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卢森堡
卢森堡大公国（Groussherzogtum Lëtzebuerg；Grand-Duché de Luxembourg； Großherzogtum Luxemburg），通称卢森堡（Lëtzebuerg；Luxembourg；Luxemburg），被邻国法国、德国和比利时包围，是一個位于欧洲的内陸國家，也是現今歐洲大陸僅存的大公國，首都盧森堡市。盧森堡是欧盟成员国，因境内有欧洲法院、欧洲审计院、欧洲投资银行等多个欧盟机构被称为继布鲁塞尔和斯特拉斯堡之后的欧盟“第三首都”。.
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印度
印度共和国（भारत गणराज्य，；Republic of India），通称印度（भारत；India），是位于南亚印度次大陆上的国家，印度面积位列世界第七，印度人口众多，位列世界第二，截至2018年1月印度拥有人口13.4亿，仅次于中国人口的13.8亿，人口成長速度比中國還快，预计近年将交叉。是亚洲第二大也是南亚最大的国家，面积328万平方公里（实际管辖），同时也是世界第三大（购买力平价／PPP）经济体。 印度并非单一民族及文化的国家。印度的民族和种族非常之多，有“民族大熔炉”之称，其中印度斯坦族占印度总人口的大约一半，是印度最大的民族。印度各个民族都拥有各自的语言，仅宪法承认的官方语言就有22种之多，其中印地语和英语被定为印度共和国的联邦官方语言，并且法院裁定印度没有国语。英语在印度非常流行，尤其在南印地位甚至高于印地语，但受限于教育水平，普通民众普遍不精通英语。另外，印度也是一个多宗教的国家，世界4大宗教其中的佛教和印度教都源自印度。大部分印度人信仰印度教。伊斯兰教在印度也有大量信徒，是印度的第二大宗教，信教者约占印度的14.6%(截至2011年，共有约1亿7千7百万人)。伊斯兰教是在公元8世纪随着阿拉伯帝国的扩张而传播到印度的。公元10世纪后，北印的大多数王朝统治者都是信奉伊斯兰教的，特别是莫卧儿王朝。印度也是众多正式和非正式的多边国际组织的成员，包括世界贸易组织、英联邦、金砖五国、南亚区域合作联盟和不结盟运动等。 以耕种农业、城市手工业、服务业以及其支撑产业为主的部分行业已经相对取得了进展。除了民族文化与北方地形的丰富使印度旅游业颇受欢迎之外，由于时差，大批能说英语的人才也投入外包行业（即是外国企业把客户咨询，电话答录等等服务转移到印度）。另一方面，宝莱坞电影的文化输出在英语圈乃至全球的影响力不亚于世界主流。同时印度还是很多专利过期药物的生产地，以低价格提供可靠的医疗。近年来，印度政府还大力投资本国高等教育，以利于在科学上与国际接轨，例如自主太空研究、南亚半岛生态研究等等。印度最重要的贸易伙伴是美国、欧盟、日本、中国和阿拉伯联合酋长国。.
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奥地利
奥地利共和国（）通稱奥地利（Österreich ），是一个位在於中歐的内陆国家，但在歷史上也被分類成西歐或者東歐的國家國。奧地利与多國接壤，东面是匈牙利和斯洛伐克，南面是意大利和斯洛文尼亚，西面是列支敦士登和瑞士，北面是德国和捷克。首都兼最大城市是維也納，人口超過170萬。國土面積，同時因阿爾卑斯山存在的緣故，奧地利成爲了一個山地國，只有32%的國土海拔低於，最高點海拔。 如今的奧地利是一個半總統制的代議民主國家，下含九個聯邦州。Lonnie Johnson 17奧地利是當今世界最富裕的國家之一，2012年的人均國民生產總值達到46,330美元。其人類發展指數在2014年排世界第21位。同時自1995年以來就是歐盟成員， 是OECD的創始國之一。1995年簽訂申根公約，1999年接受並于2002年起使用歐元。奧地利曾是統治中歐650年到1918年哈布斯堡王朝的核心部份，是神聖羅馬帝國和奧匈帝國的首都，並且奧地利在民族上屬於日耳曼民族的居住地，和德國、瑞士、盧森堡同為德語區，在歷史上和中歐東歐的的匈牙利、捷克、波蘭都有緊密的關聯。.
