂點 s 到任何其他頂點的最短路徑。 最初的戴克斯特拉算法不采用最小优先级队列，时间复杂度是O(|V|^2)(其中|V|为图的顶点个数)。通过斐波那契堆实现的戴克斯特拉算法时间复杂度是O(|E|+|V|\log|V|) (其中|E|是边数) 。对于不含负权的有向图，这是目前已知的最快的单源最短路径算法。.

NP完全

NP完全或NP完備（NP-Complete，縮寫為NP-C或NPC），是計算複雜度理論中，決定性問題的等級之一。NPC問題，是NP（非決定性多項式時間）中最難的決定性問題。因此NP完備問題應該是最不可能被化簡為P（多項式時間可決定）的決定性問題的集合。若任何NPC問題得到多項式時間的解法，那此解法就可應用在所有NP問題上。更詳細的定義容下敘述。 一個NPC問題的例子是子集合加總問題，題目為 這個問題的答案非常容易驗證，但目前沒有任何一個夠快的方法可以在合理的時間內（意即多項式時間）找到答案。只能一個個將它的子集取出來一一測試，它的時間複雜度是Ο(2n)，n是此集合的元素數量。.

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最短路问题

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：.

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