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巴黎
巴黎（Paris）是法國的首都及最大都市，同時是法蘭西島大區首府，為法國的政治與文化中心，隸屬法蘭西島大區之下的巴黎省（編號第75省；僅轄有1個同名市鎮）。目前的巴黎市轄區範圍大致為舊巴黎城牆內（環城大道內側），依照發展歷史共分成20個區，自從1860年代開始就沒有重大變化。截至2011年為止，巴黎市内人口超過225萬，的人口則逾1,229萬，是歐洲最大的都會區之一。 巴黎在近1,000年的時間内是西方最大的城市，也曾經是世界上最大的城市（16世紀至19世紀期间）。目前是世界上最重要的政治和文化中心之一，在教育、娛樂、時尚、科學、媒體、藝術、金融、政治等方面皆有重大影響力，被認為是世界上最重要的国际大都会之一.
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中國
中國是位於東亞的國家或地理區域，此名稱最早见于西周，用來指以洛陽盆地為中心的中原地區，與四夷相對，之後逐漸用來指稱從夏朝起延續傳承至今的各政權。其疆域隨著歷史演變而有所增減，但大多不脫以中原王朝根基所在的汉地九州為中心。民族構成上以漢族為主體，文化上透過歷代王朝政權與周邊各民族政權的交流與征戰，而融入不少周邊民族的文化。現今國際上廣泛承認代表中國的政權是中华人民共和国。 中國文明是世界上最早的文明之一。 新石器时期，中原地区开始出现聚落组织；公元前27世纪左右出现方国，以共主為首的制度；前20世纪开始，古代中国进入世袭的封建皇朝阶段；公元前2世紀，秦滅六國，完成中國第一次大一統。此後幾千年來，中國的政治制度以半傳統的夏代為基礎的世襲君主制以朝代更換政權運作。此後经多次擴大，破裂，重組，朝代更迭，經過數次统一与分裂交替进行。直到1911年辛亥革命後，中國废除君主制，实行共和制，清朝被1912年成立的中华民国取代。1945年第二次國共內戰爆發後，中國共產黨逐漸控制中國的大部分領土，最終於1949年10月1日建立中华人民共和国，形成了中华民国與中华人民共和国双方相隔台灣海峽对峙的局面；惟做為國際關係核心場域的聯合國系統內，中華民國政府仍持擁有中國代表權，直到1971年聯合國大會2758號決議通過後，才被中華人民共和國政府完全取代。 中國經濟曾经在相当长的历史时期中在世界上占有重要的地位，其周期通常与王朝的兴衰与更替相對應。中國經濟史可分为几个階段：第一階段為遠古至西晉末年，其中以三國孫吳時轉變較大；第二階段為東晉至北宋末年，其中以唐安史之亂劃分為前後；第三階段為南宋建立至鴉片戰爭張家駒，《兩宋經濟重心的南移》，湖北人民出版社，1957年。工业革命後，西方國家的工業成品，無論在數量和質量上，相較於當時中国純手工業經濟出産的商品，佔有壓倒性的優勢。而且，由于明清兩代以來，中國對外政策趨於保守，並對外實行海禁，使得西方工業化的影响步伐在中国国門前站住了腳，中国在19世紀末以前，一直沒有很好地進行工業化，經濟遂落後於西方。1978年改革開放施行後，中国经济發展迅速，對世界經濟的影響也日漸顯著。 中国文化歷經上千年的歷史演變，是各區域、各民族古代文化長期相互交流、借鉴、融合的結果。其中汉文化对日本、朝鮮半島和东南亚有深远影响，形成漢字文化圈。中国的传统艺术形式有国乐、相声、戏曲、书法、国画、文學、陶瓷藝術、雕刻等，传统娱乐活动有象棋、围棋、麻将、中国武术等。茶、酒、菜和筷子等为中国的特色饮食文化，春节（舊曆新年）、元宵、清明、端午、七夕、中秋、重阳、冬至等为传统节日。中国传统上是一个儒学国家，以夏历为历法，以五伦为道德准则。春秋时期孔子「有教无类，因材施教」开始办私塾培养人才，汉朝时采用察举推选政府官员，隋朝起实行科举在平民中选拔人才。此外，中国歷朝歷代都设有史官，因此保存有十分详尽的历史资料，如《二十四史》、《资治通鉴》等。古代中國在科學領域上有豐厚的成就。.
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希腊
希腊（Ελλάδα，），官方名称为希腊共和国（希腊语：Ελληνική Δημοκρατία，），位于欧洲东南部的跨大洲国家。2015年其人口约为1,090万。雅典为希腊首都及最大城市，塞萨洛尼基为第二大城市。 希腊位于欧洲、亚洲和非洲的十字路口，战略地位重要。其位于巴尔干半岛南端，西北邻阿尔巴尼亚，北部邻马其顿共和国和保加利亚，东北邻土耳其。希腊分为九个地区：马其顿、中希腊、伯罗奔尼撒、色萨利、伊庇鲁斯、爱琴海诸岛（包括十二群岛及基克拉泽斯）、色雷斯、克里特和伊奥尼亚群岛。爱琴海位于希腊本土东侧，爱奥尼亚海位于西侧，克里特海和地中海位于南侧。希腊海岸线长达，为地中海盆地国家中最长，世界第11长。希腊拥有大量岛屿，其中227个岛屿有人居住。其百分之八十区域为山地，奥林波斯山为全境最高峰，海拔。 希腊为世界历史最悠久的国家之一，自公元前270,000年起即有人居住。其被称作西方文明的摇篮，为民主制度、西方哲学、奥林匹克运动会、西方文学、史学、政治学、重要科学及数学原理、西方戏剧（悲剧及喜剧）的发源地。公元前4世纪马其顿腓力二世首先统一了希腊。其子亚历山大大帝迅速征服了古代世界的大片地区，将希腊文化和科学自东地中海地区传播至印度河流域。公元前2世纪希腊为罗马所吞并，成为罗马帝国及其继承国拜占庭帝国的核心组成部分，其中后者为希腊语言及文化所主导。公元1世纪希腊正教会建立起来，塑造了现代希腊的文化认同，并将希腊传统传播至正教世界。15世纪中叶，奥斯曼帝国夺取了希腊地区。1830年，在经历独立战争后，希腊作为现代民族国家建立起来。希腊的文化遗产由其18个联合国教科文组织世界遗产数可见一斑，这一数目在欧洲及世界均居前列。 希腊为民主制国家，发达国家及高收入经济体，其生活质量较高，及人类发展指数为极高。希腊为联合国创始国之一，为欧洲共同体（欧洲联盟前身）第十个成员国，并自2001年以来为欧元区成员国。其亦为诸多国际组织的成员国，包括欧洲委员会、北大西洋公约组织、经济合作与发展组织、世界贸易组织、欧洲安全与合作组织及法语圈国际组织。希腊的独特文化地位、旅游业、船运业及战略地位使其被归为一中等强国。其为巴尔干地区最大规模经济体，并为这一区域重要的投资者之一。.
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代数
代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、關係、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。 初等代数一般在中學時讲授，介紹代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解變數的概念和如何建立多项式并找出它们的根。 代数的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、环、域、模、線性空間等。并且,代数是几何的总称，代数是还可以用任何字母代替的。 e.g.2-4+6-8+10-12+…-96+98-100+102.
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伦敦
伦敦（London；）是英国的首都，也是英國和欧洲最大的城市。位于泰晤士河流域，于公元50年由罗马人建立，取名为伦蒂尼恩，在此后两个世纪内为这一地区最重要的定居点之一。伦敦的历史核心区伦敦城仍旧维持其中世纪的界限，面积，2011年人口为8,072，为全英格兰最小的城市。自19世纪起，“伦敦”一称亦用于指稱围绕这一核心区开发的周围地带。这一城区集合构成大伦敦行政区（与伦敦区覆盖区域相同） ，由伦敦市长及伦敦议会管辖伦敦市长与伦敦市市长非同一概念；后者为伦敦市法团领导者，即伦敦城的管辖者。。 伦敦亦是一个全球城市，名列紐倫港世界三大國際都會之一。在文艺、商业、教育、娱乐、时尚、金融、健康、媒体、专业服务、研究与发展、旅游和交通方面都具有显著的地位，同时还是全球主要金融中心之一，根据计算方式不同，为全球国内生产总值第五或第六大的都市区由于对城市界限的定义、人口的规模、汇率的变化及产出的计算方式不同，城市都市区GDP的排名可能有一定的差别。伦敦和巴黎在总经济产出方面大致规模相近，由此第三方的不同估计对于第五和第六大城市GDP的排列可能不同。麦肯锡全球研究所2012年的报告估计伦敦全市2010年的GDP为US$7,518亿，巴黎则为$7,642亿，由此两市分别为第六和第五。普华永道2009年11月发布的报告称，根据购买力平价计算，2008年伦敦的GDP为US$5,650亿，巴黎则为US$5,640亿，分别为第五和第六。麦肯锡的研究中伦敦人口为1,490万，巴黎则为1,180万，而普华永道的研究中伦敦人口为859万，巴黎992万。伦敦亦是全球文化首都之一，还是全球国际访客数量最多的城市，根据客流量计算则拥有全球最为繁忙的城市机场系统。伦敦拥有43所大学，其高等教育机构密集度在全欧洲最高。2012年，伦敦成为史上首座三次举办现代夏季奥林匹克运动会的城市。 伦敦的人口和文化十分多样，在大伦敦地区内使用的语言就超过300种。这一区域2015年的官方统计人口为8,673,713，为欧盟中最大城市，人口占全英国的12.5%。伦敦的城市区为欧盟第二大，根据2011年普查其人口达到9,787,426，仅次于巴黎。其都市区为欧洲最大，人口达13,614,409，而大伦敦政府则称伦敦都市区的总人口为2,100万。1831年至1925年间，伦敦为世界最大的城市。 有四项世界遗产位于伦敦，分别为：伦敦塔；邱园；威斯敏斯特宫、威斯敏斯特教堂和圣玛格丽特教堂；以及格林尼治历史区（其中的皇家天文台为本初子午线、0°经线和格林尼治标准时间所经之地）。其他著名景点包括白金汉宫、伦敦眼、皮卡迪利圆环、圣保罗座堂、伦敦塔桥、特拉法加广场和碎片大厦。伦敦亦是诸多博物馆、画廊、图书馆、体育运动及其他文化机构的所在地，包括大英博物馆、国家美术馆、泰特现代艺术馆、大英图书馆以及40家西区剧院。伦敦地铁是全球最古老的地下铁路网络。.
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德国
德意志联邦共和国（Bundesrepublik Deutschland／），简称德国（Deutschland），是位於中西歐的联邦议会共和制国家，由16个-zh-hans:联邦州; zh-hant:邦;-组成，首都与最大城市为柏林。其国土面积约35.7万平方公里，南北距离为876公里，东西相距640公里，从北部的北海与波罗的海延伸至南部的阿尔卑斯山。气候温和，季节分明。德国人口约8,180万，为欧洲联盟中人口最多的国家，也是世界第二大移民目的地，仅次于美国。 在50万年前的舊石器時代晚期，海德堡人及其後代尼安德特人生活在今德國中部。自古典時代以來各日耳曼部族開始定居於今日德國的北部地區。公元1世紀時，有羅馬人著作的關於“日耳曼尼亞”的歷史記載。在公元4到7世紀的民族遷徙期，日耳曼部族逐漸向歐洲南部擴張。自公元10世紀起，德意志領土組成神聖羅馬帝國的核心部分。16世紀時，德意志北部地區成為宗教改革中心。在神聖羅馬帝國滅亡後，萊茵邦聯和日耳曼邦聯先後建立，1871年，在普魯士王國主導之下，多數德意志邦國統一成為德意志帝國，「德意志」開始做為國名使用。在第一次世界大戰和1918-1919年德國革命後，德意志帝國解體，議會制的威瑪共和國取而代之。1933年納粹黨獲取政權並建立獨裁統治，最終導致第二次世界大戰及系統性種族滅絕的發生。在戰敗並經歷同盟國軍事佔領後，德國分裂为德意志聯邦共和國（西德）和德意志民主共和國（東德）。在1990年10月3日重新統一成為現在的德國。国家元首为联邦总统，政府首脑則为联邦总理。 德國是世界大國之一，其國内生產總值以國際匯率計居世界第四，以購買力評價計居世界第五。其諸多工業工程和科技部門位居世界前列，例如全球馳名的德國車廠、精密部件等，為世界第三大出口國。德國為發達國家，生活水平居世界前列。德國人也以熱愛大自然聞名，都市綠化率極高，也是歐洲再生能源大國，是可持續發展經濟的樣板，除了強調環境保護與自然生態保育，在人為飼養活體的態度十分嚴謹，不但獲得大量外匯和資訊優勢，其動物保護法律管束、生命教育水準也是首屈一指的，在高等教育方面並提供免費大學教育，並具備完善的社會保障制度和醫療體系，催生出拜爾等大藥廠。 德国为1993年欧洲联盟的创始成员国之一，为申根区一部分，并于1999年推动欧元区的建立。德国亦为联合国、北大西洋公约组织、八国集团、20国集团及经济合作与发展组织成员。其军事开支总额居世界第九。 德語是歐盟境内使用人數最多的母語。德國文化的豐富層次和對世界的影響表現在其建築和美術、音樂、哲學以及電影等等。德國的文化遺產主要以老城為代表。另外國家公園和自然公園共計有上百處。.
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俄罗斯
俄罗斯联邦（a，缩写为РФ），簡稱俄罗斯（a），是位於欧亚大陆北部的聯邦共和國，國土横跨欧亞两大洲，为世界上土地面积最大的国家，拥有超过1700万平方公里的面积，占地球陆地面积八分之一；它也是世界上第九大人口国家，拥有1.47亿人口，77%居住于其较为发达的欧洲部分。俄罗斯国土覆盖整个亚洲北部及东欧大部，横跨11个时区，涵盖广泛的环境和地形。拥有全世界最大的森林储备和含有约世界四分之一的淡水的湖泊。俄罗斯有十四個陸上鄰國（從西北方向起逆时针序）：挪威、芬兰、爱沙尼亚、拉脱维亚、立陶宛、波蘭、白俄罗斯、乌克兰、格鲁吉亚、阿塞拜疆、哈萨克斯坦、中国、蒙古和朝鲜（其中立陶宛和波蘭僅與俄羅斯外飛地加里寧格勒州接壤），另外與阿布哈茲和南奧塞梯兩個只有俄羅斯承認的非聯合國會員國接壤。同時，俄羅斯還與日本、美国、加拿大、格陵蘭（丹麥）、冰島、瑞典、土耳其隔海相望。俄羅斯北部和東部分別為北冰洋和太平洋包圍，西北和西南則分別可經由波羅的海和黑海通往大西洋。 俄罗斯历史始于欧洲的东斯拉夫民族，聚集区域自公元3世纪至8世纪逐渐扩大。在9世纪，源自北欧的瓦良格人武士精英建立了基辅罗斯这个中世纪国家并开始统治。公元988年，国家从拜占庭帝国采纳了东正教会，随后由此开始，千年拜占庭与斯拉夫文化的融合成为了今日的俄罗斯文化。基辅罗斯最终解散分化为众多公国，被蒙古人逐一击破，并均在13世纪成为了金帐汗国的一部份。莫斯科大公自14世纪起逐渐崛起并统一周边俄罗斯诸侯国，在15世纪成功从金帐汗国独立，且成为了基辅罗斯文化和政治的继承者。16世纪起伊凡四世自称沙皇，自詡「第三羅馬」。在18世纪，俄罗斯沙皇国通过征服、吞并和探索而擴張。彼得一世稱帝成立了俄罗斯帝国，最終成為史上領土第三大帝国，疆域最大曾自中欧的波兰连绵至北美的阿拉斯加。 1917年俄国革命后，俄罗斯苏维埃联邦社会主义共和国成为了世界上第一个宪法意义上的社会主义国家，并成为随后成立的苏维埃社会主义共和国联盟的主体和其最大的加盟共和国。二战时期，苏联为同盟国的胜利扮演了决定性的角色。在战后其崛起成为公认的超级大国，并在冷战时期与美国互相竞争。苏联时期产生了20世纪的许多最重要的科技成就，其中包括世界第一颗人造地球卫星，以及首次将人类送入太空。在1990年，苏联为世界上第二大经济体，且拥有世界上最多的常备军人以及最多的大规模杀伤性武器库存。1991年苏联解体后，包括俄罗斯在内的15个共和国从原苏联独立；身為原蘇聯最大的加盟共和国，俄羅斯通过修宪改制为俄罗斯联邦，成为原苏联的唯一法理继承国家，政體採用聯邦制、民主共和制及半总统制。 截至2015年，俄罗斯根据国民生产总值为世界第13大经济体，根据购买力平价为世界第六大经济体。俄罗斯拥有世界上最大储量的矿产和能源资源，是世界上最大的石油和天然气输出国.
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土耳其
土耳其共和国（Türkiye Cumhuriyeti）是一個橫跨欧亚两洲的国家，國土包括西亞的安納托利亞半島、以及巴尔干半岛的东色雷斯地區。北臨黑海，南临地中海，东南与叙利亚、伊拉克接壤，西临爱琴海，並與希臘以及保加利亞接壤，東部與格鲁吉亚、亞美尼亞、阿塞拜疆和伊朗接壤。在安納托利亞半島和東色雷斯地區之間的，是博斯普魯斯海峽、馬爾馬拉海和達達尼爾海峽，屬黑海海峽，別稱土耳其海峽，是連接黑海以及地中海的唯一航道。伊斯坦堡是最大城市，但其首都是位處安納托利亞高原正中央的安卡拉。 目前正申請加入歐盟，但是歐盟因北塞浦路斯、亞美尼亞種族大屠殺、人權及新聞自由等問題暫時拒絕土耳其加入。土耳其由2009年起为突厥議會成员国。 其氣候屬地中海氣候，南部和西部氣候溫和，夏季乾熱，冬季多雨：黑海沿岸，涼爽濕潤；內陸、東北、東南則冬季寒冷，夏季乾熱。.
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几何学
笛沙格定理的描述，笛沙格定理是欧几里得几何及射影几何的重要結果 幾何學（英语：Geometry，γεωμετρία）簡稱幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。 許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。 勒內·笛卡兒發明的坐標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段，像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示。這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響。透视投影的理論讓人們知道，幾何學不只是物體的度量屬性而已，透视投影後來衍生出射影几何。歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究，使幾何的主題繼續擴充，最後產生了拓扑学及微分幾何。 在歐幾里德的時代，實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別，但自從十九世紀發現非歐幾何後，空間的概念有了大幅的調整，也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題。在二十世紀形式數學興起以後，空間（包括點、線、面）已沒有其直觀的概念在內。今日需要區分實體空間、幾何空間（點、線、面仍沒有其直觀的概念在內）以及抽象空間。當代的幾何學考慮流形，空間的概念比歐幾里德中的更加抽象，兩者只在極小尺寸下才彼此近似。這些空間可以加入額外的結構，因此可以考慮其長度。近代的幾何學和物理關係密切，就像偽黎曼流形和廣義相對論的關係一樣。物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係。 几何学可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些几何語言已經和原來傳統的、欧几里得几何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。 現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。 幾何學應用於許多領域，包括藝術，建築，物理和其他數學領域。.
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菲尔兹奖
費尔兹奖（Fields Medal），正式名称为国际杰出数学发现奖（The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics），是一個在国际数学联盟的國際數學家大會上頒發的獎項。每四年评选2-4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。 奖项以加拿大數學家约翰·查尔斯·菲尔兹的名字命名。菲爾兹筹备设立该奖，并在遗嘱中捐出47,000元给奖项基金。 費尔兹奖被认为是年轻数学家的最高荣誉，和阿贝尔奖均被称为為数学界的諾貝爾獎。奖金有15,000加拿大元，约合13,767美元。而阿贝尔奖的奖金有600万瑞典克朗，约合100万美元，更接近诺贝尔奖。.
西德
西德（Westdeutschland），或聯邦德國，是对1949年5月至1990年10月之間的德意志聯邦共和國（Bundesrepublik Deutschland）之俗稱。.
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西班牙
西班牙王国（Reino de España），通稱西班牙（España），古籍譯為日斯巴尼亞或以西巴尼亞，《聖經》曾譯為「士班雅」，是位於欧洲西南部的君主立宪制国家，与葡萄牙同处於伊比利亚半岛，东北部与法国、安道尔接壤，國土面積則佔伊比利亚半岛的五分之四。其领土还包括地中海中的巴利阿里群岛、大西洋的加那利群岛、以及在非洲北部的休达和梅利利亚。首都兼最大都市為馬德里。 由於位處歐洲與非洲的交界，西班牙自史前时代以来就一直受许多外来影响，中世紀時有多國並立，至15世纪始建立單一國家，在近代史上是影响其他地区文化的重要发源地。其全球帝国兴盛时给世界带来的影响是，現今全球有5億人口使用西班牙语，使西班牙语成为世界上总使用人数第三多，母語人數第二多的语言。.
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阿根廷
阿根廷共和国（República Argentina、），通称阿根廷，是由23个省和布宜诺斯艾利斯自治市组成的联邦共和国，位于南美洲南部，占有南锥体的大部分，北邻玻利维亚与巴拉圭，东北与巴西接壤，东临乌拉圭与南大西洋，西接智利，南濒德雷克海峡。领土面积达2,780,400平方公里，位居世界第八，拉丁美洲第二，西班牙语诸国之首，横跨多个气候带。阿根廷主张对南极洲的一部分、马尔维纳斯群岛（英国称福克兰群岛）、南乔治亚岛和南桑威奇群岛拥有主权。 與大多數拉美國家相當不同，永久住民数超过4,100万的阿根廷，其種族組成和智利相似，欧洲裔占人口比例超过90%，非洲裔較少，使文化上国家呈現深度欧化，例如首都文化幾乎是歐洲城市文化的延伸。而社會素質、教育文化、市場經濟與法規上的發達，使阿根廷今日在民主和人權上有很大發展，也是南美唯一掌握人造衛星操作技術的國家。长久以来，阿根廷是一个中等强国和拉丁美洲的地域大国，它也是联合国、世行集团、世贸组织、南共市、南美洲国家联盟、拉共体和的创始国。作为一个传统农业大国和新兴市场国家，阿根廷是20国集团成员和拉美第三大经济体。以购买力平价来计的人均国内生产总值处于中高水平，与智利和乌拉圭同属拉美第一集团，與東南歐相同，人类发展指数处于极高级。收入不平等程度虽高，但低于拉美国家平均水平。 这一地区已知最早的人类活动发生在旧石器时代。西班牙殖民始于1512年。在1810年至1825年的独立战争中，阿根廷以拉普拉塔联合省的国名于1816年发表《》，继承了原西班牙拉普拉塔总督辖区的大部分地区，在之后与西班牙和葡萄牙的战争中，联合省政府继而失去乌拉圭、玻利维亚和秘鲁等地区。其后多年的最终在1861年，布宜诺斯艾利斯邦击败了邦联政府，与当时其它八个省重新统一为阿根廷共和国。至此，大规模的欧洲移民潮架起了阿根廷与欧洲之桥，无与伦比的发展使阿根廷于20世纪早期跻身世界第七富国。然而在1930年代軍事政變以后，政局不稳和周期性经济危机使其陷入衰退。.
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英国
大不列颠及北爱尔兰联合王国（United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland），简称联合王国（United Kingdom，缩写作 UK）或不列颠（Britain），中文通称英国（中文世界早期亦称英联王国），是本土位於西歐並具有海外領地的主權國家，英國為世界七大國之一，位于欧洲大陆西北面，由大不列颠岛、爱尔兰岛东北部分及一系列较小岛屿共同组成。英国和另一国家唯一的陆上国境线位于北爱尔兰，和爱尔兰共和国相邻。英国由大西洋所环绕，东为北海，南为英吉利海峡，西南偏南为凯尔特海，同爱尔兰隔爱尔兰海相望。该国总面积达，为世界面积第80大的主权国家及欧洲面积第11大的主权国家，人口6510万，为全球第21名及歐洲第3名。 英国为君主立宪国家，采用议会制进行管辖。其首都伦敦为全球城市A++级别和国际金融中心，大都会区人口达1380万，为欧洲第三大和欧盟第一大。现在位英国君主为女王伊丽莎白二世，1952年2月6日即位。英国由四个构成国组成，分别为英格兰、苏格兰、威尔士和北爱尔兰，其中后三者在权力下放体系之下各自拥有一定的权力。三地首府分别为爱丁堡、加的夫和贝尔法斯特。附近的马恩岛、根西行政区及泽西行政区并非联合王国的一部分，而为王冠属地，英国政府负责其国防及外交事务。 英国的构成国之间的关系在历史上经历了一系列的发展。英格兰王国通过1535年和1542年的《联合法令》将威尔士纳入其领土范围。1707年的条约使英格兰和苏格兰王国联合成为大不列颠王国，而1801年后者则进一步同爱尔兰王国联合成为大不列颠及爱尔兰联合王国。1922年，爱尔兰的六分之五脱离联邦，由此便有了今日的大不列颠及北爱尔兰联合王国。大不列颠及北爱尔兰联合王国亦有14块海外领地，为往日帝国的遗留部分。大英帝国在1921年达到其巅峰，拥有全球22%的领土，是有史以来面积最大的帝国。英国在语言、文化和法律体系上对其前殖民地保留了一定的影响力，因而吸引許多以前英聯邦的移民前來居住。 英国为发达国家，以名义GDP为量度为世界第五大经济体，以购买力平价为量度为世界第九大经济体。英国同时还是世界首个工业化国家，在1815年-1914年为世界第一强国，现今仍是強國之一，在全球范围内的经济、文化、军事、科技和政治上有显著影响力。英国为国际公认的有核国家，其军事开支位列全球第五 (IISS)。自1946年以来，英国即为联合国安全理事会常任理事国，而自1973年以来即为欧洲联盟（EU）及其前身欧洲经济共同体（EEC）的成员国，同时还为英联邦、欧洲委员会、七国财长峰会、七国集团、二十国集团、北大西洋公约组织、经济合作与发展组织和世界贸易组织成员国。2016年英國脫離歐盟公投中，英国民众决定脱离欧盟，但因間接影響全球經濟，所以並未得到多數國家支持。.
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波兰
波兰共和国（Rzeczpospolita Polska），简称波兰，是位於中欧的共和制国家，北面濒临波罗的海，西面与德国接壤，南部与捷克和斯洛伐克为邻，乌克兰和白俄罗斯在东，东北部和立陶宛及俄罗斯加里宁格勒州接壤。面積312,679平方公里，位居歐洲第十；人口約3,863萬人，位居歐洲第九。目前為欧盟、北约、联合国、经济合作与发展组织、世贸组织等國際組織的成員。.
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澳大利亚
澳大--利亚联邦（Commonwealth of Australia），通称澳大--利亚（Australia，缩写为 AU、AUS），中文环境下（尤其是臺灣、香港等地）常使用「澳--洲」代替“--”，是全球面积第六大的国家，大洋洲最大的国家和南半球第二大的国家。澳大利亚国土包括澳大利亚大陆，塔斯曼尼亚岛及数个海外的岛屿，面积和美國本土相似，是世界上唯一一个国土覆盖整个大陆的国家。與隔海相望的东南近邻是紐西蘭，西北是印度尼西亚，北边是巴布亚新几内亚、西巴布亚及东帝汶。澳大利亚的首都位于堪培拉，最大城市为悉尼。 澳大利亞一詞源於拉丁語，意思為“未知的南方大陸”（terra australis incognita）。其所在的地理位置通常稱作澳洲大陆，是地球上最小的大陆板塊。澳大利亚人均擁有國土面積0.353平方公里，是世界最廣闊的國家之一。有多樣的自然景觀，包括熱帶雨林、別稱為“紅色中心”的沙漠、吸引很多旅客的海濱及馳名遐邇的自然遺產大堡礁及烏魯汝Davison, Hirst and Macintyre, pp.
日本
日本國（），是位於東亞的島嶼國家，由日本列島、琉球群島和伊豆－小笠原群島等6,852個島嶼組成，面積約37.8万平方公里。國土全境被太平洋及其緣海環抱，西鄰朝鮮半島及俄罗斯，北面堪察加半島，西南為臺灣及中國東部。人口達1.26億，居於世界各國第11位，當中逾3,500萬以上的人口居住於東京都與周邊數縣構成的首都圈，為世界最大的都市圈。政體施行議會制君主立憲制，君主天皇為日本國家與國民的象徵，實際的政治權力則由國會（參眾兩院）、以及內閣總理大臣（首相）所領導的內閣掌理，最高法院為最高裁判所。 傳說日本於公元前660年2月11日，由天照大神之孫下凡所生之後代磐余彥尊所建，在公元4世紀出現首個統一政權，並於大化改新中確立了天皇的中央集权體制。至平安時代結束前，日本透過文字、宗教、藝術、政治制度等從漢文化引進的事物，開始衍生出今日為人所知的文化基礎。12世紀後的六百年間，日本由武家階級建立的幕府實際掌權。17世纪起江户幕府頒布锁国令，至1854年被迫開港才結束。此後，日本在西方列強進逼的時局下，首先天皇從幕府手中收回統治權，接著在19世紀中期的明治维新進行大規模政治與經濟改革，實現工業化及現代化；而自19世纪末起，日本首先兼併琉球，再拿下台灣、朝鮮、樺太等地為屬地。進入20世紀時，日本已成為當時世界的帝國主義強權之一，也是當時東方世界唯一的大國。日本後來成為第二次世界大戰的軸心國之一，對中國與南洋發動全面侵略，但最终於1945年戰敗投降。日本投降至1952年《旧金山和约》生效前，同盟国军事占领日本，並監督日本制定新憲法、建立今日所見的政治架構，日本轉型為以國會為中心的民主政體，天皇地位虛位化，並依照憲法第九條放棄維持武装以及宣戰權。而日本雖在法律上實施非武裝化，出於自我防衛上的需要，仍擁有功能等同於其他國家軍隊的自衛隊。 日本是世界第三大經濟體，亦為七大工業國組織成員，是世界先進國家之一，主要奠基於日本經濟在二戰後的巨幅增長。現時日本的科研能力、工業基礎和製造業技術均位居世界前茅，並是世界第四大出口國和進口國。2015年，日本的人均國內生產總值依國際匯率可兌換成為三萬二千，人均國民收入則在三萬七千美元左右，人類發展指數亦一直維持在極高水平。.
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参考
